備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)專題40圓的方程9題型分類(原卷版+解析)

專題40圓的方程9題型分類1．圓的定義和圓的方程定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．常用結(jié)論1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上．3．圓心在任一弦的垂直平分線上．（一）1.求圓的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．2.方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．4.（1）圓的軸對(duì)稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱（2）圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn)（3）圓關(guān)于直線對(duì)稱：①求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某條直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線題型1：求圓的方程1-1．（2024高一上·江蘇連云港·期末）求過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．1-2．（2024高三下·陜西西安·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的外接圓方程是（

）A． B．C． D．1-3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則外接圓的方程為（

）A． B． C． D．題型2：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件2-1．（2024高二上·甘肅金昌·期中）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或2-2．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，2-3．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型3：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷3-1．（2024·遼寧·二模）已知圓，直線l：，若l與圓O相交，則（

）．A．點(diǎn)在l上 B．點(diǎn)在圓O上C．點(diǎn)在圓O內(nèi) D．點(diǎn)在圓O外3-2．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．3-3．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓外 D．不確定3-4．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型4：與圓有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題4-1．（2024·西藏日喀則·一模）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，圓交于、兩點(diǎn)，則4-2．（2024高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是．4-3．（2024高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知圓C與圓D：關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的方程為．（二）求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式．題型5：與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題5-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓，平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足：且，．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；5-2．（2024·福建）動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離的比等于2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明這軌跡是什么圖形．5-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知是圓內(nèi)的一點(diǎn)是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求矩形頂點(diǎn)Q的軌跡方程．5-4．（2024高二下·廣東深圳·期中）點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．（三）與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的求解方法(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問(wèn)題．(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問(wèn)題的基本思路：①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過(guò)對(duì)稱性解決．題型6：利用幾何性質(zhì)求最值6-1．（2024·河北·一模）直線與圓相切，則的最大值為（

）A．16 B．25 C．49 D．816-2．（2024·吉林白山·一模）已知圓與直線，P，Q分別是圓C和直線l上的點(diǎn)且直線PQ與圓C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．6-3．（2024·重慶）設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x＝－3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A．6 B．4 C．3 D．2題型7：利用函數(shù)求最值7-1．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)B，第一象限內(nèi)的點(diǎn)C，構(gòu)成等腰直角三角形ABC，且，則線段OC長(zhǎng)的最大值是．7-2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知圓和點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)分別為，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．（四）求過(guò)兩直線交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn)）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點(diǎn)，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．（1）直線系方程：若直線與直線相交于點(diǎn)P，則過(guò)點(diǎn)P的直線系方程為：簡(jiǎn)記為：當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓系方程為：簡(jiǎn)記為：，不含當(dāng)時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系題型8：圓系方程8-1．（2024高二上·安徽銅陵·期中）經(jīng)過(guò)直線與圓的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程為.8-2．（2024高三下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）曲線與的四個(gè)交點(diǎn)所在圓的方程是．8-3．（2024高二·遼寧·學(xué)業(yè)考試）過(guò)圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是．（五）圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，想辦法求出含有參數(shù)的圓的方程，然后按參數(shù)整理后得，只要讓此關(guān)于的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)（包括常數(shù)項(xiàng)）均為0，就可解得定點(diǎn)．題型9：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題9-1．（2024高二下·上海徐匯·期中）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為．9-2．（2024高三·浙江溫州·階段練習(xí)）已知?jiǎng)訄A圓心在拋物線上，且動(dòng)圓恒與直線相切，則此動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)9-3．（2024高三下·上海閔行·期中）若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個(gè)不同的點(diǎn)、、，則的外接圓恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為一、單選題1．（2024高三下·廣西·階段練習(xí)）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C． D．2．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，則λ的取值范圍是（

）A．(1，＋∞) B．C．(1，＋∞)∪ D．R3．（2024高二上·海南?？凇て谥校┮阎匠瘫硎緢A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）圓C：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．5．（2024高二上·青海西寧·期末）已知圓心為的圓與直線相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．6．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：，過(guò)點(diǎn)的兩條直線，互相垂直，圓心C到直線，的距離分別為，，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．47．（2024·北京）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C．1 D．8．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若圓：過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-19．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．10．（2024高三下·重慶·階段練習(xí)）德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出過(guò)如下的“最大視角定理”（也稱“米勒定理”）：若點(diǎn)是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)C時(shí)，最大．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)F是y軸負(fù)半軸的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，的外接圓的方程是（

）．A． B．C． D．11．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線恒過(guò)定點(diǎn)P，則與圓C：有公共的圓心且過(guò)點(diǎn)P的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．12．（2024高二上·甘肅慶陽(yáng)·期末）已知圓與直線相切，則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．13．（2024高一上·廣東廣州·期末）已知圓的圓心為，其一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是（

）A． B．C． D．14．（2024·全國(guó)）在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線15．（2024·北京）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．716．（2024高二上·江蘇鹽城·期中）若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．17．（2024高二上·廣東清遠(yuǎn)·期末）若過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值不可能是(

)A． B． C． D．218．（2024高一下·四川自貢·期中）點(diǎn)P在單位圓⊙O上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．319．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓C：的外部，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．20．（2024高三下·河南開封·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．21．（2024高三上·福建龍巖·期中）“方程表示的圖形是圓”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件22．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，與交于，兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，則的最大值等于（

）A．2 B．4 C．8 D．1623．（2024高三上·河南焦作·開學(xué)考試）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，則該圓的半徑為（

）A．4 B．5 C．8 D．1024．（2024·北京平谷·一模）點(diǎn)M、N在圓上，且M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的半徑（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最小值為 D．最大值為25．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若，使曲線是圓，則（

）A． B． C．或 D．26．（2024高三上·上海奉賢·階段練習(xí)）已知：圓的方程為，點(diǎn)不在圓上，也不在圓的圓心上，方程，則下面判斷正確的是（

）A．方程表示的曲線不存在B．方程表示與同心且半徑不同的圓C．方程表示與相交的圓D．當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，方程表示與相離的圓27．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）圓心在直線x-y-4＝0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（

）A．x2+y2-x+7y-32＝0 B．x2+y2-x+7y-16＝0C．x2+y2-4x+4y+9＝0 D．x2+y2-4x+4y-8＝028．（2024高三上·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓C過(guò)點(diǎn)，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．29．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)、兩點(diǎn)，且與直線相切的圓的方程可以是（

）A． B．C． D．30．（2024·全國(guó)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．731．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽(yáng)兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個(gè)圖形是一個(gè)圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓．已知符號(hào)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（

）A． B．C． D．32．（2024·安徽·三模）已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程的所有根的和為6，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．33．（2024高二下·四川南充·階段練習(xí)）曲線，要使直線與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．34．（2024·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）若兩條直線：，：與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則（

）A．0 B．1 C．2 D．335．（2024高二上·浙江嘉興·期末）直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)36．（2024高二下·山西晉城·開學(xué)考試）直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．37．（2024高二上·遼寧營(yíng)口·階段練習(xí)）已知曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．38．（河南省鄭州市第四高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題39．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為．40．（2024·全國(guó)）過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．41．（2024高三下·江西南昌·階段練習(xí)）圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程為.42．（2024·全國(guó)）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為．43．（2024高一下·江西九江·期中）經(jīng)過(guò)兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為44．（2024高一·全國(guó)·單元測(cè)試）過(guò)兩圓與的交點(diǎn)和點(diǎn)的圓的方程是.45．（2024高二下·上?！ら_學(xué)考試）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為.46．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）若圓關(guān)于直線和直線都對(duì)稱，則D＋E的值為．47．（2024高二下·四川成都·開學(xué)考試）圓關(guān)于直線對(duì)稱，則．48．（2024高二上·安徽蕪湖·期中）已知關(guān)于x，y的二元二次方程，當(dāng)t為時(shí)，方程表示的圓的半徑最大．49．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知圓經(jīng)過(guò)拋物線與軸的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，則圓的方程為.50．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）M是拋物線上一點(diǎn)，N是圓C：關(guān)于直線x－y＋1＝0的對(duì)稱圓上的一點(diǎn)，則的最小值是．51．（2024高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）圓心在直線上且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程是．52．（2024·廣東揭陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，截軸所得弦長(zhǎng)是截軸所得弦長(zhǎng)2倍的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.53．（2024高二上·浙江紹興·期中）已知圓過(guò)直線和圓的交點(diǎn)，且原點(diǎn)在圓上．則圓的方程為．54．（2024·天津·一模）已知一個(gè)圓經(jīng)過(guò)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，并且有最小面積，則此圓的方程為.55．（2024·重慶）動(dòng)圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動(dòng)圓恒與直線x+2=0相切，則動(dòng)圓必過(guò)點(diǎn)．56．（2024高三上·上海徐匯·期末）已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為，則圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）57．（2024高三·全國(guó)·階段練習(xí)）已知直線與曲線交于兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，.58．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓與圓的位置關(guān)系為．59．（2024高二上·廣東廣州·期中）已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是．60．（2024高二上·遼寧大連·競(jìng)賽）設(shè)有一組圓：．下列四個(gè)命題其中真命題的序號(hào)是①存在一條定直線與所有的圓均相切；②存在一條定直線與所有的圓均相交；③存在一條定直線與所有的圓均不相交；④所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．61．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖像上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．三、解答題62．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知的斜邊為，且.求：(1)直角頂點(diǎn)的軌跡方程；(2)直角邊的中點(diǎn)的軌跡方程.63．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）由圓外一點(diǎn)引圓的割線交圓于兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.64．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點(diǎn)P到的距離是點(diǎn)P到的距離的2倍．求點(diǎn)P的軌跡方程；65．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，把化簡(jiǎn)成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式66．（2024高一上·河南·期末）已知圓C過(guò)點(diǎn)，，且圓心C在直線上.(1)求圓C的方程；(2)若點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)，M為AP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最大值.67．（2024高二上·北京海淀·期中）求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心為點(diǎn)；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在y軸上.68．（2024高二·江蘇·專題練習(xí)）已知點(diǎn)是圓上的定點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，、為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程．(2)若，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．69．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知點(diǎn)A(-1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程.

70．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q、R，且．求直線AR與DQ的交點(diǎn)P的軌跡方程．71．（2024高三上·福建三明·期中）已知圓C：.(1)若不過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的一般式方程；(2)從圓C外一點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，求點(diǎn)P的軌跡方程.72．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）化簡(jiǎn)之后為，求a，成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期專題40圓的方程9題型分類1．圓的定義和圓的方程定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．常用結(jié)論1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上．3．圓心在任一弦的垂直平分線上．（一）1.求圓的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．2.方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．4.（1）圓的軸對(duì)稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱（2）圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn)（3）圓關(guān)于直線對(duì)稱：①求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某條直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線題型1：求圓的方程1-1．（2024高一上·江蘇連云港·期末）求過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圓心在直線x﹣2y﹣2＝0上，可設(shè)圓心C（2b+2，b），再根據(jù)圓心到兩點(diǎn)A（0，4）、B（4，6）的距離相等，求出b的值，即得圓心和半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為C（2b+2，b），由圓過(guò)兩點(diǎn)A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，即，解得，可得圓心為（4，1），半徑為5，則所求圓的方程為．故選：D．1-2．（2024高三下·陜西西安·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的外接圓方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由切線性質(zhì)得O、A、B、P四點(diǎn)共圓，為直徑，求得圓心坐標(biāo)和半徑可得圓方程即為所求．【詳解】由圓，得到圓心，由題意知O、A、B、P四點(diǎn)共圓，的外接圓即四邊形的外接圓，又，從而的中點(diǎn)坐標(biāo)為所求圓的圓心，為所求圓的半徑，所以所求圓的方程為.故選：A1-3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則外接圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得外接圓的方程即可進(jìn)行選擇.【詳解】設(shè)外接圓的方程為則有，解之得則外接圓的方程為故選：D題型2：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件2-1．（2024高二上·甘肅金昌·期中）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)公式，即可求解.【詳解】若方程表示圓，則，解得：或.故選：C2-2．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，【答案】D【分析】根據(jù)圓的一般式方程可得答案.【詳解】關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是，即，且，.故選：D2-3．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的充要條件是可得答案.【詳解】因?yàn)榉匠?，即表示圓，等價(jià)于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A題型3：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷3-1．（2024·遼寧·二模）已知圓，直線l：，若l與圓O相交，則（

）．A．點(diǎn)在l上 B．點(diǎn)在圓O上C．點(diǎn)在圓O內(nèi) D．點(diǎn)在圓O外【答案】D【分析】根據(jù)l與圓O相交，可知圓心到直線的距離小于半徑，列出不等式，再判斷點(diǎn)與直線和圓的關(guān)系.【詳解】由已知l與圓O相交，,可知圓心到直線的距離小于半徑，則有，故，把代入，所以點(diǎn)不在直線l上，故A錯(cuò)誤；又，則點(diǎn)在圓O外，故D正確.故選：D．3-2．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可知，半徑，所以，把點(diǎn)代入方程，則，解得，所以故a的取值范圍是.故選：D3-3．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓外 D．不確定【答案】C【分析】點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，點(diǎn)在圓外.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，故選：C3-4．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用表示圓的條件和點(diǎn)和圓的位置關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.【詳解】依題意，方程可以表示圓，則，得；由點(diǎn)在圓的外部可知：，得.故.故選：C題型4：與圓有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題4-1．（2024·西藏日喀則·一模）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，圓交于、兩點(diǎn)，則【答案】2【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再由圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓心在直線上，即可求出的值，最后求出圓心到直線的距離，利用勾股定理、垂徑定理計(jì)算可得.【詳解】圓，即，圓心，半徑，因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，所以，圓心，半徑，則圓心到軸的距離，所以.故答案為：4-2．（2024高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是．【答案】2【分析】依題意有直線過(guò)圓心，得到，再利用重要不等式求的最小值.【詳解】圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線過(guò)圓心，有，即.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.∴，即，所以時(shí)，的最小值為2.故答案為：24-3．（2024高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知圓C與圓D：關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的方程為．【答案】【分析】已知圓D：，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心坐標(biāo)及半徑，圓C與圓D關(guān)于直線對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為兩圓心關(guān)于直線對(duì)稱，半徑相等，求出圓C的圓心，則可得圓C的方程.【詳解】因?yàn)椋O(shè)圓C的圓心為，又因?yàn)閳AC與圓D關(guān)于直線對(duì)稱，即圓心與關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，所以，圓C的方程為（二）求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式．題型5：與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題5-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓，平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足：且，．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；【答案】【分析】設(shè)，依題意得到，整理即可得解.【詳解】解：設(shè)，由，所以，整理得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．5-2．（2024·福建）動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離的比等于2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明這軌跡是什么圖形．【答案】；動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，半徑是4的圓【分析】題意可知，由兩點(diǎn)間得距離公式化簡(jiǎn)即可求解【詳解】由題意可知：，又，和，所以，化簡(jiǎn)得即，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，半徑是4的圓5-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知是圓內(nèi)的一點(diǎn)是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求矩形頂點(diǎn)Q的軌跡方程．【答案】【分析】根據(jù)可得以及中可求點(diǎn)M的軌跡，再根據(jù)為中點(diǎn)即可求解.【詳解】連接AB，PQ，設(shè)AB與PQ交于點(diǎn)M，如圖所示．因?yàn)樗倪呅蜛PBQ為矩形，所以M為AB，PQ的中點(diǎn)，連接OM.由垂徑定理可知設(shè)由此可得①又在中，有②由①②得故點(diǎn)M的軌跡是圓．因?yàn)辄c(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)，設(shè)則代入點(diǎn)M的軌跡方程中得，整理得，即為所求點(diǎn)Q的軌跡方程．5-4．（2024高二下·廣東深圳·期中）點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，得出點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程，即可得到線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得，點(diǎn)在圓上，則，即.故選：A.（三）與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的求解方法(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問(wèn)題．(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問(wèn)題的基本思路：①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過(guò)對(duì)稱性解決．題型6：利用幾何性質(zhì)求最值6-1．（2024·河北·一模）直線與圓相切，則的最大值為（

）A．16 B．25 C．49 D．81【答案】C【分析】利用圓與直線的位置關(guān)系得出的方程，根據(jù)方程分析利用表示的幾何意義求解即可.【詳解】由直線與圓相切可得：圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，故，即點(diǎn)在圓O上，的幾何意義為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方，由圓心為，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為圓心到的距離與圓半徑之和，即，所以的最大值為.故選：C.6-2．（2024·吉林白山·一模）已知圓與直線，P，Q分別是圓C和直線l上的點(diǎn)且直線PQ與圓C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，的最小值為圓心到直線的距離，可求的最小值.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓C的圓心為，半徑，則，直線PQ與圓C相切，有，因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線l上，所以，則．即的最小值是.故選：A6-3．（2024·重慶）設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x＝－3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【詳解】當(dāng)PQ所在直線過(guò)圓心且垂直于直線x＝－3時(shí)，|PQ|有最小值，且最小值為圓心(3，－1)到直線x＝－3的距離減去半徑2，即最小值為4，故選B.題型7：利用函數(shù)求最值7-1．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)B，第一象限內(nèi)的點(diǎn)C，構(gòu)成等腰直角三角形ABC，且，則線段OC長(zhǎng)的最大值是．【答案】/【分析】設(shè)，，，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和兩直線垂直的條件，可得，的方程，解方程可得的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值.【詳解】曲線是以為圓心，1為半徑的上半圓，可設(shè)，，，由等腰直角三角形，可得，即有即，①，即有，即為，②由①②解得，，或，（舍去）．則，當(dāng)，即，取得最大值．故答案為：7-2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知圓和點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)分別為，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用可得，再由利用配方法可得答案.【詳解】設(shè)，連接，則，可得，所以，即，可得，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.

（四）求過(guò)兩直線交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn)）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點(diǎn)，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．（1）直線系方程：若直線與直線相交于點(diǎn)P，則過(guò)點(diǎn)P的直線系方程為：簡(jiǎn)記為：當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓系方程為：簡(jiǎn)記為：，不含當(dāng)時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系題型8：圓系方程8-1．（2024高二上·安徽銅陵·期中）經(jīng)過(guò)直線與圓的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)出過(guò)直線和圓的交點(diǎn)的圓系方程，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)，可求出的值，即可確定所求圓的方程.【詳解】設(shè)過(guò)已知直線和圓的交點(diǎn)的圓系方程為：∵所求圓過(guò)點(diǎn)∴解得所以圓的方程為，化簡(jiǎn)得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求解圓的方程，設(shè)出過(guò)已知直線和圓的交點(diǎn)的圓系方程是解本題的關(guān)鍵.8-2．（2024高三下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）曲線與的四個(gè)交點(diǎn)所在圓的方程是．【答案】【解析】根據(jù)題意得到：，化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】，，故，化簡(jiǎn)整理得到：，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線交點(diǎn)求圓方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.8-3．（2024高二·遼寧·學(xué)業(yè)考試）過(guò)圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是．【答案】【分析】根據(jù)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程設(shè)出所求圓的方程，并求出圓心坐標(biāo)，把圓心坐標(biāo)代入直線的方程，從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的方程為，則，即，所以圓心坐標(biāo)為，把圓心坐標(biāo)代入，可得，所以所求圓的方程為．故答案為：.（五）圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，想辦法求出含有參數(shù)的圓的方程，然后按參數(shù)整理后得，只要讓此關(guān)于的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)（包括常數(shù)項(xiàng)）均為0，就可解得定點(diǎn)．題型9：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題9-1．（2024高二下·上海徐匯·期中）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】或【分析】由已知得，從而，由此能求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：，即，令，解得，，或，，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)是或．故答案為：或.9-2．（2024高三·浙江溫州·階段練習(xí)）已知?jiǎng)訄A圓心在拋物線上，且動(dòng)圓恒與直線相切，則此動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)【答案】【分析】由拋物線方程可確定焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，結(jié)合拋物線定義可知?jiǎng)訄A必過(guò)焦點(diǎn)，由此可得結(jié)論.【詳解】由拋物線方程知：拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為；設(shè)動(dòng)圓圓心為，動(dòng)圓與直線相切，動(dòng)圓半徑即為其圓心到直線的距離；動(dòng)圓圓心在拋物線上，，動(dòng)圓必過(guò)點(diǎn)，即所求定點(diǎn)為.故答案為：.9-3．（2024高三下·上海閔行·期中）若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個(gè)不同的點(diǎn)、、，則的外接圓恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】【分析】設(shè)拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)、，根據(jù)題意設(shè)圓心為，求出，寫出圓的方程，可得出關(guān)于、的方程組，即可得出圓所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)、，由題意可知，由韋達(dá)定理可得，，所以，線段的中點(diǎn)為，設(shè)圓心為，由可得，解得，，則，則，所以，圓的方程為，整理可得，方程組的解為.因此，的外接圓恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.一、單選題1．（2024高三下·廣西·階段練習(xí)）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線過(guò)圓心代入求解即可.【詳解】由題意得，圓心為，因?yàn)橹本€是圓的一條對(duì)稱軸，所以直線過(guò)圓心，即，解得.故選：D2．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，則λ的取值范圍是（

）A．(1，＋∞) B．C．(1，＋∞)∪ D．R【答案】A【分析】根據(jù)表示圓的條件D2＋E2―4F＞0，解不等式即可.【詳解】因?yàn)榉匠蘹2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，所以D2＋E2―4F＞0，即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范圍是(1，＋∞)．故選：A.3．（2024高二上·海南海口·期中）已知方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式即可.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，所以，解得.故選：D4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）圓C：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可.【詳解】由圓C：，可知圓心坐標(biāo)：，半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以圓C：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是，故選：C5．（2024高二上·青海西寧·期末）已知圓心為的圓與直線相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圓心到切線的距離等于半徑，求出圓的半徑，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)閳A心為的圓與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選：A6．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：，過(guò)點(diǎn)的兩條直線，互相垂直，圓心C到直線，的距離分別為，，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】由四邊形是矩形，應(yīng)用勾股定理可求，再利用基本不等式可得答案.【詳解】過(guò)圓心C分別作直線，的垂線，垂足分別為，．，互相垂直，所以四邊形為矩形．由圓C：，可得，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為1，故選：B.

7．（2024·北京）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過(guò)圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解．【詳解】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．8．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若圓：過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1【答案】C【分析】根據(jù)圓的一般方程的定義，結(jié)合過(guò)原點(diǎn)列方程即可求解.【詳解】∵表示圓，∴∴.又圓過(guò)原點(diǎn)，∴，∴或（舍去）；.故選:C.9．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圓的垂徑定理得，利用勾股關(guān)系求得，結(jié)合圓的定義即可求出點(diǎn)P的軌跡方程.【詳解】因?yàn)橹悬c(diǎn)為P，所以，又，所以，所以點(diǎn)P在以C為圓心，4為半徑的圓上，其軌跡方程為.故選：C.10．（2024高三下·重慶·階段練習(xí)）德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出過(guò)如下的“最大視角定理”（也稱“米勒定理”）：若點(diǎn)是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)C時(shí)，最大．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)F是y軸負(fù)半軸的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，的外接圓的方程是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】由米勒定理知當(dāng)最大時(shí)，的外接圓與軸負(fù)半軸相切，再由點(diǎn)和的坐標(biāo)得出半徑和圓心橫坐標(biāo)，設(shè)圓心為，由圓上點(diǎn)到圓心的距離為半徑列出方程，得出，即可寫出圓的方程．【詳解】由米勒定理知當(dāng)最大時(shí)，的外接圓與軸負(fù)半軸相切，此時(shí)圓心位于第四象限，因?yàn)辄c(diǎn)，，所以圓心在直線上，又圓與軸負(fù)半軸相切，所以圓的半徑為3，設(shè)圓心為，，則，解得，又，所以所以的外接圓的方程是，故選：A．

11．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線恒過(guò)定點(diǎn)P，則與圓C：有公共的圓心且過(guò)點(diǎn)P的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出圓C的圓心C及線段CP長(zhǎng)即可求解作答.【詳解】直線，即，由解得，即P(?1,1)，圓C：的圓心，，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B12．（2024高二上·甘肅慶陽(yáng)·期末）已知圓與直線相切，則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用圓與直線相切，求出，然后求出過(guò)圓圓心垂直于直線的直線方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)，再利用中點(diǎn)公式求出關(guān)于直線對(duì)稱后圓的圓心坐標(biāo)，半徑?jīng)]有改變，即可解決問(wèn)題.【詳解】由圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為5，又圓與直線相切，則到直線的距離為，則，解得，設(shè)過(guò)且與垂直的直線為，則：，聯(lián)立，得直線l與的交點(diǎn)為，設(shè)圓心關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，由中點(diǎn)公式有所以圓心關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因此圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程為：，故選：D.13．（2024高一上·廣東廣州·期末）已知圓的圓心為，其一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出半徑，再求出圓的方程即可.【詳解】設(shè)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別，圓心C為點(diǎn)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，解得∴半徑，∴圓的方程是即故選：A.14．（2024·全國(guó)）在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線【答案】A【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15．（2024·北京）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1可得答案.【詳解】設(shè)圓心，則，化簡(jiǎn)得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取得等號(hào)，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.16．（2024高二上·江蘇鹽城·期中）若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)曲線方程，表示圓心為，半徑為的圓在軸以及右側(cè)的部分，由直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以確定的取值范圍.【詳解】表示的曲線是圓心為，半徑為的圓在軸以及右側(cè)的部分，如圖所示：直線必過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線和圓恰有一個(gè)交點(diǎn)，即，結(jié)合直線與半圓的相切可得，當(dāng)直的斜率不存在時(shí)，即時(shí)，直線和曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，所以要使直線和曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則.故選：B.17．（2024高二上·廣東清遠(yuǎn)·期末）若過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值不可能是(

)A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)半圓的切線性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解，然后根據(jù)圖象即可求解【詳解】如圖，曲線即表示以O(shè)為圓心，2為半徑的上半圓，因?yàn)橹本€即與半圓相切，所以，解得．因?yàn)樗?，又直線l與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以或，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是故選：B18．（2024高一下·四川自貢·期中）點(diǎn)P在單位圓⊙O上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P在圓上，令，得到，利用判別式求解.【詳解】解：如圖所示：

設(shè)，因?yàn)椋?，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以，令，得，，即，解得，所以的最大值為2，故選：C19．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓C：的外部，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由圓的半徑的平方大于0得到；再根據(jù)點(diǎn)在圓的外部得到，即可求解得到的取值范圍.【詳解】由，得，則，解得：①，又∵點(diǎn)在圓的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故選：B．20．（2024高三下·河南開封·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，可求出的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)輔助角公式以及三角函數(shù)性質(zhì)即可求得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)，則，令，則，即，則，其中為輔助角，，則，整理得，故的最大值為，故選：A21．（2024高三上·福建龍巖·期中）“方程表示的圖形是圓”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)圓的一般式表示圓的條件判斷即可．【詳解】解：由方程表示的圖形是圓，可得，即；由，得，顯然，所以“方程表示的圖形是圓”是“”的必要不充分條件．故選：B．、22．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，與交于，兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，則的最大值等于（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，得到圓心坐標(biāo)，在求出直線過(guò)定點(diǎn)，又根據(jù)對(duì)稱性，可知恰好為圓心坐標(biāo)，即可求出圓的方程，在由圓過(guò)原點(diǎn)，則，利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】圓，即，圓心為，直線，因?yàn)椋灾本€的斜率不為，又，令，解得，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，又圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在直線上，所以，解得，所以圓，半徑，顯然，即圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)榕c交于，兩點(diǎn)，即為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值等于.故選：B23．（2024高三上·河南焦作·開學(xué)考試）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，則該圓的半徑為（

）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】根據(jù)垂直關(guān)系得出直徑即可求出半徑.【詳解】因?yàn)?，所以該圓的直徑為，所以半徑為5．故選：B.24．（2024·北京平谷·一模）點(diǎn)M、N在圓上，且M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的半徑（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最小值為 D．最大值為【答案】C【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心坐標(biāo)和半徑的表達(dá)式，利用已知條件，得到圓心在直線上，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，得，所以圓心為，半徑為，由題意可得直線經(jīng)過(guò)圓心，故有，即，所以半徑為，當(dāng)時(shí)，圓C的半徑的最小值為.故選：C.25．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若，使曲線是圓，則（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】可推斷，從而分類討論和兩種情況，計(jì)算的值，并判斷是否表示圓.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，方程為，化簡(jiǎn)得，此時(shí)，不表示圓；當(dāng)時(shí)，方程為，化簡(jiǎn)得，此時(shí)，表示圓.所以.故選：A26．（2024高三上·上海奉賢·階段練習(xí)）已知：圓的方程為，點(diǎn)不在圓上，也不在圓的圓心上，方程，則下面判斷正確的是（

）A．方程表示的曲線不存在B．方程表示與同心且半徑不同的圓C．方程表示與相交的圓D．當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，方程表示與相離的圓【答案】B【分析】通過(guò)特殊值法判斷出方程表示的曲線.【詳解】因?yàn)闉閳A，設(shè)，點(diǎn)，其圓心為，半徑為，而的方程為，即，因此上述方程中，圓心亦為，半徑為，所以與圓是同心且半徑不同的圓.故選：B.27．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）圓心在直線x-y-4＝0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（

）A．x2+y2-x+7y-32＝0 B．x2+y2-x+7y-16＝0C．x2+y2-4x+4y+9＝0 D．x2+y2-4x+4y-8＝0【答案】A【分析】設(shè)所求圓的方程為(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，用λ表示出圓心，代入直線x-y-4＝0，求出λ，從而可求出所求圓的方程．【詳解】根據(jù)題意知，所求圓經(jīng)過(guò)圓x2+y2+6x-4＝0和圓x2+y2+6y-28＝0的交點(diǎn)，設(shè)其方程為(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ＝0，其圓心坐標(biāo)為，，又由圓心在直線x-y-4＝0上，所以--4＝0，解得λ＝-7，所以所求圓的方程為：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192＝0，即x2+y2-x+7y-32＝0，故選：A．28．（2024高三上·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓C過(guò)點(diǎn)，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出圓心的縱坐標(biāo)，再結(jié)合圓過(guò)的點(diǎn)求解作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：，設(shè)，令弦AB的中點(diǎn)為E，而圓心C是線段的中點(diǎn)，又，即有，，顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線，由x=ty+1y2=4x消去x得：則，，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，于是得圓C的半徑，圓心，而圓C過(guò)點(diǎn)，則有，即，解得，因此圓C的圓心，半徑，圓C的方程為.故選：B29．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)、兩點(diǎn)，且與直線相切的圓的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分析可知，圓心在直線上，設(shè)圓心為，根據(jù)圓與直線相切以及圓過(guò)點(diǎn)可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出所求圓的方程.【詳解】因?yàn)?、，則線段的垂直平分線所在直線的方程為，設(shè)圓心為，則圓的半徑為，又因?yàn)?，所以，，整理可得，解得或，?dāng)時(shí)，，此時(shí)圓的方程為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓的方程為.綜上所述，滿足條件的圓的方程為或.故選：C.30．（2024·全國(guó)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過(guò)整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設(shè)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.【詳解】法一：令，則，代入原式化簡(jiǎn)得，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時(shí)，取得最大值，法三：由可得，設(shè)，則圓心到直線的距離，解得故選：C.31．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽(yáng)兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個(gè)圖形是一個(gè)圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓．已知符號(hào)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓、符號(hào)函數(shù)的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓內(nèi)部及邊界，顯然不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓外部及邊界，滿足；當(dāng)時(shí)，，即表示圓的內(nèi)部及邊界，滿足，故C正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓內(nèi)部及邊界，顯然不滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓外部及邊界，顯然不滿足，故D錯(cuò)誤.故選：C32．（2024·安徽·三模）已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程的所有根的和為6，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】數(shù)形結(jié)合思想，方程的根轉(zhuǎn)化為和的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】方程的根轉(zhuǎn)化為和的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)閮蓚€(gè)圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，要使所有根的和為6，則兩個(gè)圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)．因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以圖象為圓的一部分，作出和的圖象如圖所示．當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相切，所以，可得；當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相離，所以，解得得或（舍）．故k的取值范圍是．故選：A．33．（2024高二下·四川南充·階段練習(xí)）曲線，要使直線與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合可確定曲線上的點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線和圓的圖象可確定曲線的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，即，即曲線上的點(diǎn)為圓上或圓外的點(diǎn)，由得：或，由得：或或或，由此可得曲線的圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，直線與曲線有四個(gè)不同交點(diǎn)；實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.34．（2024·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）若兩條直線：，：與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由題意知圓心到兩直線的距離相等，得到等量關(guān)系求解即可.【詳解】由題意直線平行，且與圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以，故選：A.35．（2024高二上·浙江嘉興·期末）直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)題意，由曲線表示一條直線與一個(gè)圓，然后分別聯(lián)立方程，即可得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)榍€就是或，表示一條直線與一個(gè)圓，聯(lián)立，解得，即直線與直線有一個(gè)交點(diǎn)；此時(shí)，沒(méi)有意義.聯(lián)立，解得或，所以直線與有兩個(gè)交點(diǎn).所以直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：B36．（2024高二下·山西晉城·開學(xué)考試）直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析可知，曲線表示圓的下半圓，作出圖形，求出當(dāng)直線與曲線相切以及直線過(guò)點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的的值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，整理可得，其中，所以，曲線表示圓的下半圓，如下圖所示：

當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，由圖可知，，且有，解得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，則有，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，故選：B.37．（2024高二上·遼寧營(yíng)口·階段練習(xí)）已知曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出曲線（上半圓），直線過(guò)定點(diǎn)，求出圖中兩條的斜率可得所求范圍．【詳解】曲線整理得，則該曲線表示圓心為，半徑為1的圓的上半部分，直線，即，則令，解得，則其過(guò)定點(diǎn)，如圖，當(dāng)時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由，得或，所以，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C．

38．（河南省鄭州市第四高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可得曲線C是以為圓心，1為半徑的右半圓，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】由，可得且，所以曲線是以為圓心，1為半徑為的右半圓，直線過(guò)定點(diǎn)，斜率為，如圖，

當(dāng)直線過(guò)時(shí)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，則，解得所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：A.二、填空題39．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為．【答案】【分析】設(shè)圓的一般方程，用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】設(shè)圓的方程為，則，∴圓的方程為：.故答案為：40．（2024·全國(guó)）過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．【答案】或或或．【分析】方法一：設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為，（1）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心）設(shè)（1）若圓過(guò)三點(diǎn)，圓心在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過(guò)三點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過(guò)三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過(guò)三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一；利用圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解．41．（2024高三下·江西南昌·階段練習(xí)）圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程為.【答案】或【分析】設(shè)圓心為，可知半徑，根據(jù)垂徑定理，利用直線截圓所得弦長(zhǎng)可構(gòu)造方程求得圓心和半徑，由此可得圓的方程.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，圓與軸相切，，又圓心到直線的距離，，解得：或，所求圓的圓心為或，半徑，圓的方程為或.故答案為：或.42．（2024·全國(guó)）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為．【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】[方法一]：三點(diǎn)共圓∵點(diǎn)M在直線上，∴設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：[方法二]：圓的幾何性質(zhì)由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點(diǎn)的線段垂直平分線y=3x-4與直線的交點(diǎn)(1,-1).,的方程為.故答案為：43．（2024高一下·江西九江·期中）經(jīng)過(guò)兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為【答案】【分析】利用圓系方程可求圓的方程.【詳解】由題可先設(shè)出圓系方程；，則圓心坐標(biāo)為；，又圓心在直線上，可得；解得.所以圓的方程為：.故答案為：.44．（2024高一·全國(guó)·單元測(cè)試）過(guò)兩圓與的交點(diǎn)和點(diǎn)的圓的方程是.【答案】【分析】設(shè)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程，代入即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)所求圓的方程為：將代入得：所求圓的方程為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.45．（2024高二下·上?！ら_學(xué)考試）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為.【答案】、【分析】將圓的方程重新按合并同類項(xiàng)，由此列方程組，解方程組求得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由由得，故，解得或.故填：、.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查二元二次方程組的解法，屬于基礎(chǔ)題.46．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）若圓關(guān)于直線和直線都對(duì)稱，則D＋E的值為．【答案】4【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線和直線都對(duì)稱，由圓心在直線上，也在直線上求解.【詳解】圓的圓心為，因?yàn)閳A關(guān)于直線和直線都對(duì)稱，所以圓心在直線上，也在直線上，所以，解得，所以，故答案為：447．（2024高二下·四川成都·開學(xué)考試）圓關(guān)于直線對(duì)稱，則．【答案】3【分析】由題分析知直線過(guò)圓心，代入圓心坐標(biāo)即可.【詳解】由可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則由題意得直線過(guò)圓心，代入直線方程有，解得，故答案為：3.48．（2024高二上·安徽蕪湖·期中）已知關(guān)于x，y的二元二次方程，當(dāng)t為時(shí)，方程表示的圓的半徑最大．【答案】【分析】變換得到，得到，，得到答案.【詳解】即，，解得，設(shè)圓的半徑為r，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以．故答案為：．49．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知圓經(jīng)過(guò)拋物線與軸的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，則圓的方程為.【答案】【分析】首先設(shè)圓的一般方程，結(jié)合條件，利用待定系數(shù)法，即可求解.【詳解】設(shè)圓的方程為，令，，則由圓經(jīng)過(guò)拋物線與軸的交點(diǎn)可知方程與同解，所以，，所以圓的方程為，又因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以圓的方程為.故答案為：50．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）M是拋物線上一點(diǎn)，N是圓C：關(guān)于直線x－y＋1＝0的對(duì)稱圓上的一點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】由題意求出圓的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，求出對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值，減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則有，解方程組可得，所以曲線的方程為，圓心為，設(shè)，則，又，所以，，即，所以，故答案為：.51．（2024高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）圓心在直線上且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程是．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出過(guò)切點(diǎn)的圓半徑所在直線方程，進(jìn)而求出圓心坐標(biāo)即可作答.【詳解】依題意，過(guò)切點(diǎn)的圓的半徑所在直線方程為，即，由解得，因此所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的方程為.故答案為：52．（2024·廣東揭陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，截軸所得弦長(zhǎng)是截軸所得弦長(zhǎng)2倍的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)出圓截x軸所得弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，求出圓心坐標(biāo)，再求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作答.【詳解】顯然圓截x軸、y軸所得弦的一個(gè)端點(diǎn)為，設(shè)圓截x軸所得弦的另一端點(diǎn)為，則該圓截y軸所得弦的另一端點(diǎn)為或，因此該圓的圓心或，半徑，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，取，得圓的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：53．（2024高二上·浙江紹興·期中）已知圓過(guò)直線和圓的交點(diǎn)，且原點(diǎn)在圓上．則圓的方程為．【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，由原點(diǎn)在圓上，可得解.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為：，因?yàn)樵c(diǎn)在圓上，故.所以所求圓的方程為.故答案為：54．（2024·天津·一模）已知一個(gè)圓經(jīng)過(guò)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，并且有最小面積，則此圓的方程為.【答案】【分析】設(shè)出所求圓的方程為，找出此時(shí)圓心坐標(biāo)，當(dāng)圓心在直線上時(shí)，圓的半徑最小，可得此時(shí)面積最小，把表示出的圓心坐標(biāo)代入中，得到關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值，進(jìn)而確定出所求圓的方程.【詳解】可設(shè)圓的方程為,即,此時(shí)圓心坐標(biāo)為,當(dāng)圓心在直線上時(shí)，圓的半徑最小，從而面積最小，,解得,則所求圓的方程為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程和性質(zhì)，屬于難題.求圓的方程常見思路與方法有:①直接設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程即可；②根據(jù)幾何意義直接找到圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程；③待定系數(shù)法，可以根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般式方程，再根據(jù)所給條件求出參數(shù)即可.55．（2024·重慶）動(dòng)圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動(dòng)圓恒與直線x+2=0相切，則動(dòng)圓必過(guò)點(diǎn)．【答案】（2，0）【詳解】試題分析：先由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，再結(jié)合拋物線的定義得出焦點(diǎn)必在動(dòng)圓上，從而解決問(wèn)題．解：拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線方程為x+2=0，故圓心到直線x+2=0的距離即半徑等于圓心到焦點(diǎn)F的距離，所以F在圓上．故答案為（2，0）．點(diǎn)評(píng)：主要考查知識(shí)點(diǎn)：拋物線，本小題主要考查圓與拋物線的綜合、拋物線的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．56．（2024高三上·上海徐匯·期末）已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為，則圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）【答案】和【分析】設(shè)出的圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)出圓的一般方程，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程，求出系數(shù)，得圓的方程（含有），分析此方程可得圓所過(guò)定點(diǎn)．【詳解】二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，記為，易知，滿足，，，，設(shè)圓方程為，則，①－②得，，∴，從而，代入③得，∴圓方程為，整理得，由得或．∴圓過(guò)定點(diǎn)和．【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程，考查韋達(dá)定理，圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，想辦法求出含有參數(shù)的圓的方程，然后按參數(shù)整理后得，只要讓此關(guān)于的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)（包括常數(shù)項(xiàng)）均為0，就可解得定點(diǎn)．57．（2024高三·全國(guó)·階段練習(xí)）已知直線與曲線交于兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，.【答案】1【分析】由題意有，曲線為圓，且圓心在直線上，可求，又由兩直線垂直可得，所以【詳解】∵直線與曲線交于兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴圓心在直線上，∴，又∵兩直線垂直，∴,∴.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題通過(guò)對(duì)直線與圓的方程，以及位置關(guān)系的考查，考驗(yàn)了學(xué)生的作圖能力，計(jì)算能力，為直線與圓的方程的綜合問(wèn)題，題目難度中等.58．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓與圓的位置關(guān)系為．【答案】相交【分析】由兩圓方程可確定圓心和半徑；利用圓關(guān)于直線對(duì)稱可知的圓心在直線上，由此可求得；由圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系可得兩圓位置關(guān)系.【詳解】由圓的方程知其圓心，半徑；由圓的方程知其圓心，半徑；圓關(guān)于直線對(duì)稱，直線過(guò)圓心，即，解得：，圓心，；兩圓圓心距，則，又，，，即，圓與圓相交.故答案為：相交.59．（2024高二上·廣東廣州·期中）已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是．【答案】16【分析】由題意可得說(shuō)明直線經(jīng)過(guò)圓心，推出，代入，利用基本不等式，確定最小值【詳解】由圓的對(duì)稱性可得，直線必過(guò)圓心，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則的最小值是16故答案為：1660．（2024高二上·遼寧大連·競(jìng)賽）設(shè)有一組圓：．下列四個(gè)命題其中真命題的序號(hào)是①存在一條定直線與所有的圓均相切；②存在一條定直線與所有的圓均相交；③存在一條定直線與所有的圓均不相交；④所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．【答案】②④【分析】由已知得圓心，由兩圓的位置關(guān)系、圓心距、兩圓的半徑之差，即可判斷出真命題個(gè)數(shù)．【詳解】根據(jù)題意得：圓心坐標(biāo)為，圓心在直線上，故存在直線與所有圓都相交，選項(xiàng)②正確；考慮兩圓的位置關(guān)系：圓：圓心，半徑為，圓：圓心，即，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓的半徑之差，任取或時(shí)，（），含于之中，選項(xiàng)①錯(cuò)誤；若取無(wú)窮大，則可以認(rèn)為所有直線都與圓相交，選項(xiàng)③錯(cuò)誤，將帶入圓的方程,則有，即（），因?yàn)樽筮厼槠鏀?shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在使上式成立，即所有圓不過(guò)原點(diǎn)，選項(xiàng)④正確．故答案為②④.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬于中檔題.61．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖像上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【答案】【分析】將題設(shè)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求出直線和相切時(shí)的值以及直線過(guò)點(diǎn)時(shí)的值，結(jié)合圖象即可求解.【詳解】由，解得，又關(guān)于直線的對(duì)稱直線為，則題設(shè)等價(jià)于函數(shù)的圖像和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).易得等價(jià)于，畫出和的圖象，設(shè)直線和相切，由，解得或（舍），又當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像和的圖象有兩個(gè)