2024-2025學年福建省三明市高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年福建省三明市高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學檢測試題一、單選題1．橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．已知圓的方程是，則圓心的坐標是（

）A． B． C． D．3．直線與圓的位置關系是（）A．相交且過圓心 B．相切C．相離 D．相交但不過圓心4．已知空間向量滿足，則向量的夾角為（）A． B． C． D．5．若空間中有三點，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．6．將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后所得直線的方程為（

）A． B．C． D．7．已知點為直線上任意一點，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．8．已知點為橢圓上任意一點，直線過的圓心且與交于兩點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．如圖，已知正方體的棱長為分別為棱的中點，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．不是平面的一個法向量10．若圓與圓相交，則k的取值可能為（

）A． B．0 C．3 D．511．法國數(shù)學家蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓．若矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說法中正確的是（

）A．橢圓的蒙日圓方程為B．過直線上一點作橢圓的兩條切線，切點分別為為直角時，直線的斜率為C．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則D．若為正方形，則的邊長為三、填空題12．已知定點，點為圓上的動點，則的中點的軌跡方程為.13．設直線與直線的交點為P，則P到直線的距離的最大值為．14．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0，3)，圓.若圓C上存在點M，使，則實數(shù)a的取值范圍是．四、解答題15．已知直線和點．(1)求經(jīng)過點，且與直線平行的直線的方程；(2)求經(jīng)過點，且與直線垂直的直線的方程；(3)求點關于直線對稱的點的坐標；16．已知橢圓：的離心率為，焦距為4.(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓相切，且直線與直線：平行，求直線的斜截式方程.17．如圖，在四棱錐中，，，，，底面為正方形，，分別為，的中點.(1)求點到平面的距離；(2)求直線與平面所成角的余弦值.18．已知直線：，：，且滿足，垂足為C.(1)求m的值及點C的坐標.(2)設直線與x軸交于點A，直線與x軸交于點B，求的外接圓方程.19．阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學家、物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標系中，橢圓：的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形.過點的直線與橢圓C交于不同的兩點A，B.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設橢圓C的左、右頂點分別為P，Q，直線PA與直線交于點F，試證明B，Q，F(xiàn)三點共線.答案：題號12345678910答案AAADDCCABDAC題號11答案ACD1．A【分析】求出和即可求出離心率.【詳解】因為，，所以離心率為.故選：A.2．A【分析】把圓的一般方程化為標準方程，可得圓心坐標.【詳解】圓的方程可化為，圓心的坐標是.故選：A.3．A【分析】先求出圓的圓心和半徑，再求出圓心到直線的距離，與半徑比較可得結(jié)論.【詳解】圓的圓心為，半徑，因為，所心直線過圓心，所以直線與圓相交且過圓心.故選：A.4．D【分析】由，求得，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由向量，因為，可得，解得，所以.又因為，所以.故選：D．5．D【分析】求出平面的法向量，然后利用空間點面距離公式可得答案.【詳解】，設平面的一個法向量為，由得，令得，所以，則點到平面的距離為.故選：D.6．C【分析】分析可知，所得直線與直線垂直，可得出所求直線的斜率，再利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知，所得直線與直線垂直，即所求直線的斜率為，因此，所求直線的方程為，即.故選：C.7．C【分析】的幾何意義為直線上的點到原點的距離，由點到直線的距離公式可得．【詳解】點為直線上任意一點，又的幾何意義為直線上的點到的距離，故最小值為到直線的距離，即最小值為故選：C．8．A【分析】根據(jù)圓心為的中點，利用向量運算將用來表示，轉(zhuǎn)化為橢圓上一點到焦點的距離范圍求解即可.【詳解】，即，則圓心，半徑為.橢圓方程，,則，則圓心為橢圓的焦點，由題意的圓的直徑，且如圖，連接，由題意知為中點，則，可得.點為橢圓上任意一點，則，，由，得.故選：A.關鍵點點睛：解決此題的關鍵于利用中點性質(zhì)，將多動點有關的數(shù)量積，通過向量的線性運算與數(shù)量積運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為動點與定點圓心連線的長度來表示，進而可借助橢圓上任意一點到焦點距離的范圍使問題得解.9．BD【分析】以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算可判斷各項的正誤.【詳解】由為正方體，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則?.對于選項，，則，故錯誤；對于選項，，則，故正確；對于選項，，故，故錯誤；對于選項，，故不是平面的一個法向量，故正確.故選.10．AC【分析】根據(jù)兩圓相交時圓心距與兩圓半徑之間的關系求解即可.【詳解】兩圓的圓心，圓心距，半徑分別為，因為圓M與圓N相交，所以，解得或．故選：AC．11．ACD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合蒙日圓的特征求出蒙日圓的方程判斷A；求出直線與蒙日圓的交點坐標計算判斷B；由兩圓相切求出判斷C；求出蒙日圓的內(nèi)接正方形邊長判斷D.【詳解】對于A，橢圓的蒙日圓方程為，A正確；對于B，依題意，點是直線與蒙日圓的交點，則，解得或，直線的斜率為或0，B錯誤；對于C，圓的圓心為，半徑為2，顯然點在圓外，而圓的半徑為3，由兩圓只有一個公共點，得，解得，C正確；對于D，由矩形的四邊均與橢圓相切，得是圓的內(nèi)接矩形，當為正方形時，該正方形邊長為，D正確.故選：ACD12．【分析】利用代入法求解動點的軌跡方程，以及中點公式等知識點，即可求解.【詳解】由題意，設，則，所以，代入圓的方程，整理得，即.故答案為.13．【分析】先求出的坐標，再求出直線所過的定點，則所求距離的最大值就是的長度.【詳解】由可以得到，故，直線的方程可整理為：，故直線過定點，因為到直線的距離，當且僅當時等號成立，故，故答案為.14．.【分析】由得到點M的軌跡方程為圓，再由兩圓的位置關系求出a的范圍.【詳解】由的圓心，設，因為，所以.所以點M在以為圓心，2為半徑的圓上，則圓C與圓D有公共點，滿足：，即.故答案為.15．(1)(2)(3)【分析】（1）設所求直線方程為，代入點可得結(jié)果；（2）根據(jù)直線垂直可得所求直線斜率，代入點即可求解；（3）設點關于直線對稱的點的坐標，利用垂直和中點坐標關系解方程組可得結(jié)果.【詳解】（1）可設所求直線方程為將點代入得，解得所以所求直線方程為；（2）可設所求直線方程為，將點代入得，解得，所以所求直線方程為；（3）設點關于直線對稱的點的坐標為，則有，解得，即所求點的坐標為；16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列出關于的方程組即可求解；（2）設所求直線方程為，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合判別式等于0求出參數(shù)的值即可得解.【詳解】（1）由題意得，從而可得，橢圓的標準方程為.（2）設與直線平行的直線的方程為：，聯(lián)立，得，由，得，直線的斜截式方程為.17．(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，運用向量點到平面的距離公式計算即可；（2）先求出直線與平面所成的角，可通過向量法，求出平面的法向量，再根據(jù)向量的夾角公式求出直線與平面所成角的正弦值，最后根據(jù)三角函數(shù)關系求出余弦值.【詳解】（1）因為，，，，底面為正方形，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，因為，分別為，中點，所以，，則，，，設平面的法向量為，由，即，令，則，，所以，則，，根據(jù)點到平面的距離公式.（2）首先設平面的法向量，，，由，即，令，則，，所以，設直線與平面所成角為，則，，，所以，因為，所以，則直線與平面所成角的余弦值.18．(1)，(2)．【分析】（1）根據(jù)題意，求得兩直線的斜率，結(jié)合，求得，得出直線的方程，聯(lián)立方程組，求得交點坐標.（2）由（1）中的直線方程，求得，，得到的外接圓是以為直徑的圓，求得圓心坐標和半徑，即可求解.【詳解】（1）解：顯然，可得，，由，可得，即，解得，所以直線：，直線：，聯(lián)立方程組，解得，所以點．（2）解：由直線：，直線：，可得，，所以的外接圓是以為直徑的圓，可得圓心，半徑，所以的外接圓方程是．19．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用條件，建立的關系，直接求出即可求出結(jié)果；（2）分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，當斜率不存在時，可直接求出B，Q，F(xiàn)三點的坐標，從而可利用向量判斷出是否共線；當斜率存在時，設出直線方程y=kx?1，聯(lián)立方程得到3+4k2x2?8k【詳解】（1）依題意有，解得，所以橢圓C的標準