專題06立體幾何初步（難點(diǎn)）

專題06立體幾何初步（難點(diǎn)）一、單選題1．如圖，在矩形中，，，為邊的中點(diǎn)，沿將折起，在折起的過(guò)程中，下列結(jié)論能成立的是（）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】B【解析】用線面垂直的判定定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一結(jié)合條件分析即可.因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，AB＝4，BC＝2，E為DC邊的中點(diǎn)，則在折起過(guò)程中，D點(diǎn)在平面BCE上的射影的軌跡為為O1O2(如圖)．因?yàn)檎燮疬^(guò)程中，DE與AC所成角不能為直角，所以DE不垂直于平面ACD，故A錯(cuò)；因?yàn)锳D⊥ED，并且在折起過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D的射影位于O點(diǎn)時(shí)，有AD⊥BD，所以在折起過(guò)程中AD⊥平面BED能成立，故B正確；折起過(guò)程中，BD與AC所成的角不能為直角，所以BD不垂直于平面ACD，故C錯(cuò)；只有D點(diǎn)射影位于O2位置，即平面AED與平面AEB重合時(shí)，才有BE⊥CD，所以折起過(guò)程中CD不垂直于平面BED，故D錯(cuò).故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：立體幾何中折疊問(wèn)題，要注重折疊前后垂直關(guān)系的變化,不變的垂直關(guān)系是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵.2．在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，是上底面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、，推導(dǎo)出平面平面，可得出點(diǎn)的軌跡為線段，進(jìn)而可求得線段長(zhǎng)度的取值范圍.如下圖所示，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則且，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，在正方體中，且，且，所以四邊形為平行四邊形，可得，平面，平面，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，在線段上任取一點(diǎn)，則平面，平面，即點(diǎn)的軌跡為線段，在中，，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)為的中點(diǎn)，的長(zhǎng)度取最小值，即，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)的重合時(shí)，的長(zhǎng)度取最大值，即.因此，線段長(zhǎng)度的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線段長(zhǎng)度取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是利用平面推測(cè)出點(diǎn)的軌跡，一般利用線面平行的性質(zhì)或面面平行的性質(zhì)來(lái)找出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，在確定點(diǎn)的軌跡后，再利用幾何知識(shí)求解.3．如圖，在長(zhǎng)方形中，，現(xiàn)將沿折至，使得二面角為銳二面角，設(shè)直線與直線所成角的大小為，直線與平面所成角的大小為，二面角的大小為，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．不能確定【答案】B【解析】先證明最小角定理，再過(guò)點(diǎn)作平面，過(guò)點(diǎn)作平面，連接，過(guò)作，連接，可得，，由等體積法可得，進(jìn)而可得的大小，在平面內(nèi)，，所以.所以等于直線與所成的角也為直線與平面所成的角，根據(jù)上面已證的最小角定理有，從而得到答案.解決本題，先來(lái)了解最小角定理：平面外的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角平面斜交的直線與它在該平面內(nèi)的射影的夾角不大于直線與平面內(nèi)其他直線的夾角．證明如下：直線與平面斜交，斜足為，平面，，由平面，，可證明平面，則．則，，，所以，即，故，．過(guò)點(diǎn)作平面，過(guò)點(diǎn)作平面，連接.過(guò)作，連接，如圖：則為直線與平面所成角，即，由平面，則，又，且所以平面，則所以為二面角的平面角，即，又，即，且，所以.由，由，所以，即，也即.又在平面內(nèi)，，所以.所以等于直線與所成的角，也為直線與平面所成的角.根據(jù)上面已證的最小角定理有.所以，故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：最小角定理：平面外的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角平面斜交的直線與它在該平面內(nèi)的射影的夾角不大于直線與平面內(nèi)其他直線的夾角．4．如圖，正方形和正方形成的二面角，將繞旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（1）對(duì)任意位置，總有直線與平面相交；（2）對(duì)任意位置，平面與平面所成角大于或等于；（3）存在某個(gè)位置，使平面；（4）存在某個(gè)位置，使.其中正確的是（）.A．（1）（3） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）【答案】C【解析】采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)線線、線面、面面之間的位置關(guān)系，可得結(jié)果.過(guò)作的平行線，如圖當(dāng)平面過(guò)時(shí)，直線與平面平行，故（1）錯(cuò)誤；繞旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)以為高，為底面半徑的圓錐，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則向量所在直線與圓錐底面所成角為，向量所在直線為圓錐底面的半徑所在直線，根據(jù)最小角原理，與的夾角大于或等于，故（2）正確；若有平面，則，∴平面，則在平面內(nèi)，此時(shí)與平面所成角為或，矛盾，故（3）錯(cuò)誤；當(dāng)，∴平面時(shí)，，∴，故（4）正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中存在性問(wèn)題，重在考查空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.5．在邊長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則三角形面積的最小值為（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】【解析】根據(jù)直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)可知平面.將截面補(bǔ)全后,可確定點(diǎn)的位置,進(jìn)而求得三角形面積的最小值.由題意,,分別是棱,,的中點(diǎn),補(bǔ)全截面為,如下圖所示:因?yàn)橹本€與平面沒(méi)有公共點(diǎn)所以平面,即平面,平面平面此時(shí)位于底面對(duì)角線上,且當(dāng)與底面中心重合時(shí),取得最小值此時(shí)三角形的面積最小故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)與應(yīng)用,過(guò)定點(diǎn)截面的作法,屬于難題.6．如圖所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分別是BF，CE上的點(diǎn)，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如圖1），將四邊形ADEF沿AD折起，連結(jié)BE、BF、CE（如圖2）．在折起的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)（）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四點(diǎn)可能共面；③若EF⊥CF，則平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE與平面BEF可能垂直A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】根據(jù)折疊前后線段、角的變化情況，由線面平行、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理對(duì)各命題進(jìn)行判斷，即可得出答案．對(duì)①，在圖②中，連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接MO，易證AOMF為平行四邊形，即AC//FM，所以AC//平面BEF，故①正確；對(duì)②，如果B、C、E、F四點(diǎn)共面，則由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，這樣四邊形ADEF為平行四邊形，與已知矛盾，故②不正確；對(duì)③，在梯形ADEF中，由平面幾何知識(shí)易得EFFD，又EFCF，∴EF平面CDF，即有CDEF，∴CD平面ADEF，則平面ADEF平面ABCD，故③正確；對(duì)④，在圖②中，延長(zhǎng)AF至G，使得AF=FG，連接BG，EG，易得平面BCE平面ABF，BCEG四點(diǎn)共面．過(guò)F作FNBG于N，則FN平面BCE，若平面BCE平面BEF，則過(guò)F作直線與平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．7．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，根據(jù)面面平行的判定定理，得到平面平面，確定線段掃過(guò)的圖形是，再由題中數(shù)據(jù)，得到是直角，進(jìn)而即可求出結(jié)果.取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則，，∴平面平面，∴平面，線段掃過(guò)的圖形是∵，∴，∴，∴是直角，∴線段長(zhǎng)度的取值范圍是.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面平行的判定，熟記面面平行的判定定理即可，屬于?？碱}型.8．如圖，已知在中，為線段上一點(diǎn)，沿將翻轉(zhuǎn)至，若點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好落在線段上，則二面角的正切的最大值為（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】過(guò)作交BC于E，連接EH，結(jié)合已知條件有二面角的平面角為，而，設(shè)且，則，即可求，，應(yīng)用函數(shù)與方程思想，構(gòu)造且在上有解求參數(shù)m的范圍，即可得二面角正切的最大值.過(guò)作交BC于E，連接EH，∵在平面內(nèi)的射影恰好落在線段上，即面，∴且，,即面，面，則,∴二面角的平面角為，在中，，若令，則，又，∴，且，故，則，即方程在上有解時(shí)，m的最大值即為所求，而開(kāi)口向上且，即，對(duì)稱軸.∴當(dāng)時(shí)，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)對(duì)稱軸在上，恒成立；當(dāng)對(duì)稱軸在上，，即；∴綜上，有，即，故二面角的正切的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三垂線定理找到二面角的平面角，進(jìn)而根據(jù)線段關(guān)系、勾股定理求，，由，結(jié)合函數(shù)與方程的思想求參數(shù)m范圍，進(jìn)而確定最大值.二、多選題9．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，是正三角形，M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．若，則平面平面B．若，則直線與平面所成的角的正弦值為C．若直線和異面，則點(diǎn)N不可能為底面的中心D．若平面平面，且點(diǎn)N為底面的中心，則【答案】ABC【解析】根據(jù)面面垂直的判定，線面夾角的求解辦法，以及異面直線的定義，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可容易判斷選擇.∵，，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，A項(xiàng)正確；設(shè)的中點(diǎn)為F，連接?，則.∵平面平面，平面平面，平面∴平面，設(shè)與平面所成的角為，則，，，，則，B項(xiàng)正確；連接，易知平面，由B?M?E確定的面即為平面，當(dāng)直線和異面時(shí)，若點(diǎn)N為底面的中心，則，又平面，則與共面，矛盾，C項(xiàng)正確；連接，∵平面，平面，∴，∵F?N分別為?的中點(diǎn)，則，又，故，，則，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題綜合考查面面垂直的判定以及性質(zhì)、異面直線的定義、線面夾角的求解，屬綜合困難題.10．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．異面直線BC與所成的角為 B．在上存在點(diǎn)D，使平面ABCC．二面角的大小為 D．【答案】ABC【解析】選項(xiàng)，連接，易知，故即為所求,再結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證得，即；選項(xiàng)，連接，交于點(diǎn)，連接，再取的中點(diǎn)，連接、，再由線面平行的判定定理即可得證；選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接、，則即為所求，求出的值，從而得解；選項(xiàng)，在中，利用勾股定理分別算出、和的長(zhǎng)，判斷其結(jié)果是否滿足即可．選項(xiàng)，連接，由三棱柱的性質(zhì)可知，，即為異面直線與．，，，即，由直三棱柱的性質(zhì)可知，平面，平面，，又，、平面，平面，，即，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，連接，交于點(diǎn)，連接，再取的中點(diǎn)，連接、，則，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，即選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接、，平面，即為二面角的平面角．在中，，，，，即選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，在中，，，，顯然，即與不垂直，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面的位置關(guān)系、角的求法，要求學(xué)生熟練掌握空間中線與面平行或垂直的判定定理與性質(zhì)定理，以及通過(guò)平移的思想找出異面直線的平面角，并理解二面角的定義，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．已知直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角的正切值為B．無(wú)論點(diǎn)在上怎么運(yùn)動(dòng)，都有C．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，才有與相交于一點(diǎn)，記為，且D．無(wú)論點(diǎn)在上怎么運(yùn)動(dòng)，直線與所成角都不可能是30°【答案】ABD【解析】構(gòu)造線面角，由已知線段的等量關(guān)系求的值即可判斷A的正誤；利用線面垂直的性質(zhì)，可證明即可知B的正誤；由中位線的性質(zhì)有可知C的正誤；由直線的平行關(guān)系構(gòu)造線線角為，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)P分析角度范圍即可知D的正誤直三棱柱中，，選項(xiàng)A中，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，有E為的中點(diǎn)，連接、，如下圖示即有面∴直線與平面所成的角的正切值：∵，∴，故A正確選項(xiàng)B中，連接，與交于E，并連接，如下圖示由題意知，為正方形，即有而且為直三棱柱，有面，面∴，又∴面，面，故同理可證：，又∴面，又面，即有，故B正確選項(xiàng)C中，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，即在△中、均為中位線∴Q為中位線的交點(diǎn)∴根據(jù)中位線的性質(zhì)有：，故C錯(cuò)誤選項(xiàng)D中，由于，直線與所成角即為與所成角：結(jié)合下圖分析知：點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)當(dāng)在或上時(shí)，最大為45°當(dāng)在中點(diǎn)上時(shí)，最小為∴不可能是30°，故D正確故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查了利用射影定理構(gòu)造線面角，并計(jì)算其正弦值；利用線面垂直證明線線垂直；中位線的性質(zhì)：中位線交點(diǎn)分中位線為1：2的數(shù)量關(guān)系；由動(dòng)點(diǎn)分析線線角的大小12．如圖，線段為圓的直徑，點(diǎn)，在圓上，，矩形所在平面和圓所在平面垂直，且，，則下述正確的是（）A．平面B．平面C．點(diǎn)到平面的距離為D．三棱錐外接球的體積為【答案】ABC【解析】由，，易證平面，A正確；B，由所矩形所在平面和圓所在平面垂直，易證平面，所以，由線段為圓的直徑，所以，易證故B正確.C，由可求點(diǎn)到平面的距離為，C正確.D，確定線段的中點(diǎn)是三棱錐外接球心，進(jìn)一步可求其體積，可判斷D錯(cuò)誤.解：，，四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故A正確.線段為圓的直徑，所以，矩形所在平面和圓所在平面垂直，平面平面，平面，所以平面，平面，所以平面，平面，，所以平面，故B正確.，是正三角形，所以，，所以平面，，，，，，是等腰三角形，的邊上的高，，，平面，平面，平面，點(diǎn)到平面的距離為，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，所以，故C正確.取的中點(diǎn)，則，，所以平面，所以所以是三棱錐外接球的球心，其半徑，三棱錐外接球的體積為，故D錯(cuò)誤，故選：ABC.【點(diǎn)睛】綜合考查線面平行與垂直的判斷，求點(diǎn)面距離以及三棱錐的外接球的體積求法，難題.三、填空題13．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，與底面成角，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值是________.【答案】【解析】作，再由，易得，從而平面ABE，由面面垂直的判定定理得到平面ABE平面BCD，得到與底面成的角為,然后在中，設(shè)，BA與BP的夾角為，利用余弦定理得，根據(jù)直線與平面所成的角是平面內(nèi)直線與該直線所成的角中最小的角，得到，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解.如圖所示：作，垂足為E，連接BE，因?yàn)?所以平面ACD，則，又，所以平面ABE，又平面BCD，所以平面ABE平面BCD，所以點(diǎn)A的射影在直線BE上，所以與底面成的角為,在中，設(shè)，BA與BP的夾角為，由余弦定理得，兩邊同除以得，因?yàn)橹本€與平面所成的角是平面內(nèi)直線與該直線所成的角中最小的角，所以，所以，當(dāng)點(diǎn)在BE上取等號(hào)，又因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，即點(diǎn)P在E處，取得最小值，所以的最小值是，故答案為；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是在中，根據(jù)直線與平面所成的角是平面內(nèi)直線與該直線所成的角中最小的角，得到，將余弦定理，轉(zhuǎn)化為，由點(diǎn)在BE上求解.14．線段分別交兩平行平面于A，B兩點(diǎn)，線段分別交平面于C，D兩點(diǎn)，線段分別交平面于F，E兩點(diǎn)，若，，，的面積為72，則的面積為_(kāi)_______．【答案】84.【解析】利用，得到，，從而得到線段長(zhǎng)的比例，進(jìn)而得到與的面積關(guān)系，利用的面積為72，即可求得的面積．平面，平面，又，,同理可證：與相等或互補(bǔ)，.由，得,.由，得,.又,的面積為84.故答案為：84.【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的性質(zhì)定理，在運(yùn)用兩平面平行的性質(zhì)定理時(shí),一定要先找到與兩平行平面都相交的第三個(gè)平面,繼而推得兩交線平行，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題.15．下圖中的幾何體是由兩個(gè)有共同底面的圓錐組成．已知兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)分別為P、Q，高分別為2、1，底面半徑為1．A為底面圓周上的定點(diǎn)，B為底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)（不與A重合）．下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐體積的最大值為；②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為；③當(dāng)直線BQ與AP所成角最小時(shí)，其正弦值為；④直線BQ與AP所成角的最大值為；其中正確的結(jié)論有___________.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）【答案】①③【解析】由①可知只需求點(diǎn)A到面的最大值對(duì)于②，求直線PB與平面PAQ所成角的最大值，可轉(zhuǎn)化為到軸截面距離的最大值問(wèn)題進(jìn)行求解對(duì)于③④，可采用建系法進(jìn)行分析選項(xiàng)①如圖所示，當(dāng)時(shí)，四棱錐體積最大，選項(xiàng)②中，線PB與平面PAQ所成角最大值的正弦值為，所以選項(xiàng)③和④，如圖所示：以垂直于方向?yàn)閤軸，方向?yàn)閥軸，方向?yàn)閦軸，其中設(shè),.,設(shè)直線BQ與AP所成角為，，當(dāng)時(shí)，取到最大值，，此時(shí)，由于，，，所以取不到答案選①、③【點(diǎn)睛】幾何體的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題需要結(jié)合動(dòng)態(tài)圖形和立體幾何基本知識(shí)進(jìn)行求解，需找臨界點(diǎn)是正確解題的關(guān)鍵，遇到難以把握的最值問(wèn)題，可采用建系法進(jìn)行求解.16．《九章算術(shù)》中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得到一個(gè)陽(yáng)馬（底面是長(zhǎng)方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）和一個(gè)鱉臑（四個(gè)面均為直角三角形的四面體）.在如圖所示的塹堵中，且有鱉臑C1ABB1和鱉臑，現(xiàn)將鱉臑沿線BC1翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)B1重合，則鱉臑經(jīng)翻折后，與鱉臑拼接成的幾何體的外接球的表面積是______.【答案】【解析】當(dāng)沿線BC1翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)B1重合，則鱉臑經(jīng)翻折后，A點(diǎn)翻折到E點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱，所拼成的幾何體為三棱錐，根據(jù)外接球的性質(zhì)及三棱錐性質(zhì)確定球心，利用勾股定理求出半徑即可求解.當(dāng)沿線BC1翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)B1重合，則鱉臑經(jīng)翻折后，A點(diǎn)翻折到E點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱，所拼成的幾何體為三棱錐,如圖，由可得,,即為正三角形，所以外接圓圓心為三角形中心，設(shè)三棱錐外接球球心為，連接，則平面，連接,,在中作,垂足為，如圖，因?yàn)?,所以是的中點(diǎn)，由矩形可知,因?yàn)闉槿切蔚闹行?，所以在中?所以,故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體的翻折問(wèn)題，三棱錐的外接球，球的表面積公式，考查了空間想象力，屬于難題.四、解答題17．如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)、、分別是棱、、的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，.（1）若平面交平面于直線，求證：；（2）若直線平面，①求三棱錐的表面積；②試作出平面與正方體各個(gè)面的交線，并寫(xiě)出作圖步驟，保留作圖痕跡設(shè)平面與棱交于點(diǎn)，求三棱錐的體積.【答案】（1）答案見(jiàn)詳解；（2）①；②作圖步驟見(jiàn)解析，三棱錐的體積為．【解析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得到，再結(jié)合線線平行的傳遞性即可證明結(jié)論；（2）①先根據(jù)直線平面得到，進(jìn)而得到是的中點(diǎn)，然后依次求出三棱錐的四個(gè)面的面積再相加即可得到三棱錐的表面積；②根據(jù)公理“一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)”作出平面與正方體各個(gè)面的交線即可；根據(jù)四點(diǎn)共面，且三角形與三角形面積相等，那么三棱錐的體積等于三棱錐的體積，直接利用三棱錐的體積公式求解即可．（1）在正方體中，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，所以，所以．（2）①因?yàn)橹本€平面，平面，所以，又因?yàn)椤?，所以，所以，因?yàn)?，，，所以三棱錐的表面積為．②作圖步驟如下：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，再連接，，，則圖中，，，，，即為平面與正方體各個(gè)面的交線．設(shè)，由題知，所以，所以，解得，因?yàn)?，，，所以，如上圖，設(shè)為線段的中點(diǎn)，可證點(diǎn)在平面內(nèi)，且三角形與三角形面積相等，所以，三棱錐的體積三棱錐的體積三棱錐的體積，所以三棱錐的體積為．【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面垂直以及幾何體的表面積和體積的求法，考查空間想象能力記憶計(jì)算能力，屬于難題．18．如圖，在半圓柱中，為上底面直徑，為下底面直徑，為母線，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，為的中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）求二面角的正切值.【答案】（1）；（2）；（3）2.【解析】（1）求出底面面積與高，然后求解．（2）過(guò)點(diǎn)作圓柱的母線交于，說(shuō)明為直線與所成的角，通過(guò)求解三角形推出結(jié)果．（3）說(shuō)明為二面角的平面角，通過(guò)求解三角形推出二面角的正切值．解：（1）由題意知，為正三角形，所以因?yàn)闉閳A柱的母線，所以平面所以（2）過(guò)點(diǎn)作圓柱的母線交于因?yàn)榕c均為圓柱的母線，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以且，所以為正三角形又因?yàn)闉檎切?，所以，所以，所以為直線與所成的角在中，所以由余弦定理知：所以直線與直線所成角的余弦值為（3）因?yàn)槠矫?，平面，所以又因?yàn)椋云矫嫠?，因此為二面角的平面角在中，，，所以二面角的正切值為【點(diǎn)睛】本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面所成角的求法，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題．19．如圖1所示，在直角梯形中，，，，，，邊上一點(diǎn)E滿足.現(xiàn)將沿折起到的位置，使平面平面，如圖2所示.

（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連接，連接交于點(diǎn)O，證明平面即可；（2）延長(zhǎng)，，設(shè)，連接，可得是平面與平面的交線，作，垂足為H，連接，然后證明為平面與平面所成銳二面角的平面角，然后求出即可.（1）證明：在圖1中，連接，易求.∴四邊形為菱形.連接交于點(diǎn)O，則.∴在圖2中，，.又，∴平面.又平面，∴.

（2）解：在圖2中延長(zhǎng)，，設(shè)，連接.∵平面，平面.又平面，平面.∴是平面與平面的交線.∵平面平面，，平面平面，∴平面.又平面，∴.作，垂足為H，連接.又，∴平面，又平面，∴.∴即為平面與平面所成銳二面角的平面角.由（1）知，，為等邊三角形，∴.∵，∴，解得在中，.∴∴平面與平面所成銳二面角的余弦值.【點(diǎn)睛】本題考查的是線面垂直的證明和面面垂直的性質(zhì)、二面角的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力，屬于較難題.20．如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點(diǎn)為底面圓周上異于，的點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若圓柱的側(cè)面積為，體積為，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)使得直線與平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相應(yīng)的正弦值，并指出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在；點(diǎn)為兩個(gè)半圓弧中點(diǎn)；正弦值為1.【解析】（1）由題意，∠APB＝90°，即PB⊥PA，再由母線AD⊥底面圓O，得AD⊥PB，由直線與平面垂直的判定可得PB⊥平面PAD；（2）由已知求得圓柱底面半徑為與母線長(zhǎng)，在△PAD中，過(guò)A作AM⊥DP交DP于M，由（1）知PB⊥平面PAD，可得PB⊥AM，進(jìn)一步得到AM⊥平面BDP．若M不與Q重合，∠AQM即為直線AQ與平面BDP所成角；若M與Q重合，且直線AQ與平面BDP所成角為90°，求得點(diǎn)P為兩個(gè)半圓弧AB中點(diǎn)．由此可得當(dāng)點(diǎn)P為兩個(gè)半圓弧AB中點(diǎn)時(shí)，直線AQ與平面BDP所成角最大為90°，正弦值最大為1．解：（1）證明：因?yàn)槭菆AO的直徑，點(diǎn)P是圓周上一點(diǎn)，所以，即，又在圓柱中，母線底面，底面，所以，又，平面，平面，所以平面，（2）設(shè)圓柱底面半徑為，母線為，則，解得，在中，過(guò)作交于點(diǎn).由（1）知平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平?若與不重合，即為直線與平面所成的角.若與重合，直線與平面所成的角為，設(shè)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，則在中，，在中，，.于是當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí)，，直線與平面所成的角為，正弦值為1，點(diǎn)為兩個(gè)半圓弧的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了空間中直線與平面所成角的最值的求法，屬于中檔題．21．已知正方體中，?分別為對(duì)角線?上的點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）若是上的點(diǎn)，的值為多少時(shí)，能使平面平面？請(qǐng)給出證明．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）的值為，證明見(jiàn)解析．【解析】（1）連結(jié)并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，證明，，又平面，平面，證明平面；（2）是上的點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，能使平面平面，通過(guò)證明平面，又，平面．然后證明即可．（1）連結(jié)并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，故，所以，又因?yàn)?，所以，所以．又平面，平面，故平面．?）當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，能使平面平面．證明：因?yàn)椋从?，故．所以．又平面，平面，所以平面，又，平面．所以平面平面．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定定理，平面與平面平行的判定定理，考查空間想象能力邏輯推理能力．22．如圖，三棱柱ABC–A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥側(cè)面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H為棱CC1的中點(diǎn)，D為BB1的中點(diǎn)．（1）求證：A1D⊥平面AB1H；（2）若AB=，求三棱柱ABC–A1B1C1的體積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到AH⊥A1D，再由條件得到A1D⊥AB1，于是根據(jù)線面垂直的判定得到結(jié)論成立；（2）方法一：取A1C1的中點(diǎn)G，連接AG，證明AG為三棱柱ABC–A1B1C1的高，然后根據(jù)體積公式求出結(jié)果．方法二：先求出，然后根據(jù)三棱柱ABC–A1B1C1的體積V=3求解．（1）如圖，連接AC1，因?yàn)闉檎切危琀為棱CC1的中點(diǎn)，所以AH⊥CC1，從而AH⊥AA1，又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，AH?平面AA1C1C，所以AH⊥平面ABB1A1，又A1D?平面ABB1A1，所以AH⊥A1D．①設(shè)AB=a，因?yàn)锳C=AA1=AB，所以AC=AA1=2a，DB1=a，．因?yàn)锳B⊥AA1，所以平行