統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學一輪復習第1章集合常用邏輯用語不等式第1節(jié)集合教師用書教案北師大版

PAGE第一章集合、常用邏輯用語、不等式全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式本章在高考中一般考查2～4個小題，選擇題、填空題均可能出現(xiàn)．2.考查內(nèi)容從考查內(nèi)容看，集合主要考查兩個方面：一是集合的概念及表示；二是集合的基本運算．常用邏輯用語主要從四個方面考查，分別為命題及其關系、充分必要條件的推斷、邏輯聯(lián)結詞“或”“且”“非”以及全稱量詞與存在量詞．不等式主要考查一元二次不等式的解法和簡潔的線性規(guī)劃問題.集合[考試要求]1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的詳細問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在詳細情境中，了解全集與空集的含義.3.(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡潔集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．(3)能運用Venn圖表達集合間的基本關系及集合的基本運算．1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈和?表示．(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2．集合間的基本關系關系自然語言符號語言Venn圖子集集合A中全部元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)A?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中AB或BA集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集A＝B提示：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運算運算自然語言符號語言Venn圖交集由屬于集合A且屬于集合B的全部元素組成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由全部屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}補集由全集U中不屬于集合A的全部元素組成的集合?UA＝{x|x∈U且x?A}eq\a\vs4\al([常用結論])(1)對于有限集合A，其元素個數(shù)為n，則集合A的子集個數(shù)為2n，真子集個數(shù)為2n－1，非空真子集個數(shù)為2n－2.(2)A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B.一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)任何一個集合都至少有兩個子集．()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.()(4)直線y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點組成的集合是{1,4}．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材習題衍生1．若集合A＝{x∈N|x≤eq\r(2021)}，a＝2eq\r(2)，則下列結論正確的是()A．{a}?A B．a(chǎn)?AC．{a}∈A D．a(chǎn)?AD[a＝2eq\r(2)?N，則a?A，故選D.]2．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，則A∩B＝________，A∪B＝________.(－2,1)(－∞，3)[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]3．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是銳角}，B＝{x|x是鈍角}，則?U(A∪B)＝________.[答案]{x|x是直角}4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，則集合M∪N的子集的個數(shù)為________．64[∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，∴M∪N的子集有26＝64個．]考點一集合的含義與表示解決與集合中的元素有關問題的一般思路1．(2024·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為()A．9B．8C．5D．4A[由x2＋y2≤3知，－eq\r(3)≤x≤eq\r(3)，－eq\r(3)≤y≤eq\r(3).又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的個數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝9，故選A.]2．已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，則a2021＋b2021＝________.－1[由已知得a≠0，則eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又依據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應舍去，因此a＝－1，故a2021＋b2021＝(－1)2021＋02021＝－1.]3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝________.0或eq\f(9,8)[當a＝0時，明顯成立；當a≠0時，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝eq\f(9,8).]考點二集合間的基本關系推斷集合關系的三種方法[典例1](1)已知集合A＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，則()A．AB B．BAC．A?B D．B＝A(2)(2024·武漢模擬)集合{x|－1＜x＜3，x∈N*}的非空子集個數(shù)為()A．3 B．4C．7 D．8(3)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍為________．(1)B(2)A(3)(－∞，2][(1)由1－x2≥0得－1≤x≤1，則A＝{x|－1≤x≤1}，由－1≤m≤1得0≤m2≤1，則B＝{x|0≤x≤1}，所以BA，故選B.(2){x|－1＜x＜3，x∈N*}＝{1,2}，其非空子集個數(shù)為3，故選A.(3)A＝{x|－1＜x＜3}．①若B＝?，滿意B?A，此時2－a≥1＋a，即a≤eq\f(1,2).②若B≠?，由B?A得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a＜1＋a,2－a≥－1,1＋a≤3))，解得eq\f(1,2)＜a≤2.由①②知a的取值范圍為(－∞，2]．]點評：(1)已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)所滿意的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．(2)空集是任何集合的子集，當題目條件中有B?A時，應分B＝?和B≠?兩種狀況探討，確定參數(shù)所滿意的條件時，肯定要把端點值代入驗證，否則易增解或漏解．eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．(2024·北京模擬)已知集合M＝{x∈R|x≥0}，N?M，則在下列集合中符合條件的集合N可能是()A．{0,1} B．{x|x2＝1}C．{x|x2＞0} D．RA[因為0∈M,1∈M，所以{0,1}?M，故選A.]2．若集合A＝{1，m}，B＝{m2，m＋1}，且A＝B，則m＝()A．0 B．1C．±1 D．0或1A[由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1＝1,m2＝m，))解得m＝0，故選A.]考點三集合的基本運算集合運算三步驟集合的交、并、補運算[典例2－1](1)(2024·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．6(2)設集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，則A∪B等于()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)(3)(2024·衡水中學模擬)已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2＋2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg(x－1)}，則陰影部分所示集合為()A．[1,2] B．(1,2)C．(1,2] D．[1,2)(1)C(2)C(3)B[(1)由題意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的個數(shù)為4，選C.(2)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故選C.(3)由Venn圖可知，陰影部分所示集合為B∩(?UA)．又A＝{y|y＝x2＋2，x∈R}＝[2，＋∞)．∴?UA＝(－∞，2)．又B＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x＞1}．∴B∩(?UA)＝(1,2)．故選B.]點評：集合運算的常用方法(1)若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解．(2)若集合中的元素是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要留意端點是實心還是空心．依據(jù)集合的運算結果求參數(shù)[典例2－2](1)(2024·全國卷Ⅰ)設集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，則a＝()A．－4 B．－2C．2 D．4(2)(2024·秦皇島模擬)若集合A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，則實數(shù)aA．[2，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) D．(－∞，2](1)B(2)C[(1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2)))))，因為A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－eq\f(a,2)＝1，解得a＝－2.故選B.(2)B＝{x|x≥a或x≤a－1}，由A∪B＝R得3－2a≤a－1，解得a≥eq\f(4,3)，故選C.]eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．(2024·天津高考)設集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，則(A∩C)∪B＝()A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}D[由題意可知A∩C＝{1,2}，則(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}，故選D.]2．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，則()A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝?A[B＝{x|3x＜1}＝