第二章數(shù)學(xué)模型的來源

第一節(jié)化工過程的特點(diǎn)及其描述方法第二節(jié)機(jī)理分析法建立對象的數(shù)學(xué)模型第三節(jié)實(shí)驗(yàn)方法建立對象的數(shù)學(xué)模型第四節(jié)描述對象特性的參數(shù)

第二章數(shù)學(xué)模型的來源1導(dǎo)論：數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模概念數(shù)學(xué)模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學(xué)公式，算法、表格、圖示等。用數(shù)學(xué)的符號和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，也就是數(shù)學(xué)模型，然后用通過計(jì)算得到的模型結(jié)果來解釋實(shí)際問題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)。這個建立數(shù)學(xué)模型的全過程就稱為數(shù)學(xué)建模。2利用數(shù)學(xué)模型解決化學(xué)計(jì)算的意義化學(xué)計(jì)算的目的不僅在于化學(xué)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理，意義更在于學(xué)生解題能力的培養(yǎng)和素質(zhì)訓(xùn)練數(shù)學(xué)模型3一、被控過程（對象）的特性

化工生產(chǎn)中，被控對象的類型很多，特性也千差萬別（平穩(wěn)和不平穩(wěn)）。被控對象的特性是由工藝生產(chǎn)過程和本身結(jié)構(gòu)等方面決定的；是實(shí)現(xiàn)自動控制的基礎(chǔ)。被控對象的特性,就是指被控對象的輸入量發(fā)生變化時,其輸出量的變化規(guī)律。

研究和分析被控對象的特性，就是用數(shù)學(xué)的方法描述被控對象輸入量與輸出量之間關(guān)系。

輸入量——操縱變量（q）和干擾（f）輸出量——被控變量（y）

第一節(jié)化工過程的特點(diǎn)及描述方法4★通道的概念通道：被控對象的輸入變量至輸出變量的信號聯(lián)系稱為通道.干擾變量f1f2操縱變量被控變量輸出輸入輸入對象干擾通道：干擾變量至被控變量的信號聯(lián)系?？刂仆ǖ溃翰倏v變量至被控變量的信號聯(lián)系。5二、被控對象數(shù)學(xué)模型的類型

★按數(shù)學(xué)模型的表述形式分

●非參量模型（曲線圖或數(shù)據(jù)表形式）優(yōu)點(diǎn):形象、直觀缺點(diǎn)：進(jìn)行系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)比較困難●參量模型（數(shù)學(xué)方程式）★按數(shù)學(xué)模型所描述的運(yùn)動狀態(tài)分

●靜態(tài)模型（描述對象在靜態(tài)時的輸入量與輸出量之間的關(guān)系，不隨時間而變化）●動態(tài)模型（描述對象在輸入量改變后輸出量的變化情況，輸入量、輸出量隨時間而變化）6三、建立被控對象數(shù)學(xué)模型的作用

控制系統(tǒng)的方案設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的調(diào)試及控制器參數(shù)的整定制定工業(yè)過程操作優(yōu)化方案新型控制方案及控制算法的確定計(jì)算機(jī)仿真與過程培訓(xùn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)工業(yè)過程的故障檢測與診斷系統(tǒng)7四、對象數(shù)學(xué)模型的建立方法★機(jī)理分析法

通過對過程內(nèi)部運(yùn)動機(jī)理的分析，根據(jù)其物理或化學(xué)變化規(guī)律，在忽略一些次要因素或做出一些近似處理后得到過程特性方程，用微分方程或代數(shù)方程。這種方法完全依賴于足夠的先驗(yàn)知識，所得到的模型稱為機(jī)理模型。機(jī)理分析法一般只能用于簡單過程的建模?！飳?shí)驗(yàn)法

在需要建立數(shù)學(xué)模型的被控過程上，人為的施加一個擾動作用，然后用儀表測量并紀(jì)錄被控變量隨時間變化的曲線，這條曲線即是被控過程的特性曲線。將曲線進(jìn)行分析、處理，就可得到描述過程特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式?！锘旌辖７?/p>

綜合上述兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，參數(shù)估計(jì)方法8一、一般步驟★根據(jù)實(shí)際工藝要求，確定被控對象的輸入、輸出參數(shù)；★根據(jù)對象所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律，列出描述變化過程的平衡方程（如物料平衡、能量平衡、動量平衡、相平衡等方程及化學(xué)反應(yīng)定律等）；

輸入-輸出=積累

★消去中間變量，寫出只含輸入、輸出參數(shù)的數(shù)學(xué)方程，即對象的數(shù)學(xué)模型。第二節(jié)機(jī)理法建立過程數(shù)學(xué)模型9

當(dāng)對象的動態(tài)特性可以用一階微分方程式描述時，一般稱為一階對象。二、一階對象的建模水槽對象的模型建立：

h在dt時間內(nèi):

輸入量-輸出量=積累量（A為水槽底面積）工藝要求液位保持恒定，液位高度就是被控變量。Q1變化時，液位h如何變化？（2-1）10出口流量變化Q2和液位變化成正比，與閥門阻力成反比:h為液位變化Rs為閥阻力時間常數(shù)放大系數(shù)上式可化簡為:（2-2）11三、積分對象的建模h積分對象△ht當(dāng)對象的輸出變量與輸入變量對時間的積分成比例關(guān)系時，稱為積分對象。12積分對象屬于無自衡對象，一階對象屬于有自衡對象。無自衡對象在受干擾的影響后，在沒有人為干預(yù)的情況下，依靠被控過程自身能力不能夠重新恢復(fù)平衡的過程。

自衡對象在沒有人或儀表的干預(yù)下，能自己建立新的平衡。無自衡對象（積分對象）有自衡對象（一階對象）thtQ1thtQ1三、積分對象的建模13四、二階對象的建模當(dāng)對象的動態(tài)特性用二階微分方程描述時,就稱為二階對象，二階對象常為雙容對象，如串聯(lián)水槽。根據(jù)物料平衡得：14第三節(jié)實(shí)驗(yàn)方法建立對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理建模缺點(diǎn)：①復(fù)雜而煩瑣、有時機(jī)理不清楚,很難得到數(shù)學(xué)表達(dá)式;②作了許多假定和假設(shè),忽略了很多次要因素。實(shí)驗(yàn)法建模：

就是在所要研究的對象上，人為加上一個輸入作用，然后用儀器測取并記錄被控變量隨時間變化的規(guī)律，從而得到反應(yīng)曲線或一系列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。然后通過數(shù)據(jù)分析來求取被控對象的動態(tài)數(shù)學(xué)模型。這種應(yīng)用對象的輸入輸出的實(shí)測數(shù)據(jù)來決定其模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，通常稱為系統(tǒng)辯識。15一、階躍反應(yīng)曲線法★用實(shí)驗(yàn)的方法測取對象在階躍輸入的作用下，輸出量y隨時間t的變化規(guī)律。如簡單水槽的反應(yīng)曲線。Q1ht0ttt0★優(yōu)點(diǎn)：簡單易行，容易實(shí)現(xiàn)，數(shù)據(jù)處理比較簡單。★缺點(diǎn)：需要的時間長，測試精度受到限制，加大幅值受工藝影響。16二、矩形脈沖法★用實(shí)驗(yàn)的方法測取對象在矩形輸入的作用下，輸出量y隨時間的變化規(guī)律，如簡單水槽Q1ht0ttt0★優(yōu)點(diǎn)：干擾時間不長，對正常生產(chǎn)影響比較小;干擾幅值較大，測試精度較高。★缺點(diǎn)：實(shí)現(xiàn)相對麻煩，數(shù)據(jù)處理比較復(fù)雜。17三、實(shí)驗(yàn)法建模應(yīng)注意的問題★測試前，被控對象應(yīng)處于相對穩(wěn)定狀態(tài)；★在相同條件下，應(yīng)重復(fù)多做幾次試驗(yàn)；★完成一次測試后，應(yīng)使被控過程恢復(fù)原來工況，并穩(wěn)定一段時間，再作下次測試；★輸入的階躍變化量不能過大，以免對生產(chǎn)的正常進(jìn)行影響，也不能過小，以防其它干擾影響的比重相對較大。18第四節(jié)描述對象特性的參數(shù)

在實(shí)際工作中，對于一階對象常用放大系數(shù)K、時間常數(shù)T和滯后時間τ三個物理量來表示對象的特性。一、放大系數(shù)K對一階對象，如貯槽液位變化h與Q1的特性可用下面的微分方程表示：Q1tA假設(shè)t≤0時，Q1=0t＞0時，Q1=A

h19解微分方程得：h(∞)t

根據(jù)該式可畫出h-t曲線，實(shí)質(zhì)上該曲線為一階對象的階躍響應(yīng)曲線。當(dāng)t→∞時，被控變量達(dá)到了新的穩(wěn)態(tài)值h(∞)，即或★K在數(shù)值上等于對象重新穩(wěn)定后，輸出變化量與輸入變化量之比?！镌谝欢ǖ妮斎胱兓緼的作用下，通過對象被放大了K倍變?yōu)檩敵鲎兓縣(∞)，故稱K為對象的放大系數(shù)?！颣是對象的靜態(tài)性能?！锓糯笙禂?shù)K越大，被控變量對這個量的變化就越靈敏。20二、時間常數(shù)T

T表示對象受擾動作用后，被控變量變化到新穩(wěn)定值的速度的快慢。當(dāng)t=T時，

時間常數(shù)T就是當(dāng)被控變量變化達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值的0.632倍所需的時間。

0.632h(∞)h(∞)tT時間常數(shù)的另一種求法：t=0時當(dāng)對象受到階躍輸入作用后，被控變量如果保持初始速度變化，達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值所需的時間就是時間常數(shù)。21時間常數(shù)T越大，表示被控變量變化越慢，達(dá)到新穩(wěn)定值所需要時間也較長。對于控制通道，時間常數(shù)盡量小，使被控變量變化比較快捷，控制過程比較靈活。對擾動通道來說，希望時間常數(shù)盡量大，這樣擾動對被控參數(shù)的影響平緩。22

三、滯后時間τ傳遞滯后（純滯后）容量滯后

在許多控制過程當(dāng)輸入量發(fā)生變化后，輸出量不是立即發(fā)生此變化，而是等一段時間后才開始發(fā)生變化，這種現(xiàn)象稱為滯后現(xiàn)象。1、傳遞滯后（純滯后）

★由于介質(zhì)的輸送需要一段時間而引起；★從測量角度來說，由于測量點(diǎn)選擇不當(dāng)、測量元件安裝不合適等原因也會造成。

23傳遞滯后（純滯后）24無滯后有滯后

有、無純滯后的一階對象數(shù)學(xué)模型及階躍響應(yīng)曲線τ0252.容量滯后（過渡滯后）

有些對象受到階躍作用后，被控變量y開始變化很慢，后來逐漸加快，最后變慢直至逐漸接近穩(wěn)態(tài)值，這種現(xiàn)象為容量滯后或過渡滯后。由于物料或能量的傳遞需要通過一定阻力而引起，如兩個水槽串聯(lián)的二階對象：其階躍反應(yīng)曲線為：262、容量滯后（過渡滯后）

二階對象可以用帶有滯后的一階對象來近似處理.

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3、滯后時間對控制過程的影響

對于控制通道，滯后時間的存在，使得控制作用總是落后于被控變量的變化，造成被控變量的最大偏差增大，控制質(zhì)量下降。

對于干擾通道，純滯后的存在，相當(dāng)于將擾動推遲τ

時間才進(jìn)入系統(tǒng)，并不影響控制系統(tǒng)的品質(zhì)；而容量滯后的存在，則將使階躍擾動的影響趨于緩和，被控變量的變化相應(yīng)也緩和些，因此對系統(tǒng)是有利的。28

3.1比例方程模型——算法模型利用化學(xué)方程式的比例關(guān)系，計(jì)算反應(yīng)物的用量或求解產(chǎn)物，是化學(xué)實(shí)驗(yàn)計(jì)算教學(xué)中的一大類型。

[例1]求5.4gAl與足量鹽酸反應(yīng)生成氫氣的體積？消耗6mol/L的鹽酸多少毫升？293.2代數(shù)方程模型——公式模型[例2]在25℃時，10體積強(qiáng)酸和1體積強(qiáng)堿混合恰好呈中性，則強(qiáng)酸和強(qiáng)堿的pH之間應(yīng)滿足什么關(guān)系？分析：由于pH與數(shù)學(xué)中的對數(shù)知識相關(guān)聯(lián)，本題可利用數(shù)學(xué)中的對數(shù)來解決。解：設(shè)強(qiáng)酸pH=-lg[H+]=x，則知[H+]=10-x；同理設(shè)強(qiáng)堿pH=y=-14+lg[OH-]，則知[OH-]=10y-14。由于2者混合后溶液呈中性，有：V強(qiáng)酸?[H+]=V強(qiáng)堿?[OH-]10×10-x=1×10y-14101-x=10y-141-x=y-14∴x+y=15。303.3幾何畫板模型——圖示模型

[例3]在20.00mL鹽酸酸化的AlCl3溶液中加入0.10mol/L的NaOH溶液，發(fā)現(xiàn)當(dāng)加入4.00mL后，開始出現(xiàn)沉淀，且當(dāng)加入到10.00mL和18.00mL時，出現(xiàn)的沉淀一樣多，試求當(dāng)加入多少毫升NaOH溶液時，產(chǎn)生最大量的沉淀，當(dāng)加入多少毫升NaOH溶液時，沉淀完全消失？由反應(yīng)式：AlCl3+3NaOH=Al(OH)3↓+3NaCl……(1)Al(OH)3+NaOH=NaAlO2+2H2O……(2)(1)式中NaOH與AlCl3的反應(yīng)比例(3:1)可構(gòu)造直線AC，如圖1。(2)式中NaOH與Al(OH)3的反應(yīng)比例(1:1)可構(gòu)造直線CB，如圖1。31已知A(4,0)，E(10,0)，F(xiàn)(18,0)，求C和B點(diǎn)的橫坐標(biāo)32解：①由斜率kAC=1/3和A(4,0)知直線AC的方程為y=1/3(x-4)。設(shè)B(t,0)，由kCB=-1知直線BC方程為：y=-1(x-t)又∵G點(diǎn)和H點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，得：1/3(10-4)=-1(18-t)∴t=20（此時沉淀完全消失）②聯(lián)立方程組y=1/3(x-4)、y=20-x解得20-x=1/3(x-4);x=16（此時沉淀最多）。333.4排列組合模型——算法模型排列組合在分析原子、離子等組成物質(zhì)種類，結(jié)構(gòu)單元等問題時可以將具體問題抽象化，可以簡化解題過程。34[例4]：已知?dú)湓赜?H、2H、3H三種同位素，氧元素也有16O、18O二種同位素。它們之間形成化合物的種類有()。A.30種B.18種C.21種D.33種

解析：可以形成的化合物有H2O和H2O2兩種。對H2O而言：當(dāng)其中兩個氫原子是同一種原子時H2O的種數(shù)為C31×C21=6（種）；當(dāng)其中兩個氫不是同一種原子時H2O的種數(shù)為C32×C21=6（種）；所以H2O有C31×C21+C32×C21=6+6=12種；對H2O2而言：35當(dāng)其中的兩個氫原子，兩個氧原子都是同一種原子