山東省煙臺市2025屆高三上學期期中學業(yè)水平診斷數(shù)學試題 含解析

2024～2025學年度第一學期期中學業(yè)水平診斷高三數(shù)學注意事項：1.本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.2.答卷前，務必將姓名和準考證號填涂在答題紙上.3.使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】由可得，所以，所以，或，所以.故選：B.2.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】主要利用正切函數(shù)的性質，即可解答本題.【詳解】當時，；反之，當時，.則“”是“”的充要條件.故選：C.3.已知，，，則向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出的值，然后投影向量的計算公式為，再計算向量在上的投影向量.【詳解】，可得.展開得到.，則；，則.將和代入中，得到，移項可得，解得.根據(jù)投影向量公式，得到.故選：B4.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】運用抽象函數(shù)求定義域的相關概念，即可求解.【詳解】由x<2，得，且，所以，因此，故函數(shù)的定義域為.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩角差的正切公式可求出，利用齊次式即可得到結果.【詳解】由得，，∴.故選：A.6.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當時，求導，得到函數(shù)單調性，結合函數(shù)為奇函數(shù)且，得到在區(qū)間上上單調遞減，從而得到，求出答案.【詳解】時，，顯然，令得，當?shù)?，故在上單調遞減，在上單調遞增，又是定義在R上的奇函數(shù)，故在上單調遞減，在上單調遞增，又，故在R上為連續(xù)函數(shù)，故在區(qū)間上單調遞減，又在區(qū)間上單調遞減，所以，解得.故選：C7.已知定義在R上的函數(shù)滿足，當時，，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知關于對稱，且在上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，根據(jù)的對稱性和單調性解不等式即可得出答案.【詳解】因為定義在R上的函數(shù)滿足，所以關于對稱，當時，，所以f′x<0所以在上單調遞減，因為關于對稱，所以在1,+∞上單調遞增，由，則，可得：，即或，所以不等式的解集為.故選：D.8.魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關測量的數(shù)學著作，其中一題是測海島的高.如圖，點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，若，，，，則海島的高為（）A.16 B.24 C.32 D.40【答案】C【解析】【分析】利用平面相似的有關知識以及合分比性質即可解出．【詳解】由平面相似可知，，而，所以，而，即．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用作差法結合平方差公式判斷A正確；利用不等式的性質可知選項B錯誤；通分之后判斷分子和分母的符號可得選項C正確；舉反例說明選項D錯誤.【詳解】A.，由，得，因，所以，即，選項A正確.B.由，，，即，選項B錯誤.C.由，得，因為，所以，選項C正確.D.令，則不成立，選項D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則（）A.函數(shù)的圖象關于點對稱B.是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.若，則D.將圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到的圖象【答案】ABD【解析】【分析】利用輔助角公式和正弦函數(shù)的最小正周期可得，利用代入法驗證對稱軸及對稱中心可判斷，利用和差公式及同角關系式計算判斷；利用圖象平移變換可判斷.【詳解】，又相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，所以，所以，，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故正確；，所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故正確；若，所以，，由，可得，所以，所以或，故錯誤；將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得，故正確；故選：.11.設在區(qū)間上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，函數(shù)的導函數(shù)為.若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”；又當函數(shù)在區(qū)間上單調遞減時，稱函數(shù)為區(qū)間上的“上凸函數(shù)”.則（）A.任何一個三次函數(shù)均有“拐點”B.函數(shù)為區(qū)間上的“上凸函數(shù)”C.若函數(shù)的“拐點”在軸的右側，則函數(shù)在區(qū)間上單調遞減D.若函數(shù)存在拐點，且為定義域上的“上凸函數(shù)”，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項：運用拐點概念計算即可；對于B選項：對求導，，借助導數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上單調性可判斷；對于C選項，求導得到，再求導令，得拐點，因為“拐點”在軸右側，得到.進而得到遞減區(qū)間判斷即可；對于D選項：根據(jù)拐點概念，結合“上凸函數(shù)”概念，求出,可判斷.【詳解】對于A選項：對于三次函數(shù)，，再求導得到.令，則，解得，所以任何一個三次函數(shù)均有“拐點”，A選項正確.對于B選項：，，.當時，，，得出函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以函數(shù)是區(qū)間上的“上凸函數(shù)”，B選項正確.對于C選項：，，.令，得，因為“拐點”在軸右側，所以，即.令可得，所以，的遞減區(qū)間是，C選項錯誤.對于D選項：，，.令，即在有解.即則有正解.則Δ=a2并且因為函數(shù)為定義域上的“上凸函數(shù)”，所以在定義域上單調遞減.恒成立.恒成立，,即，即，解得，由于保證拐點，則.D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】先求出的值，再將這個值作為自變量代入函數(shù)求出的值.【詳解】對于，因為，所以，根據(jù)對數(shù)運算法則.因為，所以.根據(jù)對數(shù)運算法則.故答案為：.13.已知平行四邊形ABCD中，，，，P是BC邊上的動點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】以B為坐標原點，BC所在直線為軸建立平面直角坐標系，寫出坐標，利用向量數(shù)量積坐標運算轉化為函數(shù)，再求函數(shù)的值域解即可.【詳解】以B為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，如圖，則，，，，因為點P在邊AB上，所以設點P的坐標為，，則當時，，即的取值范圍為，故答案為：14.函數(shù)，，.若時，函數(shù)為偶函數(shù)，試寫出滿足條件的b的一個值為_____；若當時，對，，，則a的取值范圍為___________.【答案】①.1（答案不唯一）②.【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義可寫出的值，由題意得，，結合函數(shù)單調性求最值及絕對值不等式即可求解.【詳解】若時，為偶函數(shù)，則，即，所以或0，對，，，所以，因為時，在上單調遞增，所以，所以，又，當時，在上單調遞增，所以，即，解得，當時，在上單調遞減，所以，所以，解得，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，無解，所以a的取值范圍為.【點睛】方法點睛：不等式的恒成立、存在性問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，，（1）若，有成立，則；（2）若，有成立，則；（3）若，有成立，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）當時，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積運算法則和三角恒等變換得到，整體法求出函數(shù)單調遞增區(qū)間；（2）求出，數(shù)形結合得到，，故，得到答案【小問1詳解】，令，，解得，，故的單調遞增區(qū)間為，；【小問2詳解】，故，則，因為當時，，所以，實數(shù)的取值范圍為.16.已知函數(shù).（1）當時，求過點且與函數(shù)圖象相切的直線方程；（2）當時，討論函數(shù)的單調性.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）設函數(shù)在點的切線過點，可得切線方程為，可得，求解可得切線方程；（2）求導得，分，，三種情況討論可得單調區(qū)間.【小問1詳解】當時，，求導可得，設函數(shù)在點的切線過點，所以，又，所以，又因為切線過點，所以，所以，解得，所以切線方程為，即.【小問2詳解】由，可得，當時，由，可得或，所以函數(shù)在和上單調遞增，由，可得，所以函數(shù)在上單調遞減，當時，由，可得，所以函數(shù)在上單調遞增，當時，由，可得或，所以函數(shù)在和上單調遞增，由，可得，所以函數(shù)在上單調遞減，綜上所述：當時，函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數(shù)在上單調遞增，當時，函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減.17.如圖，某地一公園ABCD為等腰梯形，其中，，，（單位：百米），公園出入口分別為C，D和AB中點Q，公園管理部門準備在公園內(nèi)部（不含邊界）距離C，D兩點相等的一點P處修建連接三個出口的道路PQ，PC，PD.設，，道路總長度為y.（單位：百米）（1）分別求y關于x和y關于θ的函數(shù)關系式；（2）請選用（1）中的一個關系式，求：當點P在何位置時三條道路的總長度最小.【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）借助等腰梯形的性質和勾股定理，以及銳角三角函數(shù)求出關系式即可；（2）運用三角關系式，借助導數(shù)研究單調性，進而來求最值即可.【小問1詳解】如圖，過A作于E,過B作于F,延長交于G.由于距離C，D兩點相等的一點P，則.根據(jù)題意，，，由等腰梯形性質，知道,,在中,求得,且，則.在中,求得.故y關于x的關系式為：，即.在中，，且，則.并且,則.則y關于θ的關系式為：，即.【小問2詳解】用,求導得到.令，則，，則.當,,單調遞減；當,,單調遞增；故當，y取得最小值.且綜上所得，當時,三條道路的總長度最小.18.在中，角所對的邊分別為，滿足，是邊上的點，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等變換可得，進而可求；（2）由已知可得，計算可得，利用基本不等式可求面積的最大值.【小問1詳解】由，可得，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以；【小問2詳解】因為，所以，兩邊平方可得，又因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以，所以所以面積的最大值為.19.已知函數(shù)，，.（1）證明：當時，曲線與有且只有兩條公切線；（2）若函數(shù)與的圖象有兩個交點，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）直線與相切于點，直線與相切于點，進而可得，利用換元法得，構建，利用導數(shù)證明在上有且只有兩個零點即可.（2）由函數(shù)與的圖象有兩個交點，則有兩個不等的實根，可得有兩個大于2且不等的實根，變形為，利用函數(shù)的單調性可得有兩個實根，再換元利用方程有解可求的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，求導得，，設直線與相切于點，則切線斜率，直線與相切于點，則切線斜率，則，整理得，由題意可得：，消去可得：，令，則，則，可得，令，要證曲線與有且只有兩條公切線，即證在上有且只有兩個零點，求導可得，可得在定義域內(nèi)單調遞增，且，，故在上有唯一零點，且，當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，可知的最小值為，又因為，則，注意到趨近0時，趨近，趨近時，趨近，所以在和上分別存在一個零點，故在上有且只有兩個零點，故原命題得證.【小問2詳解】由函數(shù)與的圖象有兩個交點，則有兩個不等的實根，因為，所以，所以，所以，即有兩個大于2且不等的實根，由，可得，所以，令，求導可