2016-2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標ⅲ）（含解析版）A4

2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)(新課標m)

一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.(5分)設集合S={x1(x-2)(x-3)Io},T={x|x>0},則SCT=()

A.[2,3]B.(-8,2]U[3,+8)

C.[3,+8)D.(0,2]U[3,+8)

2.(5分)若z=l+2i,則_iL-=()

zT

A.1B.-1C.iD.-i

3.(5分)已知向量誣=(1乎)，BC=嗎,1),則NABC=()

A.30°B,45°C,60°D,120°

4.(5分)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最

高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖，圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為

15℃,B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃,下面敘述不正確的是()

——平均最低氣潟-----平均最高氣溫

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D,平均最高氣溫高于20C的月份有5個

5.（5分）若tana=—,貝cos2a+2sin2a二（

4

AWB.望C,1

2525

2_

6.（5分）已知合二?？，C=25，，則（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

7.（5分）執(zhí)行如圖程序框圖，如果輸入的a=4,b=6,那么輸出的n=（

A.3B,4C.5D.6

（5分）在"BC中,B=2L,BC邊上的高等于LBC,則cosA等于（

43

ABVioc..叵D.-3V

,101010

9.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三

視圖，則該多面體的表面積為（）

第2頁（共233頁）

///

/

/

////

第3頁（共233頁）

A.18+36遂B.54+18泥C.90D.81

10.（5分）在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB±BC,

AB=6,BC=8,AAi=3,則V的最大值是（）

A.4nB.C.6nD.3271

23

22

11.（5分）已知。為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：%+4=1（a>b>0）的左焦點，

a2b2

A,B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF，x軸，過點A的直線I

與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的

離心率為（）

A.1B.1C.2D.1

3234

12.（5分）定義“規(guī)范01數(shù)列”｛an｝如下：屈｝共有2m項，其中m項為0,m

項為且對任意，…，中的個數(shù)不少于的個數(shù),若

1,k<2m,ai,a2ak01m=4,

則不同的“規(guī)范01數(shù)列"共有（）

A.18個B.16個C.14個D.12個

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

x-y+1^0

13.（5分）若x,y滿足約束條件x-2y<0,則z=x+y的最大值為.

x+2y-240

14.（5分）函數(shù)y=sinx-?cosx的圖象可由函數(shù)丫=5加+、痣85*的圖象至少向右

第3頁（共233頁）

平移個單位長度得到.

15.(5分)已知f(x)為偶函數(shù),當x<0時，f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=f

(x)在點(1,-3)處的切線方程是.

16.(5分)已知直線I：mx+y+3m-仔0與圓x2+y2

第4頁(共233頁)

=12交于A,B兩點，過A,B分別作I的垂線與x軸交于C,D兩點，若|AB1=2?,

則ICD|=.

三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（12分）已知數(shù)列｛aj的前n項和Sn=l+Xan,其中入W0.

（1）證明匕力是等比數(shù)列，并求其通項公式；

（2）若Ss=—,求人.

32

18.（12分）如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）

的折線圖.

注：年份代碼1-7分別對應年份2008-2014.

（工）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以

證明；

（H）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,預測2016年我國生活垃圾

無害化處理量.

附注：

7Tn1~

參考數(shù)據(jù)：￡y=9.32,￡tiyi=40.17,（y_y）2=0.55,折心2.646.

i=li=lVi=l1

第4頁（共233頁）

￡（t-t）仇-曠）

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=|；口n，

22

、忙（ti-7）r（yx-?）

Vi=li=l

回歸方程十W+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

第5頁（共233頁）

￡（t「t）仇-y）

z*sj=[z*s

b=n,a=y-bt.

產(chǎn)

￡（t1G

i=l

年

生

活

垃

圾

無

害

化

處

理

量

y

19.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA,底面ABCD,AD〃BC,AB=AD=AC=3,

PA=BC=4,M為線段AD上一點，AM=2MD,N為PC的中點.

（1）證明：MN〃平面PAB；

（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

B

第5頁（共233頁）

第6頁（共233頁）

20.（12分）已知拋物線C：y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線匕b分

別交C于A,B兩點，交C的準線于P,Q兩點.

（工）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR〃FQ；

（H）若△PQF的面積是4ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.

21.(12分)設函數(shù)f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,記|f(x)

的最大值為A.

(工)求f，(x)；

(卬求A；

(田)證明"f'(x)2A.

第6頁（共233頁）

第7頁（共233頁）

請考生在第22-24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分.［選修

4-1:幾何證明選講］

22.(10分)如圖，。。中篇的中點為P,弦PC,PD分別交AB于E,F兩點.

(1)若NPFB=2NPCD,求NPCD的大??；

(2)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G,證明：OG±CD.

［選修4-4:坐標系與參數(shù)方程］

23.在直角坐標系xOy中，曲線J的參數(shù)方程為［x:acos。(a為參數(shù))，以

(y=sinCI

坐標原點為極點，以X軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標

方程為psin(e+2L)=272.

4

(1)寫出Cl的普通方程和C2的直角坐標方程；

(2)設點P在G上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.

第7頁(共233頁)

第8頁（共233頁）

［選修4-5:不等式選講］

24.已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.

(1)當a=2時,求不等式f(x)W6的解集;

(2)設函數(shù)g(x)=|2x-l|,當xGR時，f(x)+g(x)>3,求a的取值范圍.

第8頁(共233頁)

2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)(新課標m)

參考答案與試題解析

一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.(5分)設集合S={x[(x-2)(x-3)20},T={x|x>0},則SCT=()

A.[2,3]B.(-8,2]U[3,+8)C.[3,+°°)

D.(0,2]U[3,+8)

【考點】IE：交集及其運算.

【專題】37：集合思想；40：定義法；5J：集合.

【分析】求出S中不等式的解集確定出S,找出S與T的交集即可.

【解答】解：由S中不等式解得：xW2或x23,即S=(-8,2]U[3,+8),

???T=(0,+8),

/.snT=(0,2]U[3,+8),

故選：D.

【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.(5分)若z=l+2i,則―雪—=()

Z*Z-1

A.1B.-1C.iD.-i

【考點】A5：復數(shù)的運算.

第9頁(共233頁)

【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；5N：數(shù)系的擴充和復數(shù).

【分析】利用復數(shù)的乘法運算法則，化簡求解即可.

【解答】解：z=l+2i,則父-算=g=i

zz-1(l+2i)(l-2i)-l5-1

第10頁（共233頁）

故選：c.

【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式混合運算，考查計算能力.

3.（5分）已知向量以=（1,乎），BC=嗎,1）,則NABC=（）：

A.30°B,45°C,60°D,120°

【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角.

【專題】11：計算題；41：向量法；49：綜合法；5A：平面向量及應用.

【分析】根據(jù)向量以，菽的坐標便可求出瓦?瓦及國麻仲勺直從而根

據(jù)向量夾角余弦公式即可求出cosZABC的直根據(jù)NABC的范圍便可得出N

ABC的值.

【解劄解：就辰奪呼考，I就日正占；

,,cosZABC-

IBA11BC1-2'

又0°<ZABC<180°；

ZABC=30°.

故選：A.

【點評】考查向量數(shù)量積的坐標運算，根據(jù)向量坐標求向量長度的方法，以及向

量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍，已知三角函數(shù)值求角.

4.（5分）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最

高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖，圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為

15℃,B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃,下面敘述不正確的是（）

第10頁（共233頁）

——平均最低氣溫-----平均最高氣溫

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個

【考點】F4：進行簡單的合情推理.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4A：數(shù)學模型法；5M：推理和證明.

【分析】根據(jù)平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖進行推理判斷即可.

【解答】解：A.由雷達圖知各月的平均最低氣溫都在0℃以上，正確

B.七月的平均溫差大約在10°左右，一月的平均溫差在5。左右，故七月的平均

溫差比一月的平均溫差大，正確

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同，都為10。，正確

D.平均最高氣溫高于20℃的月份有7,8兩個月，故D錯誤，

故選：D.

【點評】本題主要考查推理和證明的應用，根據(jù)平均最高氣溫和平均最低氣溫的

第11頁（共233頁）

雷達圖，利用圖象法進行判斷是解決本題的關(guān)鍵.

5.（5分）若tana=g,則cos2a+2sin2a=（

4

A./B.毀C.1

2525

第12頁（共233頁）

【考點】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；56：三角函數(shù)的求值.

【分析】將所求的關(guān)系式的分母"1"化為（cos2a+sin2a）,再將"弦"化"切"即可得

到答案.

【解答】解：Vtana=l,

4

3

21+4

???cos2a+2sin2a=cosa+4si」a=l+4tana￡=64

sin2CL+cos2tan2CL+1-^-+125

16

故選：A.

【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，"弦"化"切”是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

￡_2_±

6.（5分）已知a=23,b=3?,C=25?,則（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【考點】4Y：鬲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應用.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用.

2_4_1_2_

33

【分析】b=43=23,C=25=5,結(jié)合黑函數(shù)的單調(diào)性，可比較a,b,c,進而

得到答案.

￡2_

【解答】解：：a=2可=￡,

2_

b=33,

J_2_

c=253=53，

綜上可得：b<a<c,

故選：A.

【點評】本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，鬲函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象

第12頁（共233頁）

和性質(zhì)的綜合應用，難度中檔.

7.（5分）執(zhí)行如圖程序框圖，如果輸入的a=4,b=6,那么輸出的n=（）

第13頁（共233頁）

A.3B.4C.5D.6

【考點】EF：程序框圖.

【專題】11：計算題；27：圖表型；4B：試驗法；5K：算法和程序框圖.

【分析】模擬執(zhí)行程序，根據(jù)賦值語句的功能依次寫出每次循環(huán)得到的a,b,s,

n的值，當s=20時滿足條件s>16,退出循環(huán)，輸出n的值為4.

【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得

a=4,b=6,n=0,s=0

執(zhí)行循環(huán)體，a=2,b=4,a=6,s=6,n=l

不滿足條件s>16,執(zhí)行循環(huán)體，a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2

不滿足條件s>16,執(zhí)行循環(huán)體，a=2,b=4,a=6,s=16,n=3

不滿足條件s>16,執(zhí)行循環(huán)體，a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4

第13頁（共233頁）

滿足條件s>16,退出循環(huán)，輸出n的值為4.

故選：B.

【點評】

第14頁（共233頁）

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應用，正確依次寫出每次循環(huán)得到的a,

b,s的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

8.(5分)在4ABC中，B=2L,BC邊上的高等于押則8sA等于（）

4

A.亞B.叵C..叵D.-

10101010

【考點】HT：三角形中的幾何計算.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；58：解三角形.

【分析】作出圖形，令NDAC坦依題意，可求得cose=M—飛=逅

A。拈a）?俗-5

sine=2何，利用兩角和的余弦即可求得答案.

5

【解劄解：設^ABC中角A、B、C、對應的邊分別為a、b、c,AD^BC于D,

令NDAC=6,

:在^ABC中，B=2L,BC邊上的高AD=h=LBC=La,

433

.\BD=AD=la,CD=2a,

33

a

在RtAADC中,cos6=Nl=I'=亞_,故sin6=人次,

A。嗎產(chǎn)+年-55

cosA=cos(-2L+0)=cos-cos0-sin---sin0=2Z2.x2/^,-立L義兇豆=-2ZHL.

444252510

故選：C.

【點評】本題考查解三角形中，作出圖形，令NDAC=e,利用兩角和的余弦求COSA

第14頁（共233頁）

是關(guān)鍵，也是亮點，屬于中檔題.

第15頁（共233頁）

9.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三

視圖，則該多面體的表面積為（

C.90D.81

【考點】L!：由三視圖求面積、體積.

【專題】11：計算題；5F：空間位置關(guān)系與距離；5Q：立體幾何.

【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以主視圖為底面的直四棱柱，

進而得到答案.

【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以主視圖為底面的直四棱

柱，

其底面面積為：3X6=18,

側(cè)面的面積為：（3X3+3X^32+62）X2=18+18西，

故棱柱的表面積為：18X2+18+18而=54+18疾.

故選：B.

第15頁（共233頁）

【點評】本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖,

判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵.

10.（5分）在封閉的直三棱柱ABC-A1B1Q內(nèi)有一個體積為V的球，若AB±BC,

AB=6,BC=8,AAi=3,則V的最大值是（）

第16頁（共233頁）

A.4nB.12LC.6nD.32TU

23

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】11：計算題；5F：空間位置關(guān)系與距離；5Q：立體幾何.

【分析】根據(jù)已知可得直三棱柱ABC-AiBiCi的內(nèi)切球半徑為&代入球的體積

2

公式，可得答案.

【解劄解：：AB，BC,AB=6,BC=8,

.\AC=10.

故三角形ABC的內(nèi)切圓半徑仁殳或弛=2,

2

又由AAi=3,

故直三棱柱ABC-AiBiCi的內(nèi)切球半徑為上，

2

此時V的最大值!■兀■產(chǎn)等，

故選：B.

【點評】本題考查的知識點是棱柱的幾何特征，根據(jù)已知求出球的半徑，是解答

的關(guān)鍵.

22

11.（5分）已知。為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：\+4=1（a>b>0）的左焦點，

ab2

A,B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF，x軸，過點A的直線I

與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過0E的中點，則C的

離心率為（）

A.1B.1C.2D.2

3234

第16頁（共233頁）

【考點】K4：橢圓的性質(zhì).

【專題】34：方程思想；48：分析法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】由題意可得F,A,B的坐標，設出直線AE的方程為y=k（x+

第17頁（共233頁）

a),分別令x=-c,x=0,可得M,E的坐標，再由中點坐標公式可得H的坐標，

運用三點共線的條件：斜率相等，結(jié)合離心率公式，即可得到所求值.

【解劄解：由題意可設F(-c,0),A(-a,0),B(a,0),

設直線AE的方程為y=k(x+a),

令*=-孰可得M(-c,k(a-c)),令x=0,可得E(0,ka),

設OE的中點為H,可得H(0,叵)，

2

由B,H,M三點共線，可得I<BH=I<BM,

ka

即為2=k(a-c),

一a-c-a

化簡可得二=工，即為a=3c,

a+c2

可得e=￡J.

a3

另解：由△AMFsaAEO,

可得生￡二迎

a0E

由△BOHS^BFM,

可彳導a-OH-0E

'a+cFM2FM'

即有2(a-c)=或即a=3c,

aa

可得e=S=l.

a3

故選：A.

【點評】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線

方程的運用和三點共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運算能力，屬于

中檔題.

12.(5分)定義“規(guī)范01數(shù)列”{al如下：{a［共有2m項，其中m項為0,m

第17頁(共233頁)

項為且對任意中。的個數(shù)不少于的個數(shù)，若

1,kW2m,ai,a2......ak1m=4,

則不同的“規(guī)范01數(shù)列"共有（)

A.18個B.16個C.14個D.12個

【考點】8B：數(shù)列的應用.

第18頁（共233頁）

【專題】16：壓軸題；23：新定義；38:對應思想；4B：試驗法.

【分析】由新定義可得，”規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項2m項，且所含。與1的個數(shù)

相等，首項為0,末項為1,當m=4時，數(shù)列中有四個0和四個1,然后一一

列舉得答案.

【解答】解：由題意可知，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項2m項，且所含。與工的個

數(shù)相等，首項為0,末項為1,若m=4,說明數(shù)列有8項，滿足條件的數(shù)列有：

0,0,0,0,1,1,1,1；0,0,0,1,0,1,1,1；0,0,0,1,1,

0,1,1;0,0,0,1,1,1,0,1；0,0,1,0,0,1,1,1；

0,0,1,0,1,0,1,1；0,0,1,0,1,1,0,1；0,0,1,1,0,

I,0,1；0,0,1,1,0,0,1,1；0,I,0,0,0,1,1,1；

0,I,0,0,1,0,1,1；0,I,0,0,1,1,0,1；0,I,0,1,0,

0,1,1;0,I,0,1,0,1,o,1.共14個.

故選：c.

【點評】本題是新定義題，考查數(shù)列的應用，關(guān)鍵是對題意的理解，枚舉時做到

不重不漏，是壓軸題.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

'x-y+l>0

13.（5分）若x,y滿足約束條件鼠-2y<0,貝Uz=x+y的最大值為2

-2-

x+2y-240―

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】59：不等式的解法及應用.

【分析】首先畫出平面區(qū)域，然后將目標函數(shù)變形為直線的斜截式，求在y軸的

第18頁（共233頁）

截距最大值.

【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，當直線經(jīng)過D點時，z最

大，

由得口（1工）

Ix+2y-2=02

所以z=x+y的最大值為1+工金；

22

第19頁（共233頁）

【點評】本題考查了簡單線性規(guī)劃；一般步驟是：①畫出平面區(qū)域；②分析目標

函數(shù)，確定求最值的條件.

14.(5分)函數(shù)y=sinx-?cosx的圖象可由函數(shù)丫=$皿*+近cosx的圖象至少向右

平移22L個單位長度得到.

-3一

【考點】HJ：函數(shù)y=Asin(3x+。)的圖象變換.

【專題】33：函數(shù)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】令f(x)=sinx+yqcosx=2sin(x+2L),貝ljf(x-巾)=2sin(x+生-力)，

33

依題意可得2sin(x+—--4))=2sin(x-—),由三-4)=2kn:-三(kGZ),

3333

可得答案.

【解答】解：*?*y=f(x)=sinx+?cosx=2sin(x+2L),y=sinx-?cosx=2sin(x-2L),

33

?*.f(x-4>)=2sin(x+--(力>0),

3

令2sin(x+2L-。)=2sin(x-2L),

33

貝_e=2kn_(k?Z),

33

第19頁（共233頁）

即(|)=22L-2kn(k￡Z),

3

當k=0時，正數(shù)。min=&L,

3

故答案為：變.

3

【點評】本題考查函數(shù)y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(uix+O)(A>0,w>0)的

圖象，得到三-6=2kn-三(kGZ)是關(guān)鍵，也是難點，屬于中檔題.

33

15.(5分)已知f(x)為偶函數(shù)，當x<0時，f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=f

(x)在點(1,-3)處的切線方程是2x+v+l=0.

【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】34：方程思想；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用；52：導數(shù)的概念及應用.

【分析】由偶函數(shù)的定義,可得f(-X)=f(x),即有x>0時，f(x)=lnx-3x,

求出導數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程.

【解答】解：f(x)為偶函數(shù)，可得f(-x)=f(x),

當x<0時，f(x)=ln(-x)+3x,即有

x>0時,f(x)=lnx-3x,f(x)=—-3,

x

可得f⑴=|nl-3=-3,fz(1)=1-3=-2,

則曲線y=f(x)在點(1,-3)處的切線方程為y-(-3)=-2(x-1),

即為2x+y+l=0.

故答案為：2x+y+l=0.

【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，同時考查函數(shù)的奇偶性的定義和

運用，考查運算能力，屬于中檔題.

第20頁(共233頁)

16.（5分）已知直線I：mx+y+3m-?=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點，過A,

B分別作I的垂線與X軸交于C,D兩點,若|AB|=25,則|CD|=4.

【考點】J8：直線與圓相交的性質(zhì).

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5B：直線與圓.

第21頁（共233頁）

【分析】先求出m,可得直線I的傾斜角為30。，再利用三角函數(shù)求出|CD1即可.

【解答】解：由題意，1AB1=2?,.?.圓心到直線的距離d=3,

?|Sin-V3|_Q

Vm2+1

??III——---

3

；?直線I的傾斜角為30。，

:過A,B分別作I的垂線與x軸交于C,D兩點，

2

故答案為：4.

【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，考查學生的計算能力，

比較基礎(chǔ).

三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（12分）已知數(shù)列屈｝的前n項和Sn=l+Xan,其中入W0.

（1）證明匕力是等比數(shù)列，并求其通項公式；

（2）若S5=—,求人.

32

【考點】87：等比數(shù)列的性質(zhì)；8H：數(shù)列遞推式.

【專題】34：方程思想；4R：轉(zhuǎn)化法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】（1）根據(jù)數(shù)列通項公式與前n項和公式之間的關(guān)系進行遞推，結(jié)合等比

數(shù)列的定義進行證明求解即可.

（2）根據(jù)條件建立方程關(guān)系進行求解就可.

【解劄解：⑴VSn=l+Xan,入W0.

第21頁（共233頁）

??WO.

當n22日寸，Sn=Sn-Sn-1=1+入an-1-XSn-l=X8n-入an-1,

即(X-1)an=Xan.i,

■WO,aWO..?.入-IWO,即入Wl,

第22頁（共233頁）

即3_=/_,（n22）,

an-l入T

???{an}是等比數(shù)列，公比q=/_,

人-1

當n=l時，Si=l+入ai=ai,

即ai=-1—,

1一人

?a=1.?（入、n-l

**nl-xX-1

（2）若S5=2,

32

則若S5=l+N」^?（f^）4]=—,

1-X人T32

即（<）5=罵-1=-工，

l-x3232

則二=-J_,得入=-1.

1-X2

【點評】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應用，根據(jù)n>2時，an=Sn-Sn」的關(guān)系

進行遞推是解決本題的關(guān)鍵.考查學生的運算和推理能力.

18.（12分）如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）

的折線圖.

注：年份代碼1-7分別對應年份2008-2014.

（工）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以

證明；

（H）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,預測2016年我國生活垃圾

無害化處理量.

附注：

71nz-

參考數(shù)據(jù)：￡Y=9.32,￡卬=40.17,￡（y2=0.55,祈心2.646.

i=li=lVi=l1

第22頁（共233頁）

￡（t-t）仇-曠）

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=|；口n，

22

、忙（ti-7）r（yx-?）

Vi=li=l

回歸方程十W+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

第23頁（共233頁）

￡(t「t)仇-y)

b=，a=y-bt.

￡(t1G產(chǎn)

i=l

年

生

活

垃

圾

無

害

化

處

理

量

y

【考點】BK：線性回歸方程.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】（1）由折線圖看出，y與t之間存在較強的正相關(guān)關(guān)系，將已知數(shù)據(jù)代

入相關(guān)系數(shù)方程，可得答案；

（2）根據(jù)已知中的數(shù)據(jù)，求出回歸系數(shù)，可得回歸方程，2016年對應的t值為

9,代入可預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.

【解答】解：（1）由折線圖看出，y與t之間存在較強的正相關(guān)關(guān)系，理由如下：

7__7_

￡（tj-t）（yj-y）Ztiyi-7ty

??r=「―__________________=「一_______________,心40.17-4X9.32

一、2Vl{-722V7*0.55

（t「t）￡仇-丫）JZ（trt）￡仇-了）

Vi=li=lVi=li=l

?2.89993

2.9106''

V0.993>0.75,

故y與t之間存在較強的正相關(guān)關(guān)系;

第23頁（共233頁）

n__7

￡（匕-1：）仇-了）￡

（2）b=2ZH；---------------=2^-------空?910.103,

￡（t1G）2￡＜療

i=li=l

第24頁（共233頁）

a=y-bt^l-331-0.103X4^0.92,

.*.y關(guān)于t的回歸方程y=0.10t+0.92,

2016年對應的t值為9,

故y=0.10X9+0.92=1.82,

預測2016年我國生活垃圾無害化處理量為1.82億噸.

【點評】本題考查的知識點是線性回歸方程，回歸分析，計算量比較大，計算時

要細心.

19.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA,底面ABCD,AD〃BC,AB=AD=AC=3,

PA=BC=4,M為線段AD上一點，AM=2MD,N為PC的中點.

（1）證明：MN〃平面PAB；

（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

【考點】LS：直線與平面平行；Ml：直線與平面所成的角.

【專題】15：綜合題；35:轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；5F：空間位置關(guān)系與距

離；5G：空間角.

【分析】（1）法一、取PB中點G,連接AG,NG,由三角形的中位線定理可得

NG〃BC,且NG='BC，再由已知得AM〃BC,且AM=《BC,得至ijNG〃AM,

且NG=AM,說明四邊形AMNG為平行四邊形，可得NM〃AG,由線面平行的

第24頁（共233頁）

判定得到MN〃平面PAB；

法二、證明MN〃平面PAB,轉(zhuǎn)化為證明平面NEM〃平面PAB,在^PAC中，過

N作NELAC,垂足為E,連接ME,由已知PA,底面ABCD,可得PA〃NE,

通過求解直角三角形得到ME〃AB,由面面平行的判定可得平面NEM〃

第25頁（共233頁）

平面PAB,則結(jié)論得證；

（2）連接CM,證得CMXAD,進一步得到平面PNM,平面PAD,在平面PAD

內(nèi)，過A作AFLPM,交PM于F,連接NF,則NANF為直線AN與平面PMN

所成角.然后求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

【解答】⑴證明：法一、如圖，取PB中點G,連接AG,NG,

VN為PC的中點，

；.NG〃BC,且NG='BC，

又AM=4D=2，BC=4,且AD〃BC,

3

.,.AM//BC,且AM」BC,

2

貝ljNG〃AM,且NG=AM,

???四邊形AMNG為平行四邊形，則NM〃AG,

VAGc平面PAB,NM4平面PAB,

...MN〃平面PAB；

法二、

在APAC中，過N作NELAC,垂足為E,連接ME,

在^ABC中，由已知AB=AC=3,BC=4,得cosNACB=ll±l!22i上，

2X4X33

VAD/7BC,

?,.COSNEAM=,,貝IJsin/EAM=2Z^,

33

在△EAM中，

AE=

VAM=-|.AD=2.yAC^|.

由余弦定理得：EM=7AE2+AM2-2AE-AM'cosZEAffl=^-1+4-2x1-X2Xy=|，

第25頁（共233頁）

C|)2+C|)2一4

cosNAEM=,1

2xfxi

222

而在AABC中，cosZBAC-^-t3~4J-,

2X3X3-9

，cosNAEM=cosNBAC,即NAEM=NBAC,

AAB//EM,則EM〃平面PAB.

第26頁（共233頁）

由PA，底面ABCD,得PALAC,又NE，AC,

ANE//PA,則NE〃平面PAB.

VNEnEM=E,

平面NEM〃平面PAB,則MN〃平面PAB；

（2）解：在aAMC中，由AM=2,AC=3,cos/MAC=Z,得CM2=AC2+AM2-

3

2AC?AM?cosNMAC=9+4_2X3X2x2=5.

3

AM2+MC2=AC2,則AM，MC,

底面ABCD,PAu平面PAD,

平面ABCD_L平面PAD,且平面ABCDn平面PAD=AD,

，CM_L平面PAD,則平面PNM_L平面PAD.

在平面PAD內(nèi)，過A作AFLPM,交PM于F,連接NF,則NANF為直線AN與

平面PMN所成角.

在RtAPAC中，由N是PC的中點，得AN=lpc=lA/pA2+pc2=1.i

在RtAPAM中，由PA?AM=PM?AF,得AF=PA"AM=4義2;生叵,

PMdq2+Z25

../八.AF_5一8而

..sin/ANF=777=~-二7匚.

ANb_25

T

???直線AN與平面PMN所成角的正弦值為竺反.

【點評】本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的求法，考查

第26頁（共233頁）

數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，考查了空間想象能力和計算能力，是中檔題.

20.（12分）已知拋物線C：y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線k,L

第27頁（共233頁）

分別交c于A,B兩點，交C的準線于P,Q兩點.

（工）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR〃FQ；

（II）若△PQF的面積是4ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.

【考點】J3：軌跡方程；K8：拋物線的性質(zhì).

【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性

質(zhì)與方程.

【分析】（工）連接RF,PF,利用等角的余角相等，證明NPRA=NPQF,即可證

明AR〃FQ；

（H）利用△PQF的面積是AABF的面積的兩倍，求出N的坐標，利用點差法求

AB中點的軌跡方程.

【解答】（工）證明：連接RF,PF,

由AP=AF,BQ=BF及AP〃BQ,得NAFP+NBFQ=90°,

AZPFQ=90°,

是PQ的中點，

，RF=RP=RQ,

AAPARNAFAR,

NPAR=NFAR,ZPRA=ZFRA,

VZBQF+ZBFQ=180°-ZQBF=ZPAF=2ZPAR,

AZFQB=ZPAR,

AZPRA=ZPQF,

，AR〃FQ.