專題05 平面解析幾何-5年（2020-2024）高考1年模擬數(shù)學(xué)真題分類匯編（北京專用）（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題05平面解析幾何考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點1直線與圓（5年幾考）2020-2024：5年四考：直線與圓的位置關(guān)系；點到直線的距離；弦長公式；參數(shù)問題1.平面解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是考查考生學(xué)科素養(yǎng)的重要載體,高考對解析幾何的考查一般以課程學(xué)習(xí)情境與探索創(chuàng)新情境為主,注重數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性的考查，主要考查圓與方程,橢圓、拋物線、雙曲線的概念及幾何性質(zhì),直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合問題,主要考查考生的運算求解能力和邏輯思維能力,從近三年的高考試題來看，本專題考查內(nèi)容覆蓋直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線,突出考查考生理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng),根據(jù)對本專題高考試題的分析,現(xiàn)給出如下備考建議:(1)回歸教材,注重基礎(chǔ),建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò),(2重視圓錐曲線的定義及其幾何性質(zhì),切實提升考生利用數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想解決問題的能力。(3)多角度審視,注重一題多解,把握問題的本質(zhì),(4)夯實基本技能和基本方法,提升學(xué)科核心素養(yǎng)。(5)加大訓(xùn)練力度,側(cè)重培養(yǎng)考生邏輯思維能力和運算求解能力?？键c2橢圓（5年幾考）2020-2024：5年五考：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；離心率或取值范圍；直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)；橢圓中的定值問題；橢圓中的多邊形考點3雙曲線（5年幾考）2020-2024：5年五考：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；離心率問題；參數(shù)問題；雙曲線的漸近線；考點4拋物線（5年幾考）2020-2024：5年五考：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的定義；拋物線的焦點、準(zhǔn)線及焦半徑考點01直線與圓1．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗求出圓心坐標(biāo)，再利用點到直線距離公式即可.【詳析】由題意得，即，則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.故選：D.2．（2021·北京·高考真題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點，當(dāng)變化時，若的最小值為2，則

A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出【詳析】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長為，則當(dāng)時，取得最小值為，解得.故選：C.3．（2020·北京·高考真題）已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A〖祥解〗求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點的距離減去半徑1可得答案.【詳析】設(shè)圓心，則，化簡得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取得等號，故選：A.【『點石成金』】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.4．（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A〖祥解〗若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳析】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．考點02橢圓5．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）由題意得，進(jìn)一步得，由此即可得解；（2）設(shè)，，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理有，而，令，即可得解.【詳析】（1）由題意，從而，所以橢圓方程為，離心率為；（2）直線斜率不為0，否則直線與橢圓無交點，矛盾，從而設(shè)，，聯(lián)立，化簡并整理得，由題意，即應(yīng)滿足，所以，若直線斜率為0，由橢圓的對稱性可設(shè)，所以，在直線方程中令，得，所以，此時應(yīng)滿足，即應(yīng)滿足或，綜上所述，滿足題意，此時或.6．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．【答案】(1)(2)證明見解析〖祥解〗（1）結(jié)合題意得到，，再結(jié)合，解之即可；（2）依題意求得直線、與的方程，從而求得點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，再根據(jù)題意求得，得到，由此得解.【詳析】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因為橢圓的方程為，所以，因為為第一象限上的動點，設(shè)，則，

易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.7．（2022·北京·高考真題）已知橢圓的一個頂點為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當(dāng)時，求k的值．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程；（2）首先表示出直線方程，設(shè)、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由直線、的方程，表示出、，根據(jù)得到方程，解得即可；【詳析】（1）解：依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；（2）解：依題意過點的直線為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得8．（2021·北京·高考真題）已知橢圓一個頂點，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與直線交交于點M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）．〖祥解〗（1）根據(jù)橢圓所過的點及四個頂點圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，求出直線的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡，從而可求的范圍，注意判別式的要求.【詳析】（1）因為橢圓過，故，因為四個頂點圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，因為直線的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或.9．（2020·北京·高考真題）已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.〖祥解〗(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；(Ⅱ)首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點P,Q的縱坐標(biāo)，將線段長度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線段長度的比值.【詳析】(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(Ⅱ)[方法一]：設(shè)，，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，即：，則：.直線MA的方程為：，令可得：，同理可得：.很明顯，且，注意到，，而，故.從而.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何含義法①當(dāng)直線l與x軸重合，不妨設(shè)，由平面幾何知識得，所以．②當(dāng)直線l不與x軸重合時，設(shè)直線，由題意，直線l不過和點，所以．設(shè)，聯(lián)立得．由題意知，所以．且．由題意知直線的斜率存在．．當(dāng)時，．同理，．所以．因為，所以．【整體點評】方法一直接設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程消去y，利用韋達(dá)定理化簡求解；方法二先對斜率為零的情況進(jìn)行特例研究，在斜率不為零的情況下設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程消去x，直接利用韋達(dá)定理求得P,Q的縱坐標(biāo)，運算更為簡潔，應(yīng)為最優(yōu)解法.考點03雙曲線10．（2021·北京·高考真題）若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳析】，則，，則雙曲線的方程為，將點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B11．（2024·北京·高考真題）若直線與雙曲線只有一個公共點，則的一個取值為．【答案】（或，答案不唯一）〖祥解〗聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，根據(jù)交點個數(shù)與方程根的情況列式即可求解.【詳析】聯(lián)立，化簡并整理得：，由題意得或，解得或無解，即，經(jīng)檢驗，符合題意.故答案為：（或，答案不唯一）.12．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為．【答案】〖祥解〗根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實半軸、虛半軸長，再寫出的方程作答.【詳析】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：13．（2022·北京·高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則．【答案】〖祥解〗首先可得，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到、，再跟漸近線方程得到方程，解得即可；【詳析】解：對于雙曲線，所以，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，又雙曲線的漸近線方程為，所以，即，解得；故答案為：14．（2020·北京·高考真題）已知雙曲線，則C的右焦點的坐標(biāo)為；C的焦點到其漸近線的距離是．【答案】〖祥解〗根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出雙曲線的右焦點坐標(biāo)，并求得雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式可求得雙曲線的焦點到漸近線的距離.【詳析】在雙曲線中，，，則，則雙曲線的右焦點坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點到其漸近線的距離為.故答案為：；.【『點石成金』】本題考查根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的焦點坐標(biāo)以及焦點到漸近線的距離，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.考點04拋物線15．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標(biāo)系中的點集.設(shè)是中兩點間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C〖祥解〗先以t為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，結(jié)合圖形分析求解即可.【詳析】對任意給定，則，且，可知，即，再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，其中，可知任意兩點間距離最大值；陰影部分面積.故選：C.【『點石成金』】方法『點石成金』：數(shù)形結(jié)合的重點是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．16．（2023·北京·高考真題）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D〖祥解〗利用拋物線的定義求解即可.【詳析】因為拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，點在上，所以到準(zhǔn)線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.17．（2020·北京·高考真題）設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（

）．A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B〖祥解〗依據(jù)題意不妨作出焦點在軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過點，即求解.【詳析】如圖所示：．因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選：B.【『點石成金』】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18．（2021·北京·高考真題）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸于點.若，則點的橫坐標(biāo)為；的面積為．【答案】5〖祥解〗根據(jù)焦半徑公式可求的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)后可求.【詳析】因為拋物線的方程為，故且.因為，，解得，故，所以，故答案為：5；.19．（2024·北京·高考真題）拋物線的焦點坐標(biāo)為．【答案】〖祥解〗形如的拋物線的焦點坐標(biāo)為，由此即可得解.【詳析】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其焦點坐標(biāo)為.故答案為：.1．（2024·北京西城·三模）點F拋物線的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C〖祥解〗設(shè)，根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再由可得為的重心，從而可求出，再根據(jù)拋物線的定義可求得結(jié)果.【詳析】設(shè)，由，得，所以，準(zhǔn)線方程為，因為，所以為的重心，所以，所以，所以，故選：C2．（2024·北京西城·三模）若雙曲線的離心率為，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C〖祥解〗根據(jù)雙曲線的離心率與、、關(guān)系求解即可.【詳析】由題意，雙曲線的離心率，所以.故選：C.3．（2024·北京順義·三模）設(shè)M是拋物線上的一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，O足坐標(biāo)原點，若，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B〖祥解〗過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點，連接，分析出為等邊三角形，求出，即可得解.【詳析】過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點，連接，如下圖所示：因為，軸，則，由拋物線的定義可得，所以為等邊三角形，則，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線交軸于點，則，易知，，則.故選：B.4．（2022·湖南岳陽·一模）如圖，唐金筐寶鈿團花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線的一部分，若的中心在原點，焦點在軸上，離心率，且點在雙曲線上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗利用待定系數(shù)法可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳析】設(shè)雙曲線的方程為：，因為離心率，故半焦距，故，而雙曲線過，故，解得，故雙曲線的方程為：，故選：C.5．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知等軸雙曲線的漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點，拋物線焦點為，的面積為4，則的長度為（

）A．2 B． C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)，聯(lián)立方程組，求得的坐標(biāo)，結(jié)合題意，列出方程求得，進(jìn)而求得長度，得到答案.【詳析】由題意，等軸雙曲線的漸近線方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立方程組，解得，可得，同理可得，因為的面積為4，可得，解得，則.故選：D.

6．（2024·山東棗莊·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上動點，則的最小值為（

）A．34 B．40 C．44 D．48【答案】B〖祥解〗借助點到直線的距離公式與圓上的點到定點距離的最值計算即可得.【詳析】設(shè)，則，即等價于點到點的距離的平方的兩倍加八，又，即.故選：B.7．（2024·北京海淀·二模）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，，則線段的中點的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C．3 D．4【答案】C〖祥解〗根據(jù)拋物線定義求得點的縱坐標(biāo)，再求中點縱坐標(biāo)即可.【詳析】拋物線的焦點，又，解得，故線段的中點的縱坐標(biāo)為.故選：C.8．（2024·北京朝陽·二模）已知拋物線的焦點為F，點P為C上一點.若，則點P的橫坐標(biāo)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C〖祥解〗根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，結(jié)合拋物線的定義即可求解.【詳析】由題意知，，由拋物線的定義知，，得，即點P的橫坐標(biāo)為7.故選：C9．（2024·北京朝陽·二模）已知雙曲線的右焦點為F，c是雙曲線C的半焦距，點A是圓上一點，線段FA與雙曲線C的右支交于點B.若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗先根據(jù)條件求得，然后解直角三角形即可得答案.【詳析】設(shè)雙曲線左焦點為，如圖：，可得，由雙曲線的定義字，在中，，在中，即，可得.故選：A.10．（2024·北京通州·二模）已知圓心為C的圓與雙曲線E：（）交于A，B兩點，且，則雙曲線E的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗由題意畫出圖形，得到，代入雙曲線方程，再求出漸近線方程即可.【詳析】由題意可得的圓心，半徑，顯然適合和，即為圓與雙曲線E：的一個交點，且為雙曲線的左頂點，則軸；因為，所以，所以，解得或（舍），所以，代入雙曲線方程可得，雙曲線E的漸近線方程為，故選：A.11．（12-13高二上·黑龍江鶴崗·期末）拋物線的準(zhǔn)線方程為(

)A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳析】由題知，拋物線方程為，則其準(zhǔn)線方程為.故選：C12．（2024·北京房山·一模）直線截圓所得劣弧所對的圓心角為，則r的值為（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)給定條件用圓的半徑r表示出圓心到直線距離即可計算作答.【詳析】因直線截圓所得劣弧所對的圓心角為，令劣弧的兩個端點為，則為等邊三角形，故圓心到直線的距離等于，即，解得.故選：B.13．（2024·北京房山·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點．若曲線C上存在一點P，使，則稱曲線C為“合作曲線”，給出下列曲線：①；②；③．其中“合作曲線”是（

）A．①② B．②③ C．① D．②【答案】A〖祥解〗根據(jù)題意，設(shè)點，由“合作曲線”的定義可知，曲線上存在點，使得，然后逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳析】設(shè)點，則，由可得，即，即曲線上存在點，使得，即為“合作曲線”，對于①，由雙曲線可得，則雙曲線上存在點滿足，故①為“合作曲線”；對于②，由橢圓可得，則橢圓上存在點滿足，故②為“合作曲線”；對于③，因為圓心到直線的結(jié)論，故直線上不存在一點滿足，故③不為“合作曲線”；故選：A14．（2024·北京海淀·一模）若雙曲線上的一點到焦點的距離比到焦點的距離大，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)題意及雙曲線的定義可知，，再結(jié)合，求出，即可求出結(jié)果.【詳析】由題知，根據(jù)題意，由雙曲線的定義知，又，所以，得到，所以雙曲線的方程為，故選：D.15．（2024·北京朝陽·一模）已知直線和圓相交于A，B兩點.若，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D〖祥解〗借助點到直線的距離公式與垂徑定理計算即可得.【詳析】圓的圓心為：，半徑為，則圓心到直線的距離為，由垂徑定理可得.故選：D.16．（2024·北京朝陽·一模）已知雙曲線：的右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線，M，N分別是與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點.若M是線段的中點，則C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗設(shè)雙曲線的右焦點，求出點和的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式列式計算得關(guān)系，進(jìn)而可得漸近線方程.【詳析】設(shè)雙曲線的右焦點，過第一象限的漸近線方程為，當(dāng)時，，即，又，因為M是線段的中點，所以，得，所以，即，所以C的漸近線方程為.故選：C.

17．（2024·北京西城·三模）若直線與交于，兩點，則面積的最大值為，寫出滿足“面積最大”的的一個值.【答案】21（均可）〖祥解〗求出圓心到直線的距離，則，再由基本不等式求出面積最大值，以及此時的值.【詳析】直線，則，令，解得，所以直線恒過點，的圓心為，半徑，顯然點在上，圓心到直線的距離，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即，解得或.故答案為：；（均可）18．（2024·北京順義·三模）已知直線l經(jīng)過點，曲線：.①曲線經(jīng)過原點且關(guān)于對稱；②當(dāng)直線l與曲線有2個公共點時，直線l斜率的取值范圍為；③當(dāng)直線l與曲線有奇數(shù)個公共點時，直線l斜率的取值共有4個④存在定點Q，使得過Q的任意直線與曲線的公共點的個數(shù)都不可能為2以上說法正確的是【答案】①②④〖祥解〗將點分別代入曲線的方程即可判斷①；將曲線方程轉(zhuǎn)化為兩個圓的方程，結(jié)合圖像利用直線和圓的位置關(guān)系逐項分析即可判斷②③④.【詳析】對于①，將點分別代入曲線的方程，得，，所以曲線關(guān)于對稱，將代入曲線的方程得，所以曲線經(jīng)過原點，所以曲線經(jīng)過原點且關(guān)于對稱，故①正確；由，得，即，即，所以或，即或，所以曲線表示以，為圓心，為半徑的兩個圓，如圖所示，設(shè)過點A且與圓N相切的直線方程為，則點N到該直線的距離，解得，，即圖中直線AC的斜率為1，直線AD的斜率為，直線AO的斜率為，直線AC的方程為，點M到直線AC的距離，則直線AC與圓M相切于點B，設(shè)過點A且與圓M相切的直線方程為，則點M到該直線的距離，解得，，由圖可知，當(dāng)直線l與曲線有2個公共點時，直線l斜率的取值范圍為，故②正確；由圖可知，直線AO與曲線的公共點個數(shù)為3，直線AD與曲線的公共點個數(shù)也為3，直線與曲線的公共點個數(shù)為1，所以當(dāng)直線l與曲線有奇數(shù)個公共點時，直線l斜率的取值共有3個，故③錯誤；因為過原點O的任意直線與曲線的公共點的個數(shù)為1或3，所以存在定點Q（Q與O重合），使得過Q的任意直線與曲線的公共點的個數(shù)都不可能為2，故④正確.故答案為：①②④.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：將曲線方程轉(zhuǎn)化為兩個圓的方程，是解決本題的關(guān)鍵.19．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知過點的直線（不過原點）與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，則的值為.【答案】18〖祥解〗確定直線的方程，根據(jù)直線和圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，列式求解，即得答案.【詳析】由題意知過點的直線（不過原點）在軸、軸上的截距相等，設(shè)該直線方程為，將代入得，即直線方程為，由于該直線與相切，圓心為，半徑為，故，故答案為：1820．（2024·北京海淀·二模）已知雙曲線，則的離心率為；以的一個焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為.（寫出一個即可）【答案】/或（）〖祥解〗根據(jù)離心率的定義求解離心率，再計算焦點到漸近線的距離，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可.【詳析】的離心率為，又漸近線為，即，故焦點與到的距離均為，則以的一個焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為或，故答案為：；或（）21．（2024·北京朝陽·二模）若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的一個取值為.【答案】1（答案不唯一）〖祥解〗畫出圖，由圖可知有兩個交點的時候的臨界狀態(tài)為相切與過點，求出此時直線的斜率，則實數(shù)的取值范圍即可求解.【詳析】直線過定點，曲線，即，表示半圓，如圖所示，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離，所以（舍去）或，由于直線與曲線有兩個不同的交點，當(dāng)直線過時，斜率最小為，所以由圖可知，實數(shù)的取值范圍為：，故實數(shù)的一個取值為1，故答案為：1（答案不唯一）.22．（2024·北京通州·二模）已知點為拋物線上一點，則點P到拋物線C的焦點的距離為．【答案】3〖祥解〗只需把點代入方程，就可解得，即可知焦點坐標(biāo)，再利用兩點間距離公式就可以算出答案.【詳析】由題意得：，解得，所以拋物線，即焦點坐標(biāo)是，即，故答案為：3.23．（2024·北京海淀·一模）已知，線段是過點的弦，則的最小值為.【答案】〖祥解〗借助直徑與弦垂直時，有最小，計算即可得.【詳析】由，故點在圓的內(nèi)部，且該圓圓心為，半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為，由垂徑定理可得，即，故當(dāng)取最大值時，有最小值，又，故.故答案為：.24．（2024·北京朝陽·一模）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，則；設(shè)為原點，點在拋物線上，若，則.【答案】/0.5〖祥解〗借助拋物線的性質(zhì)及其定義計算即可得.【詳析】由拋物線準(zhǔn)線方程為，故，則，，由在拋物線上，故，由，可得，即，即.故答案為：；.25．（2024·北京西城·三模）已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，下頂點為C，若橢圓的，三角形ABC的面積為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點D（0，2），直線AD交橢圓于點E，過點D的直線交橢圓于M，N兩點，若直線CM與x軸交于P點，過E且平行于x軸的直線與BN交于Q點，求的值.【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）根據(jù)橢圓的基本量即可求解；（2）求出點的坐標(biāo)，分直線斜率是否存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，求解，根據(jù)交點個數(shù)列出關(guān)于的不等式，寫出韋達(dá)定理，寫出直線的方程，求出點的橫坐標(biāo)，寫出直線BN的方程，求解點的橫坐標(biāo)，寫出即可得三點共線，進(jìn)而求解.【詳析】（1）依題意：，解得，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線DA：，，解得，.若直線MN：，則，若直線MN：，設(shè)，，，整理得，，解得或，，，直線CM：，令，得.直線BN：，令，得，因為，所以D，P，Q三點共線，所以，綜上知：.26．（2024·北京順義·三模）已知橢圓：的左頂點為，上下頂點為，，離心率為.(1)求橢圓的方程(2)設(shè)點是橢圓上一點，不與頂點重合，滿足四邊形是平行四邊形，過點作垂直軸的直線交直線于點，再過作垂直于軸的直線交直線于點.求證：，，三點共線.【答案】(1)(2)證明見解析〖祥解〗（1）由已知可得，，根據(jù)即可求解；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立其與橢圓方程可得，坐標(biāo)，將的縱坐標(biāo)代入直線的方程中可得的坐標(biāo)，將的橫坐標(biāo)代入的方程可得的坐標(biāo)，求，即可證明.【詳析】（1）因為橢圓：的左頂點為，所以，又，所以，所以，所以橢圓的方程為；（2）由（1）知，，設(shè)：，，，聯(lián)立方程，可得，解得或，所以，因為四邊形是平行四邊形，由橢圓的對稱性可知點與點關(guān)于原點對稱，所以，直線的方程為，把代入可得，所以，把代入可得，所以過，的直線的斜率為，所以過，的直線的斜率，所以，，三點共線.27．（2024·天津河西·一模）已知橢圓的上、下頂點為、，左焦點為，定點，．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點作斜率為（）的直線交橢圓于另一點，直線與軸交于點（在，之間），直線與軸交于點，若，求的值．【答案】(1)(2)或〖祥解〗（1）依題意可得為、的中點，即可求出、，再求出，即可得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出，，從而表示出的方程，即可得到，再求出，最后由三角形的面積得到，從而得到關(guān)于的方程，解得即可.【詳析】（1）由題意，，則為、的中點，所以，，，，即，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，，整理得，，所以，直線與相交于點，令，所以直線的斜率為，直線的方程為，令，，由，又，，，即，所以，所以，所以，解得或，所以的值為或.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出，從而得到.28．（2024·北京海淀·二模）已知橢圓的焦點在軸上，中心在坐標(biāo)原點.以的一個頂點和兩個焦點為頂點的三角形是等邊三角形，且其周長為.(1)求栯圓的方程；(2)設(shè)過點的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于不同的兩點，與直線交于點.點在軸上，為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，四邊形是菱形.求證：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析〖祥解〗（1）根據(jù)焦點三角形的周長以及等邊三角形的性質(zhì)可得且，即可求解得解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)可得的方程為，即可求解，.進(jìn)而根據(jù)點斜式求解直線方程，即可求解.【詳析】（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為.因為以的一個頂點和兩個焦點為頂點的三角形是等邊三角形，且其周長為，所以且，所以.所以.所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，令，得，即.由得.設(shè)，則.設(shè)的中點為，則.所以.因為四邊形為菱形，所以為的中點，.所以直線的斜率為.所以直線的方程為.令得.所以.設(shè)點的坐標(biāo)為，則，即.所以直線的方程為，即.所以直線過定點.【『點石成金』】方法『點石成金』：圓錐曲線中定點問題的兩種解法：（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).29．（2024·北京朝陽·二模）已知橢圓E的兩個頂點分別為，，焦點在x軸上，且橢圓E過點.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為原點，不經(jīng)過橢圓E的頂點的直線l與橢圓E交于兩點，直線BP與直線OC交于點H，點M與點Q關(guān)于原點對稱.（i）求點H的坐標(biāo)（用，表示）；（ii）若A，H，M三點共線，求證：直線l經(jīng)過定點.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析〖祥解〗（1）根據(jù)橢圓的頂點和橢圓上的點列方程求解即可；（2）（i）設(shè)直線BP的方程為，聯(lián)立方程求得H的坐標(biāo)即可；（ii）設(shè)直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立韋達(dá)定理，根據(jù)三點共線結(jié)合兩點斜率公式列式化簡得或，從而求解直線恒過的定點.【詳析】（1）設(shè)橢圓E的方程為由題意得，解得，所以橢圓E的方程為（2）（i）由題可知：且.設(shè)直線BP的方程為，直線OC的方程為.由得，所以H的坐標(biāo)為.（ii）由題可知，直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為，由得，由于直線l與橢圓E交于不同的兩點，所以，則，.由題可知.因為A，H，M三點共線，所以，化簡得，即.所以，所以.化簡得，即，解得或.當(dāng)時，直線l的方程為，經(jīng)過，不符合題意.當(dāng)時，直線l的方程為，經(jīng)過，其中.綜上，直線l經(jīng)過定點.30．（2024·北京通州·二模）已知橢圓：（）的長軸長為4，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)直線l過橢圓E的左焦點F，且與E交于兩點（不與左右頂點重合），點在軸正半軸上，直線交軸于點P，直線交軸于點，問是否存在，使得為定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，當(dāng)時，有定值．〖祥解〗（1）根據(jù)長軸長為，離心率為，可得，得到標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）根據(jù)斜率存在，設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，，表達(dá)出直線TM和直線TN，進(jìn)而求出為定值；斜率不存在，不妨設(shè)，，求出為定值.【詳析】（1）因為橢圓的長軸長為，離心率為，所以，．所以，．所以．所以橢圓的方程為．（2）若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，．

聯(lián)立方程組，消去，化簡得．則，即,設(shè)，，所以，．所以直線TM的方程為，直線的方程為．所以，．所以，，所以．所以當(dāng)時，為定值，即（負(fù)值舍）時，有定值．當(dāng)時，若直線l斜