2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.3.3平面與平面平行學(xué)案新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE11.3.3平面與平面平行1.平面與平面的位置關(guān)系2.平面與平面平行的判定定理3.平面與平面平行的性質(zhì)定理1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)平面α∥β,一條直線a平行于平面α,則a肯定平行于平面β.()(2)三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行,這個(gè)三角板所在平面與平面α平行.()(3)平面α內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊與平面β內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊對(duì)應(yīng)平行,則α∥β.()(4)若平面α∥β,點(diǎn)P∈α,a∥β且P∈a,那么a?α.()提示:(1)×.直線a可能與β平行,也可能在β內(nèi).(2)√.三角板的兩條邊所在直線是相交的,依據(jù)平面與平面平行的判定定理可知此說(shuō)法正確.(3)×.若平行四邊形的兩邊是對(duì)邊,則相互平行不相交,無(wú)法推出α∥β.(4)√.因?yàn)槠矫姒痢桅?a∥β,所以a∥α或a?α,又因?yàn)辄c(diǎn)P∈α,P∈a,所以a?α.2.已知平面α∥平面β,過(guò)平面α內(nèi)的一條直線a的平面γ與平面β相交,交線為直線b,則a,b的位置關(guān)系是()A.平行B.相交C.異面D.不確定【解析】選A.由面面平行的性質(zhì)定理可知選項(xiàng)A正確.3.(教材二次開發(fā):例題改編)底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,與平面BB1A.平面AA1D1DB.平面AA1B1BC.平面DD1D.平面ABCD【解析】選A.依據(jù)圖形及平面平行的判定定理知,平面BB1C1C∥平面AA14.下列命題:①兩個(gè)平面有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合;②若l,m是異面直線,l∥α,m∥β,則α∥β.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為_______.

【解析】對(duì)于①,兩個(gè)平面相交,則有一條交線,也有多數(shù)多個(gè)公共點(diǎn),故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,借助于正方體ABCD-A1B1C1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB與B1C1異面,而平面DCC1D1與平面AA1答案:①②關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一平面與平面平行的判定(邏輯推理、直觀想象)【典例】已知正方形ABCD與菱形ABEF所在平面相交,求證:平面BCE∥平面ADF.【思路導(dǎo)引】由四邊形ABCD是正方形,證得BC∥平面ADF,由四邊形ABEF為菱形,證得BE∥平面ADF,即可利用面面平行的判定定理,證得平面BCE∥平面ADF.【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以BC∥AD.因?yàn)锽C?平面ADF,AD?平面ADF,所以BC∥平面ADF.因?yàn)樗倪呅蜛BEF是菱形,所以BE∥AF.因?yàn)锽E?平面ADF,AF?平面ADF,所以BE∥平面ADF.因?yàn)锽C∥平面ADF,BE∥平面ADF,BC∩BE=B,BC,BE?平面BCE,所以平面BCE∥平面ADF.常見面面平行的判定方法(1)定義法:兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn).(2)判定定理法:轉(zhuǎn)化為線面平行.(3)平行平面的傳遞性:兩個(gè)平面都和第三個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行.(4)利用平面與平面平行的判定定理的推論:若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線,則這兩個(gè)平面平行.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形.點(diǎn)M,N,Q分別在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求證:平面MNQ∥平面PBC.【證明】因?yàn)镻M∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,所以MQ∥AD,NQ∥BP.又因?yàn)锽P?平面PBC,NQ?平面PBC,所以NQ∥平面PBC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形.所以BC∥AD,所以MQ∥BC.又因?yàn)锽C?平面PBC,MQ?平面PBC,所以MQ∥平面PBC.又因?yàn)镸Q∩NQ=Q,MQ,NQ?平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PBC.類型二面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)角度1與性質(zhì)有關(guān)的證明問(wèn)題

【典例】如圖,在四面體ABCD中,點(diǎn)E,F分別為棱AB,AC上的點(diǎn),點(diǎn)G為棱AD的中點(diǎn),且平面EFG∥平面BCD.求證:BC=2EF.【思路導(dǎo)引】由平面EFG∥平面BCD,可得出線線平行,再利用點(diǎn)G為棱AD的中點(diǎn),即可得出結(jié)論.【證明】因?yàn)槠矫鍱FG∥平面BCD,平面ABD∩平面EFG=EG,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EG∥BD,又G為AD的中點(diǎn),故E為AB的中點(diǎn),同理可得,F為AC的中點(diǎn),所以BC=2EF.角度2與性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題

【典例】如圖,已知平面α∥平面β,P?α,且P?β,過(guò)點(diǎn)P的直線m與α,β分別交于A,C,過(guò)點(diǎn)P的直線n與α,β分別交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,則BD=_______.

【思路導(dǎo)引】面面平行?線線平行?分線段比例相等.【解析】因?yàn)锳C∩BD=P,所以經(jīng)過(guò)直線AC與BD可確定平面PCD,因?yàn)棣痢桅?α∩平面PCD=AB,β∩平面PCD=CD,所以AB∥CD.所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE.所以BD=QUOTE.答案:QUOTE應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟提示:面面平行性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì):面面平行?線線平行,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.與判定定理交替運(yùn)用,可實(shí)現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化.【拓展延長(zhǎng)】1.常用的面面平行的其他幾特性質(zhì)(1)兩個(gè)平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線平行于另一個(gè)平面.(2)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等.(3)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.(5)假如兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面相互平行.2.證明線與線、線與面的平行關(guān)系的一般規(guī)律是:“見了已知想性質(zhì),見了求證想判定”,也就是說(shuō)“發(fā)覺已知,轉(zhuǎn)化結(jié)論,溝通已知與未知的關(guān)系”.這是分析和解決問(wèn)題的一般思維方法,而作協(xié)助線和協(xié)助面往往是溝通已知和未知的有效手段.【拓展訓(xùn)練】已知平面α∥平面β,點(diǎn)A,C∈α,點(diǎn)B,D∈β,直線AB,CD交于點(diǎn)S,且SA=8,SB=9,CD=34.(1)若點(diǎn)S在平面α,β之間,則SC=_______.

(2)若點(diǎn)S不在平面α,β之間,則SC=_______.

【解析】(1)如圖①所示,因?yàn)锳B∩CD=S,所以AB,CD確定一個(gè)平面,設(shè)為γ,則α∩γ=AC,β∩γ=BD.因?yàn)棣痢桅?所以AC∥BD.于是QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE.所以SC=QUOTE=QUOTE=16.(2)如圖②所示,同理知AC∥BD,則QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得SC=272.答案:(1)16(2)272【變式訓(xùn)練】將本題中的條件“SA=8,SB=9,CD=34.”改為“SA=18,SB=9,CD=34”,求SC.【解析】如圖(1),由α∥β可知BD∥AC,所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以SC=68.如圖(2),由α∥β知AC∥BD,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE.所以SC=QUOTE.綜上,SC的大小為68或QUOTE.1.平面α與圓臺(tái)的上、下底面分別相交于直線m,n,則m,n的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交C.異面 D.平行或異面【解析】選A.因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面相互平行,所以由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知m∥n.2.已知平面α∥平面β,直線a?α,則直線a與平面β的位置關(guān)系為_______.

【解析】因?yàn)棣痢桅?所以α與β無(wú)公共點(diǎn),因?yàn)閍?α,所以a與β無(wú)公共點(diǎn),所以a∥β.答案:a∥β3.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1(1)求證:AC1∥平面BDE.(2)推斷并證明,點(diǎn)F在棱DD1上什么位置時(shí),平面AC1F【解析】(1)設(shè)AC∩BD=O,連接OE.因?yàn)镺,E分別為AC,CC1的中點(diǎn),所以O(shè)E∥AC1,又AC1?平面BDE,OE?平面BDE,所以AC1∥平面BDE.(2)F為棱DD1的中點(diǎn)時(shí),平面AC1F∥證明如下:因?yàn)辄c(diǎn)F為DD1的中點(diǎn),E為CC1的中點(diǎn),所以DFC1E,四邊形DFC1E為平行四邊形,所以FC1∥DE,FC1?平面BDE,DE?平面BDE,所以FC1∥平面BDE.又AC1∥平面BDE,且FC1∩AC1=C1.所以平面AC1F∥類型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)【典例】已知底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD,點(diǎn)E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?若存在,證明你的結(jié)論,并說(shuō)出點(diǎn)F的位置.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【思路導(dǎo)引】解答本題應(yīng)抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC,再確定F的位置.【解析】存在點(diǎn)F,當(dāng)F為PC中點(diǎn)時(shí),BF∥平面AEC,證明如下:如圖,連接BD交AC于O點(diǎn),連接OE,過(guò)B點(diǎn)作OE的平行線交PD于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GF∥CE,交PC于點(diǎn)F,連接BF.因?yàn)锽G∥OE,BG?平面AEC,OE?平面AEC,所以BG∥平面AEC.同理,GF∥平面AEC,又BG∩GF=G.所以平面BGF∥平面AEC.所以BF∥平面AEC.因?yàn)锽G∥OE,O是BD中點(diǎn),所以E是GD中點(diǎn).又因?yàn)镻E∶ED=2∶1,所以G是PE中點(diǎn).而GF∥CE,所以F為PC中點(diǎn).綜上,當(dāng)點(diǎn)F是PC中點(diǎn)時(shí),BF∥平面AEC.空間中線、面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線、線面、面面間的平行關(guān)系的判定和性質(zhì),經(jīng)常是通過(guò)線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化來(lái)表達(dá).本例若改為“已知底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD,在棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使PB∥平面ACE?若存在,請(qǐng)找出E點(diǎn)位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由”,該如何解決?【解析】如圖,連接AC,BD交于點(diǎn)O,取PD中點(diǎn)為E,連接OE,AE,CE,則在△PBD中,OE∥PB,又OE?平面ACE,PB?平面ACE,所以PB∥平面ACE.此時(shí)E為PD中點(diǎn),故當(dāng)E為PD中點(diǎn)時(shí),能使PB∥平面ACE.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,點(diǎn)E,F分別是棱CC1,BB1【解析】如圖,取EC的中點(diǎn)P,AC的中點(diǎn)Q,連接PQ,PB,BQ,則PQ∥AE.因?yàn)镋C=2FB=2,所以PE=BF.所以四邊形BFEP為平行四邊形,所以PB∥EF.又AE,EF?平面AEF,PQ,PB?平面AEF,所以PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.又PQ∩PB=P,PQ,PB?平面PBQ,所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ?平面PBQ,所以BQ∥平面AEF.故點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)M,即點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)時(shí),BM∥平面AEF.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分別為B1C1,A1B(1)求證:平面A1C(2)若平面A1C【證明】(1)因?yàn)镋,F分別為B1C1,A1B1所以EF∥A1C1,因?yàn)锳1C1?平面A1C1G,EF?平面A1C1G,所以EF所以A1F=BG,又A1F∥BG,所以四邊形A1GBF為平行四邊形,則BF∥A1G,因?yàn)锳1G?平面A1C所以BF∥平面A1C1G所以平面A1C1(2)因?yàn)槠矫鍭BC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G,則這兩個(gè)平面的交線經(jīng)過(guò)G,又因?yàn)槠矫鍭1C1課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.平面α與平面β平行的條件可以是()A.α內(nèi)有多數(shù)多條直線與β平行B.直線a∥α,a∥βC.直線a?α,直線b?β,且a∥β,b∥αD.α內(nèi)的任何直線都與β平行【解析】選D.由面面平行的定義知,選D.2.在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中,直線AB與平面A1B1CA.相交 B.平行C.在平面內(nèi) D.不確定【解析】選B.因?yàn)锳B∥A1B1,AB?平面A1B1C1,A1B1?平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B13.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)已知點(diǎn)S是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn),點(diǎn)D,E,F分別是SA,SB,SC的中點(diǎn),則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是_______.

【解析】由D,E,F分別是SA,SB,SC的中點(diǎn),知EF是△SBC的中位線,所以EF∥BC.又因?yàn)锽C?平面ABC,EF?平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC,又因?yàn)镋F∩DE=E,EF,DF?平面DEF,所以平面DEF∥平面ABC.答案:平行4.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體,四邊形EFGH為截面,則四邊形EFGH的形態(tài)為_______.

【解析】因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四邊形EFGH的形態(tài)是平行四邊形.答案:平行四邊形課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十七平面與平面平行(20分鐘35分)1.a∥α,b∥β,α∥β,則a與b位置關(guān)系是 ()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面或相交【解析】選D.如圖(1),(2),(3)所示,a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交.2.下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是 ()A.平面內(nèi)一個(gè)三角形各邊所在的直線都與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行B.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行C.若兩個(gè)平面平行,則位于這兩個(gè)平面內(nèi)的直線也相互平行D.若兩個(gè)平面平行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行【解析】選C.分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線,可能平行,也可能異面.3.α,β是兩個(gè)不重合的平面,在下列條件中,可判定α∥β的是 ()A.α,β都平行于直線l,mB.α內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到β的距離相等C.l,m是α內(nèi)的兩條直線,且l∥β,m∥βD.l,m是兩條異面直線且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β【解析】選D.A,B,C中都有可能使兩個(gè)平面相交;D中l(wèi)∥α,m∥α,可在α內(nèi)取一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)作l,m的平行線l′,m′,則l′,m′在平面α內(nèi)且相交,又易知l′∥β,m′∥β,所以α∥β.4.若夾在兩個(gè)平面間的三條平行線段相等,那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系為.

【解析】三條平行線段共面時(shí),兩平面可能平行也可能相交,當(dāng)三條平行線段不共面時(shí),兩平面肯定平行.答案:平行或相交5.如圖所示,平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行,且四邊形ABCD在平面α內(nèi)的平行投影A1B1C1D1是一個(gè)平行四邊形,則四邊形ABCD的形態(tài)肯定是【解析】由平行投影的定義,AA1∥BB1,而ABCD所在平面與平面α平行,則AB∥A1B1,則四邊形ABB1A1為平行四邊形,所以ABA1B1同理四邊形CC1D1D為平行四邊形,CDC1D1.因?yàn)锳1B1C1D1,所以ABCD,從而四邊形ABCD為平行四邊形.答案:平行四邊形6.如圖,四棱錐P-ABCD中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E,M,N分別為邊BC,AD,AP的中點(diǎn).求證:PE∥平面BNM.【證明】連接DE,因?yàn)镸,N分別為邊AD,AP的中點(diǎn),所以MN∥PD,因?yàn)镸N?平面PDE,PD?平面PDE,所以MN∥平面PDE,因?yàn)镋,M分別是BC,AD的中點(diǎn),四邊形ABCD是平行四邊形,所以四邊形BEDM是平行四邊形,所以MB∥DE,MB?平面PDE,DE?平面PDE,所以MB∥面PDE,因?yàn)镸N∩MB=M,所以平面MNB∥平面PDE,因?yàn)镻E?平面PDE,所以PE∥平面BNM.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.設(shè)平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)A,B分別在平面α,β內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)C ()A.不共面B.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A,B分別在兩條直線上移動(dòng)時(shí)才共面C.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A,B分別在兩條給定的異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面D.無(wú)論點(diǎn)A,B如何移動(dòng)都共面【解析】選D.無(wú)論點(diǎn)A,B如何移動(dòng),其中點(diǎn)C到α,β的距離始終相等,故點(diǎn)C在到α,β距離相等且與兩平面都平行的平面上.2.已知m,n是兩條直線,α,β是兩個(gè)平面.有以下說(shuō)法:①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,則α∥β;②若m∥α,m∥β,則α∥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,則α∥β.其中正確的個(gè)數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為文字語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言.可知①是面面平行的判定定理;②③中平面α,β還有可能相交.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a,b表示直線,α,β,γ表示平面,則下列命題中不正確的是 ()A.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥bB.a∥b,b∥α,a?α?a∥αC.α∥β,β∥γ?α∥γD.α∥β,a∥α?a∥β【解析】選D.當(dāng)α∥β且a∥α?xí)r,可能有a?β,也可能有a∥β,因此選項(xiàng)D中的命題不正確.3.在正方體EFGH-E1F1G1A.平面E1FG1與平面EGH1B.平面FHG1與平面F1H1C.平面F1H1H與平面FHE1D.平面E1HG1與平面EH1【解析】選A.如圖,因?yàn)镋G∥E1G1EG?平面E1FG1,E1G1?平面E1FG1所以EG∥平面E1FG1,又G1F∥H1同理可證H1E∥平面E1FG1,又H1E∩EG=E,H1E?平面EGH1,EG?平面EGH1,所以平面E1FG1∥平面EGH1.4.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B1的中點(diǎn),點(diǎn)P是側(cè)面CDD1C1上的動(dòng)點(diǎn),且MP∥平面ABA.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.取CD的中點(diǎn)N,CC1的中點(diǎn)R,B1C1的中點(diǎn)H,則MN∥B1C∥HR,MH∥AC,所以平面MNRH∥平面AB1C,所以MP?平面MNRH,線段MP掃過(guò)的圖形是△MNR,因?yàn)锳B=2,所以MN=2QUOTE,NR=QUOTE,MR=QUOTE,所以MN2=NR2+MR2,所以∠MRN是直角,所以線段MP長(zhǎng)度的取值范圍是QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中點(diǎn),F在CC1上,且CF=2FC1,點(diǎn)P是側(cè)面AA1D1D(包括邊界)上一動(dòng)點(diǎn),且PB1∥平面DEF,則tan∠ABP的取值范圍是【解析】作出平面MNQB1∥平面DEF,則A1Q=2AQ,DN=2D1N,因?yàn)镻B1∥平面DEF,所以點(diǎn)P的軌跡是線段QN,因此,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q處時(shí),tan∠ABP取得最小值,此時(shí)tan∠ABP=QUOTE=QUOTE;當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N處時(shí),tan∠ABP取得最大值,此時(shí)tan∠ABP=QUOTE=QUOTE=QUOTE;所以tan∠ABP的取值范圍是QUOTE.答案:QUOTE二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.用一個(gè)平面去截三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分別于點(diǎn)E,F,G,H.若A1AA.矩形 B.菱形C.正方形 D.梯形【解析】選AD.因?yàn)樗倪呅蜤FGH的相鄰兩邊不行能相等,所以不能選B,C;當(dāng)FG∥B1B時(shí),四邊形EFGH為矩形;當(dāng)FG不與B1B平行時(shí),四邊形EFGH為梯形.6.已知a,b表示兩條不重合的直線,α,β,γ表示三個(gè)不重合的平面,給出下列命題,其中正確的是 ()A.若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,則α∥βB.若a,b相交且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,則α∥βC.若a∥α,a∥β,則α∥βD.若a?α,a∥β,α∩β=b,則a∥b【解析】選BD.對(duì)于A,若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,則α∥β或者α與β相交,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若a,b相交且都在α,β外,依據(jù)線面關(guān)系的基本領(lǐng)實(shí)可得a,b可以確定一個(gè)平面記為γ,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,可得γ∥α,γ∥β,由面面平行的傳遞性可知α∥β,故B正確;對(duì)于C,a∥α,a∥β,則α∥β也可能α與β相交,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由a?α,a∥β,α∩β=b,結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理:假如一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行,則a∥b,故D正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】α,β,γ為三個(gè)不重合的平面,a,b,c為三條不重合的直線,則下列命題中正確的是 ()A.QUOTE?a∥bB.QUOTE?a∥bC.QUOTE?α∥β D.QUOTE?α∥β【解析】選AD.對(duì)于A,兩條直線平行于第三條直線,這兩條直線平行,故A正確.對(duì)于B,兩條直線都與同一個(gè)平面平行,則這兩條直線可能相交,也可能是異面直線,不肯定平行,故B不正確.對(duì)于C,兩個(gè)平面都與同一條直線平行,則這兩個(gè)平面可能平行,也可能相交,故C不正確.對(duì)于D,由面面平行的傳遞性可知平行于同一平面的兩個(gè)平面平行,故D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,過(guò)BB1的中點(diǎn)E作一個(gè)與平面ACB1平行的平面交AB于M,交BC于N,則MN=AC,MN平面AB1【解析】因?yàn)槠矫鍹NE∥平面ACB1,平面ABCD∩平面MNE=MN,平面ABCD∩平面ACB1=AC,所以MN∥AC.同理可證EM∥AB1,EN∥B1C因?yàn)镋是B1B的中點(diǎn),所以M,N分別是AB,BC的中點(diǎn),所以MN=QUOTEAC.又因?yàn)镸N∥AC,MN?平面AB1C,AC?平面AB1C,所以MN∥平面AB答案:QUOTE∥8.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱DD1上的點(diǎn).當(dāng)平面AB1C∥平面A1EC1時(shí),點(diǎn)E的位置是【解析】如圖,連接B1D1,BD,設(shè)B1D1∩A1C1=M,BD∩AC=O,連接ME,B1因?yàn)槠矫鍭B1C∥平面A1EC1,平面AB1C∩平面BDD1B1=B平面A1EC1∩平面BDD1B1=ME,所以B1O∥ME.又四邊形B1MDO為平行四邊形,則B1O∥MD.所以得到點(diǎn)E與點(diǎn)D重合.答案:點(diǎn)D處四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD.E,F,G分別為線段PC,PD,BC的中點(diǎn),現(xiàn)將△PDC折起,使點(diǎn)P?平面ABCD.求證:平面PAB∥平面EFG.【證明】因?yàn)镻E=EC,PF=FD,所以EF∥CD,又因?yàn)镃D∥AB,所以EF∥AB,又EF?平面PAB,AB?平面PAB,所以EF∥平面PAB,同理可證EG∥平面PAB.又因?yàn)镋F∩EG=E,所以平面PAB∥平面EFG.10.如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D,D1分別為AC,A1C(1)當(dāng)QUOTE等于何值時(shí),BC1∥平面AB1D1.(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求QUOTE的值.【解析】連接A1B交AB1于點(diǎn)O,連接OD1.(1)如圖所示,取D1為線段A1C1的中點(diǎn),此時(shí)QUOTE=1.由棱柱的性質(zhì)知,四邊形A1ABB1為平行四邊形,所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn).在△A1BC1中,點(diǎn)O,D1分別為A1B,A1C1的中點(diǎn),所以O(shè)D1∥BC1又因?yàn)镺D1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,所以BC1∥平面AB1D1.所以當(dāng)QUOTE=1時(shí),BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O得BC1∥D1O,所以QUOTE=QUOTE,又由題(1)可知QUOTE=QUOTE,QUOTE=1,所以QUOTE=1,即QUOTE=1.1.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,點(diǎn)M是棱AD的中點(diǎn),點(diǎn)N在棱AA1上,且滿意AN=2NA1,P是側(cè)面四邊形ADD1A1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界),若C1P∥平面CMN,則線段CA.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE