2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題3.10函數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解含解析

專(zhuān)題3.10《函數(shù)》單元測(cè)試卷一、單選題1．（2024·遷西縣第一中學(xué)高二期中）冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則是（）A．偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)【答案】D【解析】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，.故，因?yàn)椋詾榉瞧娣桥己瘮?shù)，且在上是增函數(shù).故選：D2．（2024·祿勸彝族苗族自治縣第一中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)則的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】由已知．故選：D．3．（2024·哈爾濱市第一中學(xué)校高二期中（文））函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．R B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，，函數(shù)的值域?yàn)榧?故選：D.4．（2024·山西省太原五中高三其他（文））函數(shù)（）的圖象大致形態(tài)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，解除B、D；x＞0時(shí)，f（x）＝logax（0＜a＜1）是單調(diào)減函數(shù)，解除A．故選C．5．（2024·內(nèi)蒙古自治區(qū)集寧一中高二月考（理））設(shè)函數(shù)則滿意的的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，，解得所以當(dāng)時(shí)，，解得：所以：，綜上可知不等式的解集是.故選：D6．（2024·祿勸彝族苗族自治縣第一中學(xué)高一期中）已知，，，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選C.7．（2024·黑龍江省大慶一中高三三模（理））設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意知，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，由，可得，故選:C.8．（2024·黑龍江省哈爾濱三中高三其他（理））中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是聞名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽視不計(jì).依據(jù)香農(nóng)公式，若不變更帶寬，而將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（）附：A．10% B．20% C．50% D．100%【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗詫⑿旁氡葟?000提升至4000，則大約增加了20%故選：B9．（2024·哈爾濱市第一中學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，．由得或，解得或，即．所以不等式的解集為.故選：A.10．（2024·黑龍江省大慶一中高三三模（理））已知函數(shù)若方程恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖中實(shí)線部分所示，方程恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，而是斜率為，過(guò)定點(diǎn)的直線，如圖，當(dāng)直線與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，，可得，解得，斜率為當(dāng)直線過(guò)（0，0）時(shí)，斜率為，所以當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn).故選：B.二、多選題11．（2024·海南省高三其他）若，，則（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由，，得，，則，，，故正確的有：故選：.12．（2024·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在上是減函數(shù)，那么（）A．在上遞增且無(wú)最大值 B．在上遞減且無(wú)最小值C．在定義域內(nèi)是偶函數(shù) D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)E.，滿意在上是減函數(shù)【答案】ADE【解析】由得，函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，D正確；因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，所以E正確；由上述分析知在上遞增且無(wú)最大值，A正確，B錯(cuò)誤；又，所以C錯(cuò)誤，故選：ADE.13．（2024·海南省高一期末）已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，若在上的最大值為8，則D．當(dāng)時(shí)，若在上的最大值為8，則【答案】ACD【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程的判別式，所以函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，A正確；因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，且圖象開(kāi)口向上，所以在上單調(diào)遞增，B不正確；令，則.當(dāng)時(shí)，，故在上先減后增，又，故最大值為，解得（負(fù)值舍去）.同理當(dāng)時(shí)，，在上的最大值為，解得（負(fù)值舍去）.故C，D正確.故選：ACD．14．（2024·湖南省寧鄉(xiāng)一中高一開(kāi)學(xué)考試）定義運(yùn)算，設(shè)函數(shù)，則下列命題正確的有（）A．的值域?yàn)锽．的值域?yàn)镃．不等式成立的范圍是D．不等式成立的范圍是【答案】AC【解析】由函數(shù)，有,即，作出函數(shù)的圖像如下，依據(jù)函數(shù)圖像有的值域?yàn)?，若不等式成立，由函?shù)圖像有當(dāng)即時(shí)成立，當(dāng)即時(shí)也成立.所以不等式成立時(shí)，.故選：AC.三、填空題15．（2024·祿勸彝族苗族自治縣第一中學(xué)高一期中）函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】由，解得．故函數(shù)的定義域是．故答案為：．點(diǎn)睛：一般地，函數(shù)的定義域須從四個(gè)方面考慮：（1）分母不為零；（2）偶次根號(hào)下非負(fù)；（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零的零次冪沒(méi)有意義.16．（2024·甘肅省蘭州一中高三一模（理））黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個(gè)特別函數(shù)，由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)覺(jué)并提出，黎曼函數(shù)定義在上，其定義為：，若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】【解析】由知：關(guān)于對(duì)稱(chēng)又為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)為周期函數(shù)，周期故答案為：17．（2024·衡水市第十三中學(xué)高一月考）某學(xué)校確定對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒，依據(jù)藥學(xué)原理，從藥物釋放起先，每立方米空氣中的含藥量毫克與時(shí)間小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系式為據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室學(xué)習(xí).那么從藥物釋放起先，至少須要經(jīng)過(guò)____________小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，但是隨著時(shí)間的增加，室內(nèi)的含藥量也在增加，所以此時(shí)學(xué)生不能回到教室，所以有，至少需小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室.故答案為：18．（2024·浙江省高二期末）十六、十七世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，約翰·納皮爾正是在探討天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化其中的計(jì)算而獨(dú)創(chuàng)了對(duì)數(shù)，后來(lái)天才數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺(jué)了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即．現(xiàn)已知，則________，________【答案】1【解析】，，；.故答案為：；119．（2024·哈爾濱市第一中學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知函數(shù)，則__________，函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_________.【答案】【解析】時(shí),∴,當(dāng)時(shí),依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，)的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是,∴函數(shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋海?0．（2024·邢臺(tái)市其次中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷(xiāo)售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷(xiāo)量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷(xiāo)：一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付勝利后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒，須要支付__________元；②在促銷(xiāo)活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷(xiāo)前總價(jià)的七折，則x的最大值為_(kāi)_________．【答案】130.15.【解析】(1),顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各一盒,須要支付元.(2)設(shè)顧客一次購(gòu)買(mǎi)水果的促銷(xiāo)前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.21．（2024·遷西縣第一中學(xué)高二期中）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是________；的值域是________．【答案】【解析】函數(shù)的定義域滿意，得所以函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)，由是單調(diào)遞減函數(shù).由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，即求的減區(qū)間.由二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減.又當(dāng)時(shí)，由是單調(diào)遞減，所以所以的值域是故答案為：；四、解答題22．（2024·內(nèi)蒙古自治區(qū)集寧一中高二月考（理））不用計(jì)算器求下列各式的值（1）；（2）．【答案】（1）-1（2）5【解析】（1）原式．（2）原式．23．（2024·祿勸彝族苗族自治縣第一中學(xué)高一期中）經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,某種小家電在過(guò)去天的銷(xiāo)售量(臺(tái))和價(jià)格(元)均為銷(xiāo)售時(shí)間(天)的函數(shù),且銷(xiāo)售量近似地滿意.前天價(jià)格為；后天價(jià)格為.(Ⅰ)寫(xiě)出該種商品的日銷(xiāo)售額(元)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系；(Ⅱ)求日銷(xiāo)售額(元)的最大值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)6400.【解析】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由題知；當(dāng)時(shí),由題知所以日銷(xiāo)售額與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),元；當(dāng)時(shí),是減函數(shù)，當(dāng)時(shí),元.因?yàn)?則的最大值為元.24．（2024·新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市第70中高一期末）已知：，不等式的解集是.（1）求的解析式；（2）若對(duì)于隨意的，則不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），不等式的解集是，可得和是方程的兩根，即有，，解得，，所以.（2）對(duì)于隨意的，則不等式恒成立，即為在的最大值，由的對(duì)稱(chēng)軸，且，，可得的最大值為5，即有，解得，則的取值范圍為.25．（2024·吉林省高一期末（理））節(jié)約資源和愛(ài)護(hù)環(huán)境是中國(guó)的基本國(guó)策.某化工企業(yè),主動(dòng)響應(yīng)國(guó)家要求,探究改良工藝,使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量漸漸削減.已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為,首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為.設(shè)改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為,首次改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為,則第n次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量,可由函數(shù)模型給出,其中n是指改良工藝的次數(shù).（1）試求改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型;（2）依據(jù)國(guó)家環(huán)保要求,企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過(guò),試問(wèn)至少進(jìn)行多少次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo).（參考數(shù)據(jù):取）【答案】（1）（2）6次【解析】（1）由題意得,,所以當(dāng)時(shí),,即,解得,所以,故改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型為.（2）由題意可得,,整理得,,即,兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù),得,整理得,將代入,得,又因?yàn)?所以.綜上,至少進(jìn)行6次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo).26．（2024·哈爾濱市第一中學(xué)校高二期中（文））（1）解不等式；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值為.【解析】（1），，解得，不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則函數(shù)，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最小值為；當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最大值為.27．（2024·江蘇省天一中學(xué)高三其他）設(shè)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，（1）當(dāng)時(shí)，求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，試求的表達(dá)式；（3）若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，且它們成等差數(shù)列，摸索求與滿意的條件．【答案】（1）；（2）；（3）與滿意的條件為且，或且，或且.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，同理，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，的解析式為（2）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以它在區(qū)間上的最大值即為它在區(qū)間上的最大值，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以②當(dāng)時(shí)，在與上單調(diào)遞增，在與上