2020-2024五年高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編專(zhuān)題03函數(shù)的概念與性質(zhì)（真題6個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編PAGEPAGE1專(zhuān)題03函數(shù)的概念與性質(zhì)（真題6個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考2、4題分段函數(shù)、函數(shù)的奇偶性2023秋考5、18題2023春考13題函數(shù)的值域，函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)與方程的應(yīng)用函數(shù)的奇偶性2022秋考12題2022春考13題抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用函數(shù)的定義域及其求法2021年秋考13、21題2021年春考20題基本初等函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷、函數(shù)恒成立函數(shù)定義域、零點(diǎn)與方程根的關(guān)系、函數(shù)單調(diào)性的判定及其應(yīng)用2020年春考6、21題函數(shù)奇偶性及其應(yīng)用、抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用一．函數(shù)的定義域及其求法（共2小題）1．（2022?上海）下列函數(shù)定義域?yàn)榈氖茿． B． C． D．〖祥解〗化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為根式，分別求出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域得答案．【解答】解：，定義域?yàn)?，，定義域?yàn)?，，定義域?yàn)?，，定義域?yàn)椋x域?yàn)榈氖牵蔬x：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題．2．（2021?上海）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的定義域；（2）若，若有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出的取值范圍．〖祥解〗（1）把代入函數(shù)解析式，由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求解絕對(duì)值的不等式得答案；（2），設(shè)，得，，求得等式右邊關(guān)于的函數(shù)的值域可得的取值范圍；（3）分與兩類(lèi)變形，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的的范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，由，得，解得或．函數(shù)的定義域?yàn)?，，；?），，設(shè)，有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，整理得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，又，的取值范圍是；（3）當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，此時(shí)需要滿足，即，函數(shù)在，上遞減；當(dāng)時(shí)，，在，上遞減，，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減．綜上，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在定義域上連續(xù)，且單調(diào)遞減．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)定義域的求法，考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查函數(shù)單調(diào)性的判定及其應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題．二．函數(shù)的值域（共2小題）3．（2023?上海）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?，．〖祥解〗分段求出的值域，再取并集即可．【解答】解：?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．4．（2022?上海）設(shè)函數(shù)滿足對(duì)任意，都成立，其值域是，已知對(duì)任何滿足上述條件的都有，，則的取值范圍為．〖祥解〗由題可得，再根據(jù)時(shí)不合題意，進(jìn)而即得；或等價(jià)于恒成立，即恒成立，進(jìn)而即得．【解答】解：法一：令，解得（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，總存在，使得，故，若，易得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；法二：原命題等價(jià)于任意，所以恒成立，即恒成立，又，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查了集合的應(yīng)用，屬于中檔題．三．函數(shù)的奇偶性（共5小題）5．（2023?上海）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)偶函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷即可．【解答】解：對(duì)于，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；對(duì)于，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，為偶函數(shù)；對(duì)于，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；對(duì)于，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，為非奇非偶函數(shù)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?上海）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，定義集合，，，在使得，的所有中，下列成立的是A．存在是偶函數(shù) B．存在在處取最大值 C．存在為嚴(yán)格增函數(shù) D．存在在處取到極小值〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值及最值的相關(guān)性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判定即可．【解答】解：對(duì)于，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，對(duì)于任意，（1）恒成立，若是偶函數(shù)，此時(shí)（1），矛盾，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若函數(shù)圖像如下：當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，，當(dāng)，，所以存在在處取最大值，故正確；對(duì)于，在時(shí)，若函數(shù)嚴(yán)格增，則集合的取值不會(huì)是，，而是全體定義域，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若存在在處取到極小值，則在左側(cè)存在，，與集合定義矛盾，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及最值等性質(zhì)，屬中檔題．7．（2020?上海）若函數(shù)為偶函數(shù)，則1．〖祥解〗根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義可得，變形分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，變形可得：，必有；故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?上海）已知，，且是奇函數(shù)，則0．〖祥解〗首先根據(jù)，解得，再根據(jù)奇函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可．【解答】解：由題意，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，滿足，即是奇函數(shù)，故符合題意．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷，屬基礎(chǔ)題．9．（2023?上海）已知，，函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的定義域，并判斷是否存在使得是奇函數(shù)，說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)過(guò)點(diǎn)，且函數(shù)與軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求此時(shí)的值和的取值范圍．〖祥解〗（1）時(shí)，求出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的定義域和奇偶性進(jìn)行求解判斷即可．（2）根據(jù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，求出的值，然后根據(jù)與軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）若，則，要使函數(shù)有意義，則，即的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，是偶函數(shù)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不可能是奇函數(shù)，故不存在實(shí)數(shù)，使得是奇函數(shù)．（2）若函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則（1），得，得，此時(shí)，若數(shù)與軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即，得，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，則，得，得，即，若即是方程的根，則，即，得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是且且，即，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．四．抽象函數(shù)的周期性（共1小題）10．（2020?上海）已知非空集合，函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)任意且，不等式恒成立，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)．（1）當(dāng)，判斷、是否具有性質(zhì)；（2）當(dāng)，，，，若具有性質(zhì)，求的取值范圍；（3）當(dāng)，，，若為整數(shù)集且具有性質(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，求所有符合條件的的值．〖祥解〗（1）利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合新定義，逐個(gè)判斷即可；（2）依題意，為增函數(shù)，由雙勾函數(shù)的圖象及性質(zhì)即得解；（3）根據(jù)條件，分，為正偶數(shù)和為正奇數(shù)三種情況，求出條件的的值．【解答】解：（1）為減函數(shù)，，具有性質(zhì)；為增函數(shù)，，不具有性質(zhì)；（2）依題意，對(duì)任意，恒成立，為增函數(shù)（不可能為常值函數(shù)），由雙勾函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足對(duì)任意，恒成立，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．（3）為整數(shù)集，具有性質(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取單調(diào)遞減函數(shù)，兩個(gè)不等式恒成立，但不為常值函數(shù)；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，取，兩個(gè)不等式恒成立，但不為常值函數(shù)；當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，根據(jù)對(duì)任意且，不等式恒成立，可得，則，所以為常值函數(shù)，綜上，為正奇數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，考查抽象函數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)用，考查邏輯推理能力及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，屬于中檔題．五．函數(shù)恒成立問(wèn)題（共1小題）11．（2021?上海）已知，，若對(duì)任意的，，則有定義：是在關(guān)聯(lián)的．（1）判斷和證明是否在，關(guān)聯(lián)？是否有，關(guān)聯(lián)？（2）若是在關(guān)聯(lián)的，在，時(shí)，，求解不等式：．（3）證明：是關(guān)聯(lián)的，且是在，關(guān)聯(lián)的，當(dāng)且僅當(dāng)“在，是關(guān)聯(lián)的”．〖祥解〗（1）任取，，證明，，證明在，關(guān)聯(lián)，取，，證明在，不關(guān)聯(lián)；（2）先得到，再得到，和，的解析式，進(jìn)而得到答案；（3）先證明在是關(guān)聯(lián)的是在關(guān)聯(lián)的，且是在，關(guān)聯(lián)的，再證明在，是關(guān)聯(lián)的是在關(guān)聯(lián)的，且是在，關(guān)聯(lián)的．【解答】解：（1）在，關(guān)聯(lián)，在，不關(guān)聯(lián)，任取，，則，，在，關(guān)聯(lián)；取，，則，，，，在，不關(guān)聯(lián)；（2）在關(guān)聯(lián)，對(duì)于任意，都有，對(duì)任意，都有，由，時(shí)，，得在，的值域?yàn)?，，在，的值域?yàn)?，，僅在，或，上有解，，時(shí)，，令，解得，，時(shí)，，令，解得，不等式的解為，，（3）證明：①先證明：是在關(guān)聯(lián)的，且是在，關(guān)聯(lián)的在，是關(guān)聯(lián)的，由已知條件可得，，，，又是在，關(guān)聯(lián)的，任意，成立，若，，，即，，是，關(guān)聯(lián)，②再證明：在，是關(guān)聯(lián)的是在關(guān)聯(lián)的，且是在，關(guān)聯(lián)的，在，是關(guān)聯(lián)的，任取，，都有，成立，即滿足，都有，下面用反證法證明，若，則，與在，是關(guān)聯(lián)的矛盾，若，而在，是關(guān)聯(lián)的，則，矛盾，成立，即是在關(guān)聯(lián)的，再證明是在，關(guān)聯(lián)的，任取，，則存在，使得任取，，，，，，，，是在，關(guān)聯(lián)的；綜上所述，是關(guān)聯(lián)的，且是在，關(guān)聯(lián)的，當(dāng)且僅當(dāng)“在，是關(guān)聯(lián)的”，故得證．【點(diǎn)評(píng)】該題考查了函數(shù)求解析式，解不等式，函數(shù)恒成立的知識(shí)，對(duì)學(xué)生邏輯推理能力提出了很高的要求，屬于難題．六．函數(shù)的值（共1小題）12．（2024?上海）已知，則（3）．〖祥解〗根據(jù)已知條件，將代入函數(shù)解析式，即可求解．【解答】解：，則（3）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．一．選擇題（共14小題）1．（2024?徐匯區(qū)模擬）在下列函數(shù)中，值域?yàn)榈呐己瘮?shù)是A． B． C． D．〖祥解〗利用基本初等函數(shù)的奇偶性質(zhì)判斷即可．【解答】解：由基本初等函數(shù)的性質(zhì)，可得為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，錯(cuò)誤；又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故的值域?yàn)?，，錯(cuò)誤；又為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故的值域?yàn)椋_．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)的值域是A． B．， C．， D．，〖祥解〗分和兩種情況討論，可得的值域．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，所以，，綜上所述：的值域?yàn)?，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的值域的求法及分類(lèi)討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?青浦區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)為偶函數(shù)，若，則不可能為A．2024 B． C． D．〖祥解〗根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：為偶函數(shù)，則，，，對(duì)任意恒成立，有，，或．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?寶山區(qū)三模）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為A． B． C． D．〖祥解〗由常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得結(jié)論．【解答】解：為對(duì)數(shù)函數(shù)，不為奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；為奇函數(shù)，在，內(nèi)為增函數(shù)，故錯(cuò)誤；為奇函數(shù)，且，可得為增函數(shù)，故正確；為奇函數(shù)，在，內(nèi)為增函數(shù)，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)三模）下列函數(shù)中，在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)的是A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，在上遞增，則在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于，，在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于，，是指數(shù)函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于，，是反比例函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，涉及常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?閔行區(qū)二模）已知，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則集合可表示為A． B． C．，， D．，，〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得時(shí)，，再分別求解不等式即可得到結(jié)論．【解答】解：因?yàn)?，為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得，即時(shí)，，所以，即，可得，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得．故集合，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?崇明區(qū)二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，．命題：若當(dāng)時(shí)，都有，則函數(shù)是上的奇函數(shù)．命題：若當(dāng)時(shí)，都有，則函數(shù)是上的增函數(shù)．下列說(shuō)法正確的是A．、都是真命題 B．是真命題，是假命題 C．是假命題，是真命題 D．、都是假命題〖祥解〗由奇函數(shù)的定義，注意定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其次可考慮，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義即可判斷和．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，．若?dāng)時(shí)，都有，這里，存在，不是任意的，由奇函數(shù)的定義可得函數(shù)不一定是上的奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；若當(dāng)時(shí)，都有，符合單調(diào)性的定義，為增函數(shù)，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義和應(yīng)用，考查理解能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）已知是定義在上的偶函數(shù)，若、，且時(shí)，恒成立，且（2），則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，〖祥解〗利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來(lái)求得的取值范圍．【解答】解：設(shè)，則，所以，令，則，所以函數(shù)在，上為增函數(shù)，對(duì)任意的，，所以函數(shù)為上的偶函數(shù)，且（2）（2），由可得，即（2），即（2），所以，，即，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．9．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，若（3），則A． B． C．函數(shù)的周期為2 D．〖祥解〗由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性，周期性，利用賦值法檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可求解．【解答】解：為奇函數(shù)且函數(shù)定義域?yàn)?，，又為偶函?shù)，，，故項(xiàng)錯(cuò)誤．由可得，，，函數(shù)的周期為4，即項(xiàng)錯(cuò)誤．由，令，得（1），（3）（1），（1），即項(xiàng)錯(cuò)誤．又（3），，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，周期性的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）已知函數(shù)具有以下的性質(zhì)：對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，都有（a）（b），則以下選項(xiàng)中，不可能是（1）值的是A． B． C．0 D．1〖祥解〗由已知等式，結(jié)合賦值法可求出的范圍，然后結(jié)合各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，都有（a）（b），令，有，可得，所以或，令，有，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值不可能是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了抽象函數(shù)中，賦值法的應(yīng)用，屬于中檔題．11．（2024?黃浦區(qū)二模）設(shè)函數(shù)若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．〖祥解〗由題意可知當(dāng)時(shí)，恒成立，且當(dāng)時(shí)，恒成立，參變分離，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)求解即可．【解答】解：由題意可知：當(dāng)時(shí)，，即恒成立，當(dāng)時(shí)，上式顯然成立；當(dāng)時(shí)，則有恒成立，易知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)時(shí)，恒成立，即，恒成立，令，，則在，上恒成立，因?yàn)榈拈_(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，所以，綜上，的取值范圍為，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化思想，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及換元法的應(yīng)用，屬于中檔題．12．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，定義域?yàn)?，且，，，則下列結(jié)論正確的是①若（1）（1），則；②若（1）（1），則．A．② B．① C．①② D．都不正確〖祥解〗利用賦值法先判斷，的奇偶性，然后結(jié)合賦值法及函數(shù)的奇偶性檢驗(yàn)各結(jié)論即可求．【解答】解：由得，所以，故是奇函數(shù)，由得，所以，故是偶函數(shù)，由題意得，令得（1）（1），由是奇函數(shù)得，且，，解得，當(dāng)（1）（1）時(shí)，，①錯(cuò)誤．由，，得，令得，（1）（1）當(dāng)（1）（1）時(shí)，，所以②正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了賦值法在抽象函數(shù)求值及奇偶性判斷中的應(yīng)用，屬于中檔題．13．（2024?虹口區(qū)二模）已知定義在上的函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)滿足，給出兩個(gè)命題：①對(duì)任意，，都有；②若的值域?yàn)?，，，?），則對(duì)任意都有．則下列判斷正確的是A．①②都是假命題 B．①②都是真命題 C．①是假命題，②是真命題 D．①是真命題，②是假命題〖祥解〗對(duì)于①，設(shè)，由，得，設(shè)，，推導(dǎo)出，，從而遞減，遞增，由此能推導(dǎo)出；對(duì)于②，推導(dǎo)出（1），，（1），從而當(dāng)時(shí)，，，，，任取，列不等式組能求出對(duì)任意的，都有．【解答】解：對(duì)于①，設(shè)，，在上遞增，，設(shè)，，，，，，遞減，遞增，，，，，，，，故①是真命題；對(duì)于②，由①得（1）（1），（1），（1），（1），單調(diào)遞增，，（1），當(dāng)時(shí)，，，，，，任取，由①得：，，，，對(duì)任意的，都有，故②是真命題．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．14．（2024?寶山區(qū)三模）如果，同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①（1）；②對(duì)任意，，成立；③當(dāng)，，時(shí)，總有成立，則稱(chēng)為“理想函數(shù)”．有下列兩個(gè)命題：命題：若為“理想函數(shù)”，則存在，，且，使成立；命題：若為“理想函數(shù)”，則對(duì)任意，，都有成立．則下列說(shuō)法正確的是A．命題為假命題，命題為真命題 B．命題為真命題，命題為假命題 C．命題、命題都是真命題 D．命題、命題都是假命題〖祥解〗令，結(jié)合性質(zhì)②③可得，即可判斷真假，由此有在，上有遞增趨勢(shì)的函數(shù)（不一定嚴(yán)格遞增），進(jìn)而得到，，應(yīng)用反證法：若為“理想函數(shù)”，存在，，使成立，討論、，結(jié)合遞歸思想判斷的存在性，判斷真假．【解答】解：令，則，，所以，又對(duì)任意，，成立，則，即，所以，即對(duì)任意，都有，命題為假命題；由命題為假，即在，上非遞減，有遞增趨勢(shì)的函數(shù)（不一定嚴(yán)格遞增），令，則，而任意，，成立；所以，又（1），故，，反證法：若為“理想函數(shù)”，存在，，使成立，對(duì)于，，而，此時(shí)不存在使成立；對(duì)于，若存在使成立，則，而，，則，即，由，，依次類(lèi)推，必有，，且趨向于無(wú)窮大，此時(shí)，，而必然會(huì)出現(xiàn)大于1的情況，與矛盾，所以，在上也不存在使成立，綜上，若為“理想函數(shù)”，則對(duì)任意，，都有成立，命題為真命題．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題真假的判斷，函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查邏輯推理能力，屬于難題．二．填空題（共33小題）15．（2024?松江區(qū)二模）函數(shù)的定義域?yàn)椋枷榻狻接蓪?duì)數(shù)式的真數(shù)大于0求解的范圍得答案．【解答】解：由，得．函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海军c(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題．16．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）請(qǐng)寫(xiě)出同時(shí)滿足下面三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)解析式（答案不唯一）．①；②至少有兩個(gè)零點(diǎn)；③有最小值．〖祥解〗舉例二次函數(shù)，驗(yàn)證其滿足題意即可．【解答】解：取，其對(duì)稱(chēng)軸為，滿足①，令，解得或2，滿足②至少有兩個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)，，滿足③有最小值．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，零點(diǎn)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)則的值為．〖祥解〗將的值依次代入對(duì)應(yīng)的解析式，即可求解．【解答】解：，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)三模）若關(guān)于的不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是3．〖祥解〗根據(jù)恒成立問(wèn)題結(jié)合絕對(duì)值的三角不等式分析求解．【解答】解：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，若關(guān)于的不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則，所以實(shí)數(shù)的最大值是3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?嘉定區(qū)二模）函數(shù)的值域?yàn)?，．〖祥解〗先?duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，作出函數(shù)圖象【解答】解：，其大致圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)有最小值3，沒(méi)有最大值．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)值域的求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，當(dāng)，時(shí)，，則．〖祥解〗令代入已知關(guān)系即可求值．【解答】解：因?yàn)?，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．21．（2024?虹口區(qū)模擬）若函數(shù)為偶函數(shù)，則1．〖祥解〗根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義可得，變形分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，變形可得：，必有；故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題．22．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)．〖祥解〗根據(jù)偶函數(shù)的定義，即可列關(guān)系式求解．【解答】解：定義域?yàn)?，則，所以，故，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了偶函數(shù)定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．23．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知偶函數(shù)在區(qū)間，上是嚴(yán)格減函數(shù)．若（1），則的取值范圍是，．〖祥解〗由已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性即可求解不等式．【解答】解：因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間，上是嚴(yán)格減函數(shù)，若（1），則，所以，解得．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．24．（2024?寶山區(qū)三模）已知，，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍．〖祥解〗根據(jù)，求出的最小值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，解出即可．【解答】解：由得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，故不等式恒成立，得恒成立，解得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題．25．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則實(shí)數(shù)的值為1．〖祥解〗由已知可得關(guān)于的不等式，求解的范圍，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)求解值．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，解得，又，?，2，而，可知為偶函數(shù)，則．實(shí)數(shù)的值為1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．26．（2024?靜安區(qū)二模）已知實(shí)數(shù)，記．若函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，則的值為3．〖祥解〗先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值關(guān)系即可求解．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故時(shí)，取得最小值，解得，．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．27．（2024?崇明區(qū)二模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（2）．〖祥解〗先求時(shí)的函數(shù)值，然后結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且時(shí)，函數(shù)值為，故（2）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．28．（2024?浦東新區(qū)二模）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值是〖祥解〗由已知可先求出，然后結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以．則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的定義在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．29．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則1．〖祥解〗由題意可得，，代入根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解答】解：為偶函數(shù)，，，，，，，．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了偶函數(shù)的定義及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．30．（2024?閔行區(qū)二模）對(duì)于任意的、，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．〖祥解〗利用導(dǎo)數(shù)求得，，結(jié)合題意可得恒成立，即，代入兩函數(shù)的最值即可得答案．【解答】解：令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，所以；令，所以，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以（1），所以，又因?yàn)閷?duì)于任意的、，且，不等式恒成立，即對(duì)于任意的、，且，不等式恒成立，即恒成立，所以，即，，所以的取值范圍為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．31．（2024?青浦區(qū)校級(jí)模擬）已知，是實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)取得最大值時(shí)，5．〖祥解〗由題意可知，進(jìn)而求出的最大值，再結(jié)合取等條件即可求出此時(shí)的值．【解答】解：．，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)取得最大值時(shí)，．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．32．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)在，上的值域?yàn)?，則的值為．〖祥解〗先由絕對(duì)值、余弦函數(shù)的有界性以及求出，分類(lèi)討論求出，即可求解．【解答】解：因?yàn)?，，所以?dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，所以，，又，所以，所以，易知在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，注意到，且在單調(diào)遞增，所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．33．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，則的解集是．〖祥解〗由已知結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：因?yàn)?，，?duì)于函數(shù)，有，即，則，即，所以，整理得，，解得，，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．34．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)若對(duì)，，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．〖祥解〗分，和，兩種情況，參變分離，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出答案．【解答】解：當(dāng)，時(shí)，由題意得，由題意得，，故，令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在，上單調(diào)遞減，故，所以，解得，當(dāng)，時(shí)，，故，因?yàn)?，所以，綜上，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由不等式恒成立求解參數(shù)范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．35．（2024?奉賢區(qū)三模）已知，若非零整數(shù)，使得等式恒成立，則的所有可能的取值為，2．〖祥解〗先求導(dǎo)，根據(jù)等式恒成立，得到，，即可求解．【解答】解：，，又等式，，即恒成立，，，，或，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，．故答案為：，2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．36．（2024?浦東新區(qū)三模）已知為偶函數(shù)，若（a），則．〖祥解〗依題意，得，，解之即可．【解答】解：為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，（a）（a），又（a），，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷，考查邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．37．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，，不等式恒成立．則正數(shù)的取值范圍是．〖祥解〗根據(jù)題意將原不等式化為，則其轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間，上，函數(shù)與函數(shù)的圖象恒在直線的兩側(cè)，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合和二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，即可求出結(jié)果．【解答】解：不等式可化為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間，上，函數(shù)與函數(shù)的圖象恒在直線的兩側(cè)，如圖畫(huà)出函數(shù)與函數(shù)的圖象，由，得或（舍去），從而得，由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性知與圖象的右邊交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故在區(qū)間上，函數(shù)與函數(shù)的圖象恒在直線的兩側(cè)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)與方程、二次函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合能力，屬于中檔題．38．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）設(shè)，若在區(qū)間上，關(guān)于的不等式有意義且能恒成立，則的取值范圍為，，．〖祥解〗由題意可得當(dāng)時(shí)，的圖象始終在的上方，分、、、、、及，分別作出圖象，結(jié)合圖象求解即可．【解答】解：因?yàn)樵趨^(qū)間上，關(guān)于的不等式有意義且能恒成立，所以當(dāng)時(shí)，的圖象始終在的上方，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，；在和上單調(diào)遞減，且圖象是由的圖象向左或向右平移個(gè)單位得到的．當(dāng)時(shí)，如圖所示：滿足題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象是由的圖象向左平移個(gè)單位得到的，易知，解得，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象是由的圖象向左平移個(gè)單位得到的，當(dāng)時(shí)，如圖所示：則必有，解得，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)趨于時(shí)，趨于，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，如圖所示：不滿足題意；當(dāng)時(shí)，如圖所示：，滿足題意；當(dāng)時(shí)，如圖所示：，滿足題意．綜上，或．故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)，考查了圖象的平移、分類(lèi)討論思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．39．（2024?松江區(qū)二模）已知函數(shù)，若，則的最小值為4．〖祥解〗由題意及對(duì)數(shù)的運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，利用基本不等式即可求解．【解答】解：，若，不妨設(shè)，則，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查基本不等式的運(yùn)用，是中檔題．40．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若（a），則實(shí)數(shù)的取值范圍為或．．〖祥解〗由已知結(jié)合奇函數(shù)定義可求出及時(shí)的函數(shù)解析式，然后結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可求解不等式．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，則，所以，若（a），當(dāng)時(shí)，可得，解得，當(dāng)時(shí)，可得，解得，當(dāng)時(shí)，可得，顯然不成立，故的范圍為或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．41．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)滿足條件：存在，，使在，上的值域?yàn)?，，則稱(chēng)為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則的范圍為．〖祥解〗由題意得，函數(shù)是增函數(shù)，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0，求出的取值范圍．【解答】解：函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，且滿足存在，，使在，上的值域是，，在，上是增函數(shù)；，即，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且兩根都大于0；，解得：，滿足條件的范圍是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的值域問(wèn)題，解題時(shí)構(gòu)造函數(shù)，滲透轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．42．（2024?虹口區(qū)模擬）若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最小值為4．〖祥解〗首先分析出，再得到，最后利用基本不等式即可得到答案．【解答】解：時(shí)，有，所以，令，，的零點(diǎn)是，在上，在上，的零點(diǎn)是，在上，在上，若不等式對(duì)任意的恒成立，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．43．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）若正數(shù)，滿足，則的最小值是．〖祥解〗設(shè)，，則，，，，再由乘1法，運(yùn)用基本不等式，即可得到所求最小值．【解答】解：設(shè)，，則，，，，即有．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的運(yùn)用：最值的求法，注意運(yùn)用乘1法，以及滿足的條件：一正二定三等，屬于中檔題．44．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則下列說(shuō)法正確的有①②③．．①；②（1）；③是偶函數(shù)；④為的極小值點(diǎn)〖祥解〗利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)①②③，舉反例即可排除選項(xiàng)④．【解答】解：因?yàn)?，?duì)于①，令，，故①正確．對(duì)于②，令，（1）（1）（1），則（1），故②正確．對(duì)于③，令，（1），則，令，，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故③正確，對(duì)于④，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無(wú)極值，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．45．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)定義在上的偶函數(shù)滿足，它在區(qū)間，上的圖像為如圖所示的線段，則方程的最大實(shí)數(shù)根的值為．〖祥解〗由的奇偶性及對(duì)稱(chēng)性可得周期性及圖象，由可得，求方程的根即求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，觀察圖象可得轉(zhuǎn)化為求即可．【解答】解：由圖象知，設(shè)的方程為，則，則的方程為：，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，則，所以，由，可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，又，所以，所以的周期．因?yàn)?，所以，則方程的根為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．則作出函數(shù)和的大致圖象如圖，由圖象知（5）（3）（1），，，則當(dāng)時(shí)，方程取得最大根，當(dāng)時(shí)，，，由得，即，解得（舍或．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．46．（2024?崇明區(qū)二模）已知實(shí)數(shù)，，，滿足：，，，則的最大值是6．〖祥解〗由題意可得，把變形，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解．【解答】解：設(shè)，，，，則、都在圓上，令，，則，．．其中，分別為、到直線的距離，而點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，則，其中為圓心到直線的距離，即，可得的最大值是．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．47．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設(shè)，已知或，則，，的最小值為．〖祥解〗利用換元法可得，進(jìn)而根據(jù)不等式的性質(zhì)，分情況討論求解．【解答】解：令，，，其中，，，所以，若，則，故，令，，，，，因此，故，則，若，則，即，，，，，，則，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，如取時(shí)可滿足等號(hào)成立，綜上可知，，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)的最大值，考查了函數(shù)思想及分類(lèi)討論思想，屬于難題．三．解答題（共12小題）48．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且（1）．（1）求的解析式；（2）判斷的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明．〖祥解〗（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出的值，結(jié)合函數(shù)的解析式求出的值，計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，由作差法證明可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則有，解得，又由，解得，所以，則定義域?yàn)?，且，所以；?）在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)．證明如下：設(shè)任意，則，由，得，即，，，所以，即，故在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的性質(zhì)和證明，注意作差法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．49．（2024?徐匯區(qū)模擬）已知函數(shù)，其中．（1）求證：是奇函數(shù)；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間，上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．〖祥解〗（1）利用奇偶函數(shù)的概念判斷即可；（2）依題意，得，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性可求得答案．【解答】解：（1）證明：由，得或，的定義域?yàn)椋?，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，故是奇函數(shù)；（2），且或，由題意，可得在區(qū)間，上有解，即在區(qū)間，上有解，令，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷，屬于基礎(chǔ)題．50．（2024?黃浦區(qū)二模）設(shè)，函數(shù)．（1）求的值，使得為奇函數(shù)；（2）若（2），求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍．〖祥解〗（1）結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解；（2）由（2）可求，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以（1），即，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，為奇函數(shù)，符合題意；（2）因?yàn)椋?），即，所以，化簡(jiǎn)得，，解得，，故的范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，還考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在不等式求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．51．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)椋魧?duì)滿足的任意、，均有，則稱(chēng)函數(shù)具有“性質(zhì)”．（1）在下述條件下，分別判斷函數(shù)是否具有（2）性質(zhì)，并說(shuō)明理由；①；②；（2）已知，且函數(shù)具有（1）性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：“函數(shù)為增函數(shù)”是“對(duì)任意，函數(shù)均具有性質(zhì)”的充要條件．〖祥解〗（1）代入（2）性質(zhì)直接計(jì)算即可．（2）將原式等價(jià)與當(dāng)時(shí)，恒成立的問(wèn)題即可求解．（3）由充要條件的概念以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：（1）①是，因?yàn)閷?duì)任意，，所以符合定義；②不是，學(xué)生只需舉一組反例；（2）顯然，所以設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，原問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，所以得；（3）證明：充分性：如果函數(shù)為增函數(shù)，則對(duì)任意的，均有，即，因此，對(duì)任意，若，則，函數(shù)具有性質(zhì)，充分性得證；必要性：若對(duì)任意，函數(shù)均具有性質(zhì)，假設(shè)函數(shù)不是增函數(shù)，則存在，滿足，即，取，則顯然，即對(duì)于，存在，但是，與“對(duì)任意，函數(shù)均具有性質(zhì)”矛盾，因此假設(shè)不成立，即函數(shù)為增函數(shù)，必要性得證．所以“函數(shù)為增函數(shù)”是“對(duì)任意，函數(shù)均具有性質(zhì)”的充要條件．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷，應(yīng)注意充要條件的概念，屬于中檔題．52．（2024?閔行區(qū)校級(jí)二模）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．〖祥解〗（1）由偶函數(shù)定義求得參數(shù)值；（2）由基本不等式求得的最小值，然后解相應(yīng)的不等式可得范圍．【解答】解：（1）由偶函數(shù)定義知：，即，對(duì)成立，．（2）由（1）得：；，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，，，即，解得：或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性，基本不等式的性質(zhì)以及函數(shù)最值問(wèn)題，是中檔題．53．（2024?金山區(qū)二模）已知函數(shù)與有相同的定義域．若存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，都存在，滿足，則稱(chēng)函數(shù)是函數(shù)關(guān)于的“函數(shù)”．（1）若，，試判斷函數(shù)是否是關(guān)于0的“函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)與均存在最大值與最小值，且函數(shù)是關(guān)于的“函數(shù)”，又是關(guān)于的“函數(shù)”，證明：；（3）已知，，其定義域均為，．給定正實(shí)數(shù)，若存在唯一的，使得是關(guān)于的“函數(shù)”，求的所有可能值．〖祥解〗（1）根據(jù)關(guān)于0的“函數(shù)”定義可得結(jié)果．（2）分別求出最大值和最小值再證明結(jié)論即可．（3）分別討論的范圍可得的所有可能值．【解答】解：（1）不是關(guān)于0的“函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，，所以不存在，使得，（2）證明：設(shè)，由題意，存在，使得，因?yàn)楹瘮?shù)是關(guān)于的“函數(shù)”，所以存在，滿足，從而，同理，由是關(guān)于的“函數(shù)”，可得，綜上，．（3）記集合，，，，，，由是關(guān)于的“函數(shù)”，得，①當(dāng)時(shí)，，，，從而，解得，因唯一，令，解得（舍或（舍．②當(dāng)時(shí)，，，，從而，解得，因唯一，令，解得，符合題意．③當(dāng)時(shí)，，，，從而，得，因唯一，令，解得，符合題意，綜上，的所有可能值為1或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的最值和函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．54．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）已知、為實(shí)數(shù)集的非空子集，若存在函數(shù)且滿足如下條件：①定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?；②?duì)任意、，，均有．則稱(chēng)是集合到集合的一個(gè)“完美對(duì)應(yīng)”．（1）用初等函數(shù)構(gòu)造區(qū)間，到區(qū)間，的一個(gè)完美對(duì)應(yīng)；（2）求證：整數(shù)集到有理數(shù)集之間不存在完美對(duì)應(yīng)；（3）若，，且是某區(qū)間到區(qū)間，的一個(gè)完美對(duì)應(yīng)，求的取值范圍．〖祥解〗（1）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義及基本初等函數(shù)的定義域及值域即可求解；（2）利用反證法，結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（3）使用題目所給新定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求解的取值范圍．【解答】解：（1）因?yàn)?，根?jù)函數(shù)單調(diào)性的定義有在上為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)題目對(duì)完美對(duì)應(yīng)的新定義可得所需構(gòu)造的函數(shù)定義域?yàn)?，時(shí)，值域?yàn)?，所以；?）假設(shè)存在整數(shù)集到有理數(shù)集之間完美對(duì)應(yīng)，則對(duì)任意，，均有，則有在上為單調(diào)遞增函數(shù)，設(shè)，若，，則，則，可得，可設(shè)（1），則（2）（1）（1），同理可得（3），（4），，，則有，即是整數(shù)集到有理數(shù)集之間完美對(duì)應(yīng)，與題意矛盾，所以假設(shè)不成立，整數(shù)集到有理數(shù)集之間不存在完美對(duì)應(yīng)；（3）解得．若，則單調(diào)遞增，且有（1），，此時(shí)，；若，時(shí)，則，時(shí)，；時(shí)，．則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，故只有極小值才滿足題意，解得，若，則時(shí)，，時(shí)，；時(shí)，；則函數(shù)在單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；又，故只有極大值才滿足題意，記得此時(shí)．綜上，的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域，結(jié)合新定義考查學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．55．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，，使得和都成立，則稱(chēng)直線為函數(shù)與的“分界線”．（1）若函數(shù)，，，求函數(shù)和的“分界線”；（2）已知函數(shù)滿足對(duì)任意的，恒成立．①求實(shí)數(shù)的值；②設(shè)函數(shù)，試探究函數(shù)與是否存在“分界線”？若存在，請(qǐng)加以證明，并求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〖祥解〗（1）令，取時(shí)，確定的值，再由，求出的值即可；（2）①由題意可得對(duì)恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求解即可；②設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，從而可得函數(shù)與的圖象在處有公共點(diǎn)．再根據(jù)“分界線”的定義求解、證明即可．【解答】解：（1）由“分界線”的定義可得，即對(duì)任意恒成立，取，則，進(jìn)而有，即且，解得，故函數(shù)和的“分界線”為；（2）①對(duì)任意的，恒成立，對(duì)恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，恒成立，從而在上單調(diào)遞減，又（1），當(dāng)時(shí)，與題意矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，令，即，解得；令，即，解得，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．由題意有，即，也即，令，則，當(dāng)時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞增，（a）（e），從而（a）（e）．又（a），（a），此時(shí)．；②設(shè)，則．令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，．函數(shù)與的圖象在處有公共點(diǎn)．設(shè)與存在“分界線”且方程為：．令函數(shù)．由在上恒成立，即在上恒成立，成立，，故，，；證明：恒成立．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．時(shí)，取最大值，為，則恒成立．綜上可知且，函數(shù)與存在分界線為．此時(shí)，．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新概念題，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用、邏輯推理能力，理解定義是重點(diǎn)，屬于難題．56．（2024?楊浦區(qū)二模）函數(shù)、的定義域均為，若對(duì)任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，均有（a）（b）或（b）（a）成立，則稱(chēng)與為相關(guān)函數(shù)對(duì)．（1）判斷函數(shù)與是否為相關(guān)函數(shù)對(duì)，并說(shuō)明理由；（2）已知與為相關(guān)函數(shù)對(duì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)與為相關(guān)函數(shù)對(duì)，且存在正實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有．求證：存在實(shí)數(shù)，，使得對(duì)任意，均有．〖祥解〗（1）根據(jù)相關(guān)函數(shù)對(duì)的定義判斷即可；（2）由題意可得當(dāng)恒成立時(shí)滿足要求，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可；（3）用反證法，結(jié)合相關(guān)函數(shù)對(duì)的定義，得出矛盾即可．【解答】解：（1）對(duì)任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，不妨設(shè)，（a）（b），所以函數(shù)與是相關(guān)函數(shù)對(duì)；（2）對(duì)任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以即可，由，可知?dāng)恒成立時(shí)滿足要求，考慮函數(shù)，，，所以當(dāng)時(shí)，，為嚴(yán)格減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為嚴(yán)格增函數(shù)；所以的最大值為，所以，當(dāng)時(shí)，取，，則（a）（b），（b）（a），此時(shí)，不為相關(guān)函數(shù)對(duì)，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，；（3）證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)，，均存在，使，特別取為正整數(shù)，，使得，①對(duì)任意正整數(shù)，，由①，，由于、為相關(guān)函數(shù)對(duì)可知：或，若，則；若，則，由、可知：，②由條件：對(duì)任意，，，將區(qū)間，分成如下有限個(gè)小區(qū)間：，，，，（其中，由②可知：上述每個(gè)小區(qū)間至多包含一個(gè)，矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即結(jié)論成立．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新概念題，考查了轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用及反證法的應(yīng)用，屬于難題．57．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)二模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，都有，則稱(chēng)函數(shù)有上界，實(shí)數(shù)的最小值為函數(shù)的上確界．記集合在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；（1）求函數(shù)的上確界；（2）若，求