把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)意識(shí)

摘要：平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)意識(shí)的重要載體。對(duì)于平均數(shù)，教材的教學(xué)指向非常明確，即在具體情境中不僅要會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，更應(yīng)理解其概念本質(zhì)，感悟平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。教學(xué)中，教師要進(jìn)行學(xué)情檢測，把握學(xué)習(xí)起點(diǎn)；分層建構(gòu)，發(fā)展數(shù)據(jù)意識(shí)；運(yùn)用拓展，研判平均數(shù)的價(jià)值。關(guān)鍵詞：平均數(shù)；概念本質(zhì)；數(shù)據(jù)意識(shí)數(shù)據(jù)意識(shí)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）中提出的學(xué)生在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中特別需要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)之一，數(shù)據(jù)意識(shí)主要指對(duì)數(shù)據(jù)的意義和隨機(jī)性的感悟?！捌骄鶖?shù)”是人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)第八單元“統(tǒng)計(jì)”例1、例2的學(xué)習(xí)內(nèi)容。小學(xué)數(shù)學(xué)所研究的平均數(shù)指算術(shù)平均數(shù)，就是一組數(shù)據(jù)的總和除以總份數(shù)就能夠得到一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，反映的是一組數(shù)據(jù)的整體水平，具有代表性、區(qū)間性、虛擬性和敏感性等特性。對(duì)于平均數(shù)，教材的教學(xué)指向非常明確，即在具體情境中不僅要會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，更應(yīng)理解其概念本質(zhì)，感悟平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，發(fā)展數(shù)據(jù)意識(shí)。一、學(xué)情檢測，把握學(xué)習(xí)起點(diǎn)從統(tǒng)計(jì)的角度去理解平均數(shù)的意義，對(duì)于學(xué)生來說是有一定困難的。為了準(zhǔn)確地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行了學(xué)情檢測，結(jié)果見下頁表1所示。通過表中兩個(gè)題目的分層次分析我們可知，學(xué)生對(duì)于平均數(shù)的理解存在以下兩個(gè)問題：一是平均數(shù)與平均分產(chǎn)生混淆。平均數(shù)是在學(xué)生理解了平均分和除法運(yùn)算含義的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，從第1，2題的解答可以看出，學(xué)生已有平均分的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，但很容易把平均數(shù)與平均分等同起來；二是平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義理解不夠。在學(xué)習(xí)平均數(shù)之前，四年級(jí)學(xué)生所認(rèn)識(shí)數(shù)都是表示具體事物數(shù)量的數(shù)，具有現(xiàn)實(shí)性，而平均數(shù)不反映具體事物的多少，表示一組數(shù)據(jù)的總體水平，它可能等于一組數(shù)據(jù)中的某個(gè)數(shù)，也可能是一組數(shù)中不存在的，具有虛擬性。這對(duì)學(xué)生的認(rèn)知來說是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。從第2題的解答可以看出學(xué)生對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的理解較為欠缺，需要借助合適的現(xiàn)實(shí)情境感悟。二、分層建構(gòu)，形成數(shù)據(jù)意識(shí)基于以上分析，本課的教學(xué)應(yīng)著重解決以下3個(gè)問題：一是通過創(chuàng)設(shè)貼近生活、生動(dòng)有趣、指向數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的學(xué)習(xí)材料（以下簡稱“學(xué)材”），使學(xué)生感受平均數(shù)產(chǎn)生的必要性，會(huì)用移多補(bǔ)少、求和均分計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；二是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、計(jì)算、交流等一系列活動(dòng)，理解平均數(shù)是代表一組數(shù)據(jù)整體（平均）水平的量值，體驗(yàn)平均數(shù)的虛擬性、敏感性、區(qū)間性；三是應(yīng)該通過多維的變式練習(xí)使學(xué)生能用平均數(shù)解決簡單的實(shí)際問題。（一）優(yōu)化學(xué)材，初步體會(huì)平均數(shù)的意義“對(duì)數(shù)據(jù)的需要”是學(xué)生形成數(shù)據(jù)意識(shí)的起點(diǎn)，它要求學(xué)生在具體情境中認(rèn)識(shí)到數(shù)據(jù)分析有助于問題解決，進(jìn)而產(chǎn)生引進(jìn)新的統(tǒng)計(jì)量的需求。在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握學(xué)生這一起點(diǎn)，優(yōu)化學(xué)材，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)。師：看到“平均”兩個(gè)字，你想到了什么？生：我想到了分桃子，把10個(gè)桃子平均分給5個(gè)人，每人分到2個(gè)。生：我想到了把一塊蛋糕平均分成8塊，我家4人，每人分得2塊。生：我想到了每人分得同樣多。師：那么，看到“平均數(shù)”三個(gè)字你又想知道些什么呢？生：我想知道什么是平均數(shù)。平均數(shù)與平均分有什么關(guān)系？平均數(shù)怎么求？學(xué)習(xí)平均數(shù)有什么用？師：提出問題比解決問題更重要。會(huì)提問題，說明你們會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)思考。教師出示改編的例1：東東同學(xué)是學(xué)校環(huán)保小隊(duì)的成員，四天來，他每天收集飲料瓶的數(shù)量分別是12，14，15，11個(gè)，請(qǐng)問他平均每天收集多少個(gè)飲料瓶？【設(shè)計(jì)意圖】通過回憶平均分激活學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)通過提問引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生對(duì)于平均數(shù)的新思考。（二）探究新知，分層建構(gòu)平均數(shù)的計(jì)算方法平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（代表性、區(qū)間性、虛擬性、敏感性等）對(duì)于剛?cè)胨哪昙?jí)的學(xué)生來說很難理解，教學(xué)中除了引導(dǎo)他們掌握平均數(shù)的計(jì)算方法，教師更應(yīng)重視通過多重辨析，使其經(jīng)歷觀察、猜想、計(jì)算的過程，深入感知、感悟平均數(shù)的特征。1.看圖理解含義，探求方法教師出示任務(wù)：東東犯難了，請(qǐng)你幫他在任務(wù)單中寫出建議的數(shù)據(jù)。生：我填的是15，因?yàn)樽疃嗟氖?5。生：我填的是14，因?yàn)樽疃嗟氖?5，最少的是11，如果這四天每天同樣多，不可能比最多的多，也不可能比最少的少。師：誰讀懂他的意思了？生：他的意思是平均數(shù)要比最多的少，比最少的多。師：可能是16嗎？可能是10嗎？平均數(shù)在11到15之間，而這兩個(gè)數(shù)之間有12，13，14，到底是哪個(gè)呢？怎么讓別人一眼就能看出平均數(shù)是多少呢？生：可以移動(dòng)珠子。師：你怎么想到移動(dòng)珠子了呢？生：我看到黑板上有珠子，而且珠子的高度不同，這樣通過移動(dòng)就能夠讓它們同樣高，也就能看出平均數(shù)是多少了。生：把14移動(dòng)一個(gè)到12的上面，把15移動(dòng)兩個(gè)到11的上面，這樣這四個(gè)數(shù)就都變成13了。也就是相當(dāng)于每天都是13，達(dá)到了每天同樣多。師：這13個(gè)是第一天收集的飲料瓶數(shù)嗎？教師小結(jié)：像這樣一組數(shù)據(jù)中，通過“移多補(bǔ)少”方法，得到相同的數(shù)13，13就是這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)。2.思考辨析，感悟虛擬性教師提出問題：“平均數(shù)‘13’是具體的數(shù)嗎？你是怎么理解平均數(shù)（平均數(shù)介于最大數(shù)與最小數(shù)之間，反映的是這幾個(gè)數(shù)平均后都相等而得到的數(shù)，可以等于其中的某個(gè)具體數(shù)，也可以不等于其中的任意一個(gè)數(shù)）13的？“觀察四天的平均數(shù)與每天收集飲料瓶的數(shù)量，平均數(shù)代表的是整體水平，并不是這組數(shù)據(jù)中某個(gè)具體的數(shù)。3.舉例估算，感悟敏感性如果第五天東東收集了100個(gè)飲料瓶，平均數(shù)還會(huì)是13嗎？會(huì)發(fā)生怎樣的變化？生：平均數(shù)不會(huì)是13，我認(rèn)為大約是30多個(gè)，因?yàn)?00相對(duì)于前幾天的數(shù)據(jù)太大了。生：我們也同意。師：無論怎么樣，會(huì)超過100嗎？生：不會(huì)，會(huì)介于11和100之間。師：如果第五天只收集到2個(gè)飲料瓶呢？平均數(shù)會(huì)發(fā)生怎么樣的變化？生：會(huì)比13小。生：會(huì)在2和15之間。師：由此你們有什么發(fā)現(xiàn)？生：平均數(shù)很敏感，每個(gè)數(shù)據(jù)的變化都會(huì)對(duì)它產(chǎn)生影響。師：這位同學(xué)用到了“敏感”一詞，事實(shí)上，每個(gè)數(shù)據(jù)的變化都會(huì)帶來平均數(shù)的改變。教師小結(jié)：通過剛才的探究我們發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)很奇特，它不是具體每一天收集飲料瓶的數(shù)量，但卻能反映出這四天的整體情況。而且我們發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)介于最小數(shù)和最大數(shù)之間；同時(shí)，平均數(shù)又很敏感，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變化都能夠引起平均數(shù)的改變。4.豐富算法，理解運(yùn)算本質(zhì)教師提出問題：有時(shí)候我們可以用“移多補(bǔ)少”方法計(jì)算平均數(shù)，但是也有些數(shù)據(jù)比如身高、體重或者較大的數(shù)據(jù)等不方便用“移多補(bǔ)少”方法，我們還有別的方法嗎？學(xué)生組間交流匯報(bào)：先把四天的數(shù)量加在一起，然后除以4。師：有多少位同學(xué)是按照這種方法計(jì)算的？我們給這種方法起個(gè)名字可好？生：先加后除法，先總后分法，先和后均法。師：同學(xué)們真有智慧，為了方便交流，像這樣先求總數(shù)再求平均數(shù)的方法，叫“先總后分”法，即平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)?！驹O(shè)計(jì)意圖】教師注重使學(xué)生自主探索、合作交流，通過解決“東東平均每天收集多少個(gè)飲料瓶”的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考并理解平均數(shù)的意義，掌握“移多補(bǔ)少”以及“先求和再平均分”的數(shù)學(xué)方法。教師小結(jié)：剛才我們通過“移多補(bǔ)少”和“先總后分”的方法，都求出了東東每天收集飲料瓶的平均數(shù)。我們來看，這個(gè)平均數(shù)13并不是每天真正收集的飲料瓶數(shù)量，而是一個(gè)“虛擬”的數(shù)，它反映了這幾天平均每天收集飲料瓶數(shù)的一般情況。（三）估算平均數(shù)，理解使用平均數(shù)的必要性教師提出過渡問題：下面是第4小組男生隊(duì)和女生隊(duì)踢毽比賽的成績。你認(rèn)為哪個(gè)隊(duì)成績好（見圖1）？先交流：怎樣判斷兩隊(duì)中哪一隊(duì)的成績好？判斷成績好，能不能用總數(shù)來判斷？為什么？用什么來判斷更好呢？再猜測一下，哪個(gè)隊(duì)的成績會(huì)更好？然后，通過計(jì)算的方法驗(yàn)證誰猜測得更準(zhǔn)確。教師小結(jié)：當(dāng)我們遇到“兩個(gè)小組人數(shù)不等，踢毽數(shù)量也不等”的問題時(shí)，再比較總個(gè)數(shù)就不公平。這時(shí)，我們需要使用一個(gè)新的數(shù)來表示每組學(xué)生踢毽的整體水平，這個(gè)數(shù)就是平均數(shù)。三、運(yùn)用拓展，鞏固數(shù)據(jù)意識(shí)平均數(shù)在生活中運(yùn)用非常廣泛，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過解決簡單的實(shí)際問題，對(duì)數(shù)據(jù)信息進(jìn)行后續(xù)推斷、預(yù)測，提高對(duì)平均數(shù)概念的認(rèn)知，感受平均數(shù)的合理性與獨(dú)有價(jià)值，同時(shí)也認(rèn)識(shí)到平均數(shù)的局限性，鞏固數(shù)據(jù)意識(shí)。（一）身邊的平均數(shù)教師提出問題：找班上的3名同學(xué)，了解、紀(jì)錄其身高和體重情況。（1）這3名同學(xué)的平均身高、平均體重各是多少？（2）張俊才是現(xiàn)今中國最高的人，身高達(dá)到2.42米，如果這3名同學(xué)加上張俊才，4人的平均身高是多少？【設(shè)計(jì)意圖】調(diào)查計(jì)算班上3名同學(xué)的平均身高和平均體重，指向數(shù)據(jù)收集和計(jì)算平均數(shù)。第二小題中求4人的平均身高，可以使學(xué)生感受到極端數(shù)據(jù)會(huì)對(duì)平均數(shù)產(chǎn)生較大影響。（二）生活中的平均數(shù)教師提出問題：2022年，遼寧省平均每戶3.25人。2022年，某地教師的人均預(yù)期壽命為79歲。獨(dú)立思考并交流：為什么有0.25個(gè)人？每戶不到4人，你有什么想說的？已退休多年的李老師今年78歲，看到這則新聞很焦慮，你猜猜他是怎么想的？你會(huì)如何解釋呢？【設(shè)計(jì)意圖】計(jì)算人的個(gè)數(shù)時(shí)應(yīng)取整數(shù)，這里出現(xiàn)了0.25個(gè)人，也就是說平均數(shù)并不一定是現(xiàn)實(shí)中具體的某個(gè)數(shù)。消除李老師的焦慮可以從平均數(shù)的區(qū)間性來解釋，在這個(gè)過程中可以使學(xué)生進(jìn)一步感受平均數(shù)的意義和價(jià)值。（三）比賽中的平均數(shù)教師提出問題：讀書節(jié)朗誦比賽中邀請(qǐng)了5名家長作評(píng)委，表2中是四年級(jí)一班的成績，請(qǐng)你先去掉最高分和最低分，然后算一算，四年級(jí)一班在這次比賽中的平均分是多少？【設(shè)計(jì)意圖】在生活中常見的比賽計(jì)分情境中，通過去掉最高分和最低分，可降低極端數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響，增強(qiáng)學(xué)生解決問題的能力，提高應(yīng)用意識(shí)。（四）平均數(shù)的局限性圖2統(tǒng)計(jì)的是一個(gè)公司員工的工資情況，你能用手勢比畫一下這個(gè)公司員工的平均工資