專題20 探究型之存在性問題（原卷板）

一、選擇題1.（玉林、防城港）蜂巢的構造非常美麗、科學，如圖是由7個形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網絡，正六邊形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上．設定AB邊如圖所示，則△ABC是直角三角形的個數(shù)有【】A．4個B．6個C．8個D．10個二、填空題三、解答題1.（梅州）（本題滿分11分）如圖，已知拋物線與x軸的交點為A、D（A在D的右側），與y軸的交點為C.（1）直接寫出A、D、C三點的坐標；（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使得MD+MC的值最小，并求出點M的坐標；（3）設點C關于拋物線對稱的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.2.（畢節(jié)）（16分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為A（﹣1，﹣1），與x軸交點M（1，0）．C為x軸上一點，且∠CAO=90°，線段AC的延長線交拋物線于B點，另有點F（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）求直線AC的解析式及B點坐標；（3）過點B做x軸的垂線，交x軸于Q點，交過點D（0，﹣2）且垂直于y軸的直線于E點，若P是△BEF的邊EF上的任意一點，是否存在BP⊥EF？若存在，求P點的坐標，若不存在，請說明理由．3.（遵義）（14分）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C．若點P，Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．（1）求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標；（2）當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點坐標；若不存在，請說明理由．（3）當P，Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請判定此時四邊形APDQ的形狀，并求出D點坐標．4.（河南）(11分）如圖，拋物線與x軸交于A(-1，0)，B(5，0）兩點，直線與y軸交于點C，，與x軸交于點D.點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E.設點P的橫坐標為m.（1）求拋物線的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若點E/是點E關于直線PC的對稱點、是否存在點P，使點E/落在y軸上？若存在，請直接寫出相應的點P的坐標；若不存在，請說明理由.5.（十堰）（12分）已知拋物線C1：的頂點為A，且經過點B（﹣2，﹣1）．（1）求A點的坐標和拋物線C1的解析式；（2）如圖1，將拋物線C1向下平移2個單位后得到拋物線C2，且拋物線C2與直線AB相交于C，D兩點，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如圖2，若過P（﹣4，0），Q（0，2）的直線為l，點E在（2）中拋物線C2對稱軸右側部分（含頂點）運動，直線m過點C和點E．問：是否存在直線m，使直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式；若不存在，說明理由．6.（揚州）（本題12分）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處.（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP，OP，OA.①求證：△OCP∽△PDA；②若△OCP與△PDA的面積比為1:4，求邊AB的長；（2）若圖1中的點P恰巧是CD邊的中點，求∠OAB的度數(shù)；（3）如圖2，在（1）條件下，擦去折痕AO、線段OP，連結BP.動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E.試問當點M，N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求線段EF的長度.7.（赤峰）（14分）如圖，拋物線與x軸交于點兩點，與y軸交于點.（1）求該拋物線的解析式及頂點M的坐標；（2）求△BCM面積與△ABC面積的比；（3）若P是x軸上一個動點，過P作射線PQ∥AC交拋物線于點Q，隨著P點的運動，在拋物線上是否存在這樣的點Q，使以A、P、Q、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.8.（寧夏）（10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B、C的一動點，過P作PQ⊥AB,垂足為Q，連接AP．（1）試說明不論點P在BC邊上何處時，都有△PBQ與△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，當BP為何值時，△AQP面積最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，兩條直角邊BC、AC滿足關系式BC=AC，是否存在一個的值，使Rt△AOP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．9.（濰坊）（本小題滿分13分）如圖，拋物線與y軸交于點C(0，4)，與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標為，拋物線的對稱軸x=1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E.（1）求拋物線的解析式；（2）若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形ABFC的面積為17，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；（3）平行于DE的一條動直線Z與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標.10.（金華）（本題12分）如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標軸的正半軸上，BC∥x軸，OA=OC=4，以直線x=1為對稱軸的拋物線過A，B，C三點.（1）求該拋物線線的函數(shù)解析式.（2）已知直線l的解析式為，它與x軸的交于點G，在梯形ABCO的一邊上取點P.①當m=0時，如圖1，點P是拋物線對稱軸與BC的交點，過點P作PH⊥直線l于點H，連結OP，試求△OPH的面積.②當時，過P點分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點E，F(xiàn).是否存在這樣的點P，使以P，E，F(xiàn)為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.11.（重慶A）已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=,AE⊥BD，垂足是E.點F是點E關于AB的對稱點，連接AF、BF.（1）求AE和BE的長；（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經過的線段長度）.當點F分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應的m的值.（3）如圖②，將△ABF繞點B順時針旋轉一個角（0°＜＜180°），記旋轉中的△ABF為△A′BF′，在旋轉過程中，設A′F′所在的直線與直線AD交于點P.與直線BD交于點Q.是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由.12.（重慶B）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC.（1）求A、B、C三點的坐標；（2）若點P為線段BC上的一點（不與B、C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當△BCM的面積最大時，求△BPN的周長；（3）在（2）的條件下，當BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在點Q，使得△CNQ為直角三角形，求點Q的坐標.13.（重慶B）如圖1，在□ABCD中，AH⊥DC，垂足為H，AB＝，AD＝7，AH＝.現(xiàn)有兩個動點E、F同時從點A出發(fā)，分別以每秒1個單位長度、每秒3個單位長度的速度沿射線AC方向勻速運動.在點E、F運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG與△ABC在射線AC的同側，當點E運動到點C時，E、F兩點同時停止運動.設運轉時間為t秒.（1）求線段AC的長；（2）在整個運動過程中，設等邊△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出相應的自變量