高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.4平面向量的數(shù)量積第2課時教學(xué)設(shè)計新人教A版必修4

2.4平面對量的數(shù)量積（第2課時）2.4.2平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角一、教學(xué)分析平面對量的數(shù)量積,教材將其分為兩部分.在第一部分向量的數(shù)量積中,首先探討平面對量所成的角,其次,介紹了向量數(shù)量積的定義,最終探討了向量數(shù)量積的基本運算法則和基本結(jié)論;在其次部分平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示中,在平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上,利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示研討了平面對量所成角的計算方式,得到了兩向量垂直的判定方法,本節(jié)是平面對量數(shù)量積的其次部分.前面我們學(xué)習(xí)了平面對量的數(shù)量積,以及平面對量的坐標(biāo)表示.那么在有了平面對量的坐標(biāo)表示以及坐標(biāo)運算的閱歷和引進平面對量的數(shù)量積后,就順其自然地要考慮到平面對量的數(shù)量積是否也能用坐標(biāo)表示的問題.另一方面,由于平面對量數(shù)量積涉及了向量的模、夾角,因此在實現(xiàn)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示后,向量的模、夾角也都可以與向量的坐標(biāo)聯(lián)系起來.利用平面對量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運算,結(jié)合平面對量與平面對量數(shù)量積的關(guān)系來推導(dǎo)出平面對量數(shù)量積以及向量的模、夾角的坐標(biāo)表示.老師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.通過例題分析、課堂訓(xùn)練,讓學(xué)生總結(jié)歸納出對于向量的坐標(biāo)、數(shù)量積、向量所成角及模等幾個因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本題型的求解方法.平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面對量的坐標(biāo)表示和平面對量數(shù)量積的基礎(chǔ)上進一步學(xué)習(xí)的,這都為數(shù)量積的坐標(biāo)表示奠定了學(xué)問和方法基礎(chǔ).二、教學(xué)目標(biāo)1．學(xué)問與技能駕馭數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面對量數(shù)量積的運算；能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積推斷兩個平面對量的垂直關(guān)系。2．過程與方法通過用坐標(biāo)表示平面對量數(shù)量積的有關(guān)運算，揭示幾何圖形與代數(shù)運算之間的內(nèi)在聯(lián)系，明確數(shù)學(xué)是探討數(shù)與形有機結(jié)合的學(xué)科。3．情感看法與價值觀能用所學(xué)學(xué)問解決有關(guān)綜合問題。三、重點難點教學(xué)重點:平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.教學(xué)難點:向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.四、教學(xué)設(shè)想（一）導(dǎo)入新課思路1.平面對量的表示方法有幾何法和坐標(biāo)法,向量的表示形式不同,對其運算的表示方式也會變更.向量的坐標(biāo)表示,為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運算帶來了極大的便利.上一節(jié),我們學(xué)習(xí)了平面對量的數(shù)量積,那么向量的坐標(biāo)表示,對平面對量的數(shù)量積的表示方式又會帶來哪些變更呢？由此干脆進入主題.思路2.在平面直角坐標(biāo)系中,平面對量可以用有序?qū)崝?shù)對來表示,兩個平面對量共線的條件也可以用坐標(biāo)運算的形式刻畫出來,那么學(xué)習(xí)了平面對量的數(shù)量積之后,它能否用坐標(biāo)來表示？若能,如何通過坐標(biāo)來實現(xiàn)呢？平面對量的數(shù)量積還會是一個有序?qū)崝?shù)對嗎？同時,平面對量的模、夾角又該如何用坐標(biāo)來表示呢？通過回顧兩個向量的數(shù)量積的定義和向量的坐標(biāo)表示,在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)、探究平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.（二）推動新課、新知探究、提出問題①平面對量的數(shù)量積能否用坐標(biāo)表示?②已知兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎樣用a與b的坐標(biāo)表示a·b呢?③怎樣用向量的坐標(biāo)表示兩個平面對量垂直的條件？④你能否依據(jù)所學(xué)學(xué)問推導(dǎo)出向量的長度、距離和夾角公式？活動:老師引導(dǎo)學(xué)生利用前面所學(xué)學(xué)問對問題進行推導(dǎo)和探究.前面學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)可以用平面直角坐標(biāo)系中的有序?qū)崝?shù)對來表示,而且我們也知道了向量的加、減以及實數(shù)與向量積的線性運算都可以用坐標(biāo)來表示.兩個向量共線時它們對應(yīng)的坐標(biāo)也具備某種關(guān)系,那么我們就自然而然地想到既然向量具有數(shù)量積的運算關(guān)系,這種運算關(guān)系能否用向量的坐標(biāo)來表示呢？老師提示學(xué)生在向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的坐標(biāo)運算進行推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示.老師可以組織學(xué)生到黑板上板書推導(dǎo)過程,老師賜予必要的提示和補充.推導(dǎo)過程如下:∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j,∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0,∴a·b=x1x2+y1y2.老師給出結(jié)論性的總結(jié),由此可歸納如下:1°平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.2°向量模的坐標(biāo)表示若a=(x,y),則|a|2=x2+y2,或|a|=.假如表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=3°兩向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥bx1x2+y1y2=0.4°兩向量夾角的坐標(biāo)表示設(shè)a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a與b的夾角,依據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示,可得cosθ=探討結(jié)果:略.（三）應(yīng)用示例例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試推斷△ABC的形態(tài),并給出證明.活動:老師引導(dǎo)學(xué)生利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算來解決平面圖形的形態(tài)問題.推斷平面圖形的形態(tài),特殊是三角形的形態(tài)時主要看邊長是否相等,角是否為直角.可先作出草圖,進行直觀判定,再去證明.在證明中若平面圖形中有兩個邊所在的向量共線或者模相等,則此平面圖形與平行四邊形有關(guān);若三角形的兩條邊所在的向量模相等或者由兩邊所在向量的數(shù)量積為零,則此三角形為等腰三角形或者為直角三角形.老師可以讓學(xué)生多總結(jié)幾種推斷平面圖形形態(tài)的方法.解:在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三點,我們發(fā)覺△ABC是直角三角形.下面給出證明.∵=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0.∴⊥.∴△ABC是直角三角形.點評:本題考查的是向量數(shù)量積的應(yīng)用,利用向量垂直的條件和模長公式來推斷三角形的形態(tài).當(dāng)給出要判定的三角形的頂點坐標(biāo)時,首先要作出草圖,得到直觀判定,然后對你的結(jié)論給出充分的證明.變式訓(xùn)練在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一個內(nèi)角為直角,求k的值.解:由于題設(shè)中未指明哪一個角為直角,故需分別探討.若∠A=90°,則⊥,所以·=0.于是2×1+3k=0.故k=.同理可求,若∠B=90°時,k的值為;若∠C=90°時,k的值為.故所求k的值為或或.例2(1)已知三點A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值;(2)a=(3,0),b=(-5,5),求a與b的夾角.活動:老師讓學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運算求出兩向量a=(x1,y1)與b=(x2,y2)的數(shù)量積a·b=x1x2+y1y2和模|a|=,|b|=的積,其比值就是這兩個向量夾角的余弦值,即cosθ=.當(dāng)求出兩向量夾角的余弦值后再求兩向量的夾角大小時,需留意兩向量夾角的范圍是0≤θ≤π.學(xué)生在解這方面的題目時須要把向量的坐標(biāo)表示清晰,以免出現(xiàn)不必要的錯誤.解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3),=(1,4)-(2,-2)=(-1,6),∴·=3×(-1)+3×6=15.又∵||==3,||==,∴cos∠BAC=(2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=52.設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=又∵0≤θ≤π,∴θ=.點評:本題考查的是利用向量的坐標(biāo)表示來求兩向量的夾角.利用基本公式進行運算與求解主要是對基礎(chǔ)學(xué)問的鞏固與提高.變式訓(xùn)練設(shè)a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b間的夾角θ.(精確到1°)解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a|=,|b|=由計算器得cosθ=≈-0.03.利用計算器中得θ≈92°.例3已知|a|=3,b=(2,3),試分別解答下面兩個問題:(1)若a⊥b,求a;(2)若a∥b,求a.活動:對平面中的兩向量a=(x1,y1)與b=(x2,y2),要讓學(xué)生在應(yīng)用中深刻領(lǐng)悟其本質(zhì)屬性,向量垂直的坐標(biāo)表示x1x2+y1y2=0與向量共線的坐標(biāo)表示x1y2-x2y1=0很簡單混淆,應(yīng)細致比較并熟記,當(dāng)難以區(qū)分時,要從意義上鑒別,兩向量垂直是a·b=0,而共線是方向相同或相反.老師可多加強反例練習(xí),多給出這兩種類型的同式變形訓(xùn)練.解:(1)設(shè)a=(x,y),由|a|=3且a⊥b,得解得∴a=a=(2)設(shè)a=(x,y),由|a|=3且a∥b,得解得或∴a=a=.點評:本題主要考查學(xué)生對公式的駕馭狀況,學(xué)生能嫻熟運用兩向量的坐標(biāo)運算來推斷垂直或者共線,也能嫻熟地進行公式的逆用,利用已知關(guān)系來求向量的坐標(biāo).變式訓(xùn)練求證:一次函數(shù)y=2x-3的圖象(直線l1)與一次函數(shù)y=x的圖象(直線l2)相互垂直.解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取兩點A(1,-1),B(2,1).同理,在直線l2上取兩點C(-2,1),D(-4,2),于是:=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(