2024-2025學年新教材高中數(shù)學第三章空間向量與立體幾何3.1.2空間兩點間的距離公式課后素養(yǎng)落實含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE課后素養(yǎng)落實(十九)空間兩點間的距離公式(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，則()A．|AB|＞|CD| B．|AB|＜|CD|C．|AB|≤|CD| D．|AB|≥|CD|D[∵|AB|＝eq\r(1－32＋2－32＋3－m2)＝eq\r(5＋3－m2)≥eq\r(5)，|CD|＝eq\r(0－22＋－1＋12＋0＋12)＝eq\r(5)，∴|AB|≥|CD|．]2．如圖，在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′，A′C的中點E與AB的中點F的距離為()A．eq\r(2)aB．eq\f(\r(2),2)aC．a(chǎn)D．eq\f(1,2)a[答案]B3．已知三角形的三個頂點A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，則△ABC的中線AD的長為()A．eq\r(11)B．2eq\r(11)C．11eq\r(2)D．3eq\r(11)B[由中點坐標公式得，D(4，1，－2)，所以AD＝eq\r((4－2)2＋[1－(－1)]2＋(－2－4)2)＝2eq\r(11)．]4．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)兩點，當|AB|取最小值時，x的值為()A．19B．－eq\f(8,7)C．eq\f(8,7)D．eq\f(19,14)C[∵|AB|＝eq\r(x－12＋5－x－x－22＋2x－1－2＋x2)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))\s\up12(2)＋\f(5,7))．∴當x＝eq\f(8,7)時，|AB|取得最小值．]5．設點P在x軸上，它到P1(0，eq\r(2)，3)的距離為到點P2(0，1，－1)的距離的兩倍，則點P的坐標為()A．(1，0，0) B．(－1，0，0)C．(1，0，0)或(0，－1，0) D．(1，0，0)或(－1，0，0)D[∵點P在x軸上，∴設點P(x，0，0)，由題意|PP1|＝2|PP2|，∴eq\r(x－02＋0－\r(2)2＋0－32)＝2eq\r(x－02＋0－12＋0＋12)，解得x＝±1．]二、填空題6．空間直角坐標系中，點A(－3，4，0)和B(2，－1，6)的距離是_______．eq\r(86)[|AB|＝eq\r(－3－22＋4＋12＋0－62)＝eq\r(86)．]7．已知A(1，1，1)，B(3，3，3)，點P在y軸上且|PA|＝|PB|，則P點坐標為________．(0，6，0)[設P(0，y，0)，∵|PA|＝|PB|，∴eq\r(1＋1－y2＋1)＝eq\r(32＋3－y2＋32)，解得y＝6．∴P點坐標為(0，6，0)．]8．已知A(3，5，－7)和點B(－2，4，3)，則線段AB在坐標平面yOz上的射影長度為________．eq\r(101)[∵A(3，5，－7)在平面yOz上的射影為A′(0，5，－7)，B(－2，4，3)在平面yOz上的射影為B′(0，4，3)，∴|A′B′|＝eq\r(0－02＋5－42＋－7－32)＝eq\r(101)．]三、解答題9．如圖，在棱長分別為2，4，3的長方體ABCD-A1B1C1D1中，利用空間兩點間的距離公式，求對角線AD1，AB1和AC1的長．[解]以D為坐標原點，DA，DC和DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．則D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)，∴|AD1|＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，|AB1|＝eq\r(2－22＋42＋32)＝5，|AC1|＝eq\r(2－02＋－42＋－32)＝eq\r(29)．10．求點M(4，－3，5)到x軸的距離．[解]設MH⊥x軸于H，則Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，0，0))，所以點M到x軸的距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MH))＝eq\r((4－4)2＋(－3－0)2＋(5－0)2)＝eq\r(34)．11．已知三點A(－4，－1，－9)，B(－10，1，－6)，C(－2，－4，－3)，則()A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．三點構不成三角形C[因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))2＝49，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))2＝98，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CA))2＝49，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CA))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))2，且|AB|＝|CA|，所以這三點構成等腰直角三角形．]12．已知A(－4，2，3)關于xOz平面的對稱點為A1，A1關于z軸的對稱點為A2，則|AA2|等于()A．8B．12C．16D．19A[依題意A1(－4，－2，3)，A2(4，2，3)，所以|AA2|＝eq\r(－4－42＋2－22＋3－32)＝8．]13．(多選題)在空間直角坐標系中，下列說法正確的是()A．方程z＝0表示坐標平面xOyB．方程x2＋y2＋z2＝1表示以坐標原點為球心，1為半徑的球面C．方程x2＋y2＝1表示以坐標原點為圓心，1為半徑的面D．方程x2＋y2＝0表示z軸[答案]ABD14．(一題兩空)點P(x，y，z)的坐標滿意x2＋y2＋z2＝1，點A(－2，3，eq\r(3))，則|PA|的最小值是________，|PA|的最大值是________．35[因為x2＋y2＋z2＝1在空間中表示以坐標原點O為球心、1為半徑的球面，|OA|＝eq\r(－22＋32＋\r(3)2)＝4．所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))min＝|OA|－|OP|＝4－1＝3，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))max＝|OA|＋|OP|＝4＋1＝5．]15．已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為3，G是PD的中點，求|BG|．[解]∵正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為3，∴正四棱錐的高為1．以正四棱錐的底面中心為原點，平行于AB，BC所在的直線分別為y軸、x軸，建立如圖所示的空間直