第十章　計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第一節(jié)　兩個計數(shù)原理、排列與組合 2025年高考數(shù)學一輪復習基礎(chǔ)知識隨堂練

計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第一節(jié)兩個計數(shù)原理、排列與組合1．為響應(yīng)國家“節(jié)約糧食”的號召，某同學決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為今日伙食，并在用餐時積極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法有()A．48種 B．36種C．24種 D．12種2．(數(shù)學與文化)如圖，古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出形狀相同的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有個陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律．由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個頂點中任意選出4個構(gòu)成四邊形，其中梯形的個數(shù)為()A．8 B．16C．24 D．323．(2024·聊城模擬)新高考數(shù)學中的不定項選擇題有4個不同選項，其錯誤選項可能有0個、1個或2個，這種題型很好地凸顯了“強調(diào)在深刻理解基礎(chǔ)之上的融會貫通、靈活運用，促進學生掌握原理、內(nèi)化方法、舉一反三”的教考銜接要求．若某道數(shù)學不定項選擇題存在錯誤選項，且錯誤選項不能相鄰，則符合要求的4個不同選項的排列方式共有()A．24種 B．36種C．48種 D．60種4．(多選題)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別記作a，b，則下列說法正確的有()A．baB．ba表示不同的比1小的數(shù)的個數(shù)是C．(a，b)表示x軸上方不同的點的個數(shù)是6D．(a，b)表示y軸右側(cè)不同的點的個數(shù)是65．下列各式中正確的個數(shù)為()①Cnm＝Anmm??；②Anm＝A．1 B．2C．3 D．46．(2024·本溪模擬)e作為數(shù)學常數(shù)，它的一個定義是e＝limx→+∞1+17．某社區(qū)將招募的5名志愿者分成兩組，分別擔任白天和夜間的網(wǎng)格員，要求每組至少兩人，則不同的分配方法種數(shù)為________.8．有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門學科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔任語文課代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔任數(shù)學課代表；(4)某女生一定要擔任語文課代表，某男生必須擔任課代表，但不擔任數(shù)學課代表．9．甲、乙、丙三位教師指導五名學生a，b，c，d，e參加全國高中數(shù)學聯(lián)賽，每位教師至少指導一名學生．(1)若每位教師至多指導兩名學生，求共有多少種分配方案；(2)若教師甲只指導其中一名學生，求共有多少種分配方案．高考訓練10．(新情境)魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達佩斯理工大學建筑學院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機械益智玩具．魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風靡程度經(jīng)久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．已知經(jīng)典三階魔方(如圖)自由轉(zhuǎn)動之后的色塊組合約有4.3×1019種，現(xiàn)將下圖已還原的魔方按5步打亂，且每一步互相獨立，則打亂方式有()A．A185種C．185種 D．195種11．(2024·日照模擬)某人從一層到二層需跨10級臺階，他一步可能跨1級臺階，稱為一階步；也可能跨2級臺階，稱為二階步；最多能跨3級臺階，稱為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有()A．10種 B．9種C．8種 D．12種12．(多選題)現(xiàn)有3名男生和4名女生，在下列不同條件下進行排列，則()A．排成前后兩排，前排3人后排4人的排法共有5400種B．全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾的排法共有3600種C．全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有576種D．全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有1440種13．甲、乙、丙等七人相約到電影院看電影，恰好買到了七張連號的電影票．若甲、乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同坐法的種數(shù)為________.14．(數(shù)學與文化)七巧板是我國古代勞動人民智慧的結(jié)晶．如圖是某同學用木板制作的七巧板，它包括五個等腰直角三角形、一個正方形和一個平行四邊形．若用4種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有______種．15．(1)將編號為1，2，3，4的四個小球放入編號為1，2，3的三個盒子．把球全部放入盒內(nèi)，共有多少種放法？(2)將編號為1，2，3，4，5的五個小球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子，每個盒子放一個小球，若有且只有1個盒子的編號與放入小球的編號相同，有多少種不同的放法？(3)將11個相同的小球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中．若要求每個盒子至少放1個小球，有多少種不同的放法？16．已知從1，3，5，7，9中任取兩個數(shù)，從0，2，4，6，8中任取兩個數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)．(1)可以組成多少個不含有數(shù)字0的四位數(shù)？(2)可以組成多少個四位偶數(shù)？(3)可以組成多少個兩個奇數(shù)數(shù)字相鄰的四位數(shù)？(所有結(jié)果均用數(shù)值表示)答案解析1、B解析：由題意可知，分三步完成：第一步，從2種主食中任選1種有2種選法；第二步，從3種素菜中任選1種有3種選法；第三步，從6種葷菜中任選1種有6種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有2×3×6＝36(種)不同的選取方法．故選B．2、C解析：梯形的上、下底平行且不相等，如圖．若以AB為底邊，則可構(gòu)成2個梯形，根據(jù)對稱性可知此類梯形有16個；若以AC為底邊，則可構(gòu)成1個梯形，此類梯形共有8個．所以梯形的個數(shù)為16＋8＝24.故選C．3、B解析：當錯誤選項恰有1個時，4個選項進行排列有A44＝24(種)排列方式；當錯誤選項恰有2個時，先排2個正確選項，再將2個錯誤選項插入到3個空位中，有A24、BC解析：對于A，若a，b均為正，共有2×2＝4(個)，若a，b均為負，共有1×2＝2(個)，但63＝－4－2，所以共有5個，所以A錯誤；對于B，若ba為正，顯然均比1大，所以只需ba為負即可，共有2×2＋1×2＝6(個)，所以B正確；對于C，要使(a，b)表示x軸上方的點，只需b為正即可，共有3×2＝6(個)，所以C正確；對于D，要使(a，5、D解析：對于①，因為Cnm＝對于②，Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，An－1m－1＝(n－1)(n所以Anm＝對于③，CnmCnm+1對于④，Cn+1m+1＝n+1！m6、36解析：第一步：對除去2以外的3個數(shù)字進行全排列，有A33＝6(種)方法；第二步：將兩個2選兩個空插進去有C47、20解析：由兩人擔任白天網(wǎng)格員有C52種分配方法，由三人擔任白天網(wǎng)格員有C53種分配方法，所以共有C58、解：(1)先選后排，可以是2女3男，也可以是1女4男，先選有C32C53＋C31(2)除去該女生后，先選后排，則符合條件的選法數(shù)為C7(3)先選后排，但先安排該男生，則符合條件的選法數(shù)為C7(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有C63種情況，再安排該男生有C31種情況，選出的3人全排列有9、解：(1)根據(jù)題意，分兩步進行分析：①將五名學生分成三組，人數(shù)分別為2，2，1，有C5②將分好的三組全排列，安排給三位教師，有A3所以共有15×6＝90(種)分配方案．(2)根據(jù)題意，分兩步進行分析：①從五名學生任選一名學生分配給甲教師指導，有5種情況；②剩下四名學生分成兩組，安排給其余兩位教師指導，有C4所以共有5×14＝70(種)分配方案．10、C解析：若以紅色的一面為正面，分成三行三列，每一行可以左右旋轉(zhuǎn)，每一列可以上下旋轉(zhuǎn)，此時有3×2＋3×2＝12(種)旋轉(zhuǎn)方式；接著側(cè)面(以綠色一面為例)，每一列都可以上下旋轉(zhuǎn)，此時有3×2＝6(種)旋轉(zhuǎn)方式，故每一次旋轉(zhuǎn)魔方，共有12＋6＝18(種)旋轉(zhuǎn)方式．所以按5步打亂，且每一步互相獨立，則共有185種打亂方式．故選C．11、A解析：按題意要求，不難驗證這6步中不可能沒有三階步，也不可能有多于1個的三階步，因此，只能是1個三階步，2個二階步，3個一階步．為形象起見，以白、黑、紅三種顏色的球來記錄從一層到二層跨越10級臺階的過程：白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步，該過程可表示為3個白球、2個黑球、1個紅球的一種同色球不相鄰的排列．下面分三種情形討論：(1)若第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側(cè)，此時，共有4個黑、白球之間的空位放置紅球，所以此種情況共有4種不同的排列．(2)若第1球不是白球，①若第1球為紅球，則余下5球只有1種可能的排列；②若第1球為黑球，則余下5球因紅、黑球的位置不同有2種不同的排列，此種情形共有3種不同排列．(3)第6球不是白球，同(2)，共有3種不同的排列．綜上，按題意要求從一層到二層共有4＋3＋3＝10(種)可能的不同走法．故選A．12、BCD解析：對于A，將7名學生排成前后兩排，前排3人后排4人的排法，有C7對于B，甲不站排頭也不站排尾，有5個位置可選擇，將剩下的6人全排列，有A66種排法，則有5×對于C，將4名女生看成一個整體，有A44種排法，將這個整體與3名男生全排列，有A44對于D，先排4名女生，有A44種排法，排好后有5個空位，在5個人空位中任選3個，安排3名男生，有A513、192解析：由題知，丙坐在正中間(4號位)，甲、乙兩人只能坐12或23或56或67號位，有4種情況，且甲、乙的順序有A22種情況，剩下的4個位置其余4人坐，有A414、72解析：將七巧板的七個板塊標號，如圖．由題意，一共4種顏色，板塊A需單獨一色，剩下6個板塊中每2個板塊涂同一種顏色．又板塊B，C，D兩兩有公共邊不能同色，故板塊A，B，C，D必定涂不同顏色．①當板塊E與板塊C同色時，則板塊F，G與板塊B，D或板塊D，B分別同色，共2種情況；②當板塊E與板塊B同色時，則板塊F只能與D同色，板塊G只能與C同色，共1種情況．又板塊A，B，C，D顏色可全排列，故不同的涂色方案共有(2+1)×A415、解：(1)滿足條件的放法可分為4步，第一步放1號球，第二步放2號球，第三步放3號球，第四步放4號球，每步都有3種放法．由分步乘法計數(shù)原理，可得滿足條件的放法有3×3×3×3＝81(種)．(2)滿足條件的放法可分為三步，第一步，從五個球中任選一個球x將其放在與其編號相同的盒子中，有5種放法；第二步，從余下的四個球中任選一個球y，放入編號為z(z≠y)的盒子中，有3種放法；第三步，將編號為z的小球放入余下的某一盒子中，有3種放法；第四步，將余下的兩個小球按要求放入余下的盒子中，有1種放法．由分步乘法計數(shù)原理，可得共有5×3×3×1＝45(種)放法．(3)將11個相同的小球排成一排，在排列的兩端各放置1塊隔板，在