4.5.2用二分法求方程的近似解課件一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5.2用二分法求方程的近似解課程標(biāo)準(zhǔn)1.探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框圖.2.能借助計算工具用二分法求方程近似解.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性.【想一想】你知道工人師傅是如何做到的嗎？

在一個風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障，這是一條10km長的路線，如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多.每查一個點要爬一次電線桿子，10km長的線路大約有200多根電線桿子.可是維修線路的工人師傅只要至多爬7次電線桿子就能把故障排除了.

如圖所示，他首先從中點C查，用隨身帶的話機向兩端測試時，若發(fā)現(xiàn)AC段正常，則可斷定故障在BC段，再到BC段中點D，這次若發(fā)現(xiàn)BD段正常，則故障在CD段，再到CD中點E來查.每查一次，可以把待查的線段縮減一半，要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50～100m左右，即一兩根電線桿附近，只要7次就夠了.情境導(dǎo)入（1）上述情景中，工人師傅是通過什么方法縮小故障范圍的？提示:通過不斷地把需要檢測的范圍一分為二進行檢查.

（2）工人師傅選擇下次在哪個范圍內(nèi)爬電線桿子的關(guān)鍵是什么？（3）如果把故障可能發(fā)生的范圍縮小在200m左右，至多需要爬幾次電線桿子？【思考】提示:確定故障所在的范圍，來確定爬哪根電線桿子.

提示:6次.

情境導(dǎo)入ab

我們已經(jīng)知道，函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2，3)內(nèi)存在一個零點,進一步問題是，我們?nèi)绾吻蟪鲞@個零點？

一個直觀的想法是：如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，就可以得到符合要求的零點的近似值。

為了方便，可以通過取區(qū)間中點的方法，逐步縮小零點所在的范圍.知識點

二分法用二分法求方程lnx+2x-6=0在區(qū)間(2,3)內(nèi)的近似解(精確度0.1)f(2)=-1.3069<0,f(3)=1.09806>0,f(2)f(3)<0,算得f(2.5)=-0.084<0,f(2.5)f(3)<0,解:設(shè)f(x)=lnx+2x-6,原方程的近似解為x0所以x0

∈(2,3)；取區(qū)間(2,3)的中點x1=2.5,所以x0∈(2.5,3)；取區(qū)間(2.5,3)的中點x1=2.75,從而x0

∈(2.5,2.75)．算得f(2.75)=0.512>0,f(2.5)f(2.75)<0,由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)所以零點的范圍變小了.如果重復(fù)上述步驟，那么零點所在的范圍會越來越小.知識點

二分法(4)判斷是否達到精確度ε:若|a-b|<ε,則得到零點近似值a(或b);否則重復(fù)步驟(2)~(4).(1)確定零點x0的初始區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)<0;(2)求區(qū)間(a,b)的中點c;(3)計算f(c),并進一步確定零點所在的區(qū)間:①若f(c)=0(此時x0=c),則c就是函數(shù)的零點；

②若f(a)f(c)<0(此時x0∈(a,c)),則令b=c;

③若f(c)f(b)<0(此時x0∈(c,b)),則令a=c.

根據(jù)下表計算函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2，3)內(nèi)精確度為0.01的零點近似值？

區(qū)間（a，b）中點值cf(c)的值精確度|a-b|（2，3）2.5-0.0841（2.5，3）2.750.5120.5（2.5，2.75）2.6250.2150.25（2.5，2.625）2.56250.0660.125（2.5，2.5625）2.53125-0.0090.0625（2.53125，2.5625）2.5468750.0290.03125（2.53125，2.546875）2.53906250.010.015625（2.53125，2.5390625）2.535156250.0010.007813因為|2.5390625-2.53125|=0.007813<0.01,

所以

x=

2.53125(或2.5390625)為函數(shù)f(x)=lnx+2x-6零點的近似值。知識點

二分法1.定義:對于在區(qū)間[a,b]上

且

的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

圖象連續(xù)不斷

f(a)f(b)<02.用二分法求函數(shù)y=f(x)零點x0的近似值的一般步驟如下:(1)確定零點x0的初始區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)<0;

所給區(qū)間端點處函數(shù)值異號是應(yīng)用二分法求零點的前提條件(2)求區(qū)間(a,b)的中點c;(3)計算f(c),并進一步確定零點所在的區(qū)間:①若f(c)=0(此時x0=c),則c就是

;

②若f(a)f(c)<0(此時x0∈(a,c)),則令

;

③若f(c)f(b)<0(此時x0∈(c,b)),則令

.

(4)判斷是否達到精確度ε:若|a-b|<ε,則得到零點近似值a(或b);否則重復(fù)步驟(2)~(4).函數(shù)的零點

b=ca=c(1)注意題目要求的精確度，它決定著二分法何時結(jié)束；(2)在第四步中，一般由|a－b|<ε取零點近似值為a或b.(3)只有滿足函數(shù)圖象在零點附近連續(xù),且在該零點左右函數(shù)值異號時,才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)零點.注意：[過關(guān)自診]下列函數(shù)圖象與x軸均有交點,其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是(

)A知識點

二分法[過關(guān)自診]用二分法求函數(shù)f(x)的一個正實數(shù)零點時,經(jīng)計算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,則函數(shù)的一個精確度為0.1的正實數(shù)零點的近似值為(

)A.0.9 B.0.7

C.0.5

D.0.4B解析

由題意可知函數(shù)的零點在區(qū)間(0.68,0.72)內(nèi),四個選項中只有0.7滿足|0.7-0.68|<0.1.故選B.知識點

二分法知識點

二分法[過關(guān)自診]已知函數(shù)f(x)=x3-x2+5在x∈[-2,-1]上有零點,用二分法求零點的近似值(精確度小于0.1)時,至少需要進行

次函數(shù)值的計算.4探究點一二分法概念的理解【例1】

(1)若二次函數(shù)f(x)=2x2+3x+m存在零點,且能夠利用二分法求得此零點,則實數(shù)m的取值范圍是

.

(2)若函數(shù)f(x)=log3x+x-3的一個零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算,參考數(shù)據(jù)如下:f(2)≈-0.3691

f(2.5)≈0.3340f(2.25)≈-0.0119

f(2.375)≈0.1624f(2.3125)≈0.0756

f(2.28125)≈0.0319則方程x-3+log3x=0的一個近似解(精確度0.1)可以為(

)A.2.1 B.2.2

C.2.3

D.2.4C解析

由參考數(shù)據(jù)可知f(2.25)f(2.312

5)<0,且|2.312

5-2.25|=0.062

5<0.1,所以當(dāng)精確度為0.1時,可以將x=2.3作為函數(shù)f(x)=log3x+x-3零點的一個近似值,也即為方程x-3+log3x=0的一個近似解.規(guī)律方法1.二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二,逐步逼近零點的方法,找到零點附近足夠小的區(qū)間,根據(jù)所要求的精確度,用此區(qū)間的某個數(shù)值近似地表示真正的零點.2.只有滿足函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)且在該零點左右函數(shù)值異號才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)零點.變式訓(xùn)練1(1)下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是(

)A.f(x)=2x+3B.f(x)=lnx+2x-6C.f(x)=x2-2x+1D.f(x)=2x-1C解析

因為f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以在零點的左右兩側(cè)函數(shù)值同號,不能用二分法求其零點,故選C.(2)用二分法求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,4)上的唯一零點近似值時,已知f(2)f(4)<0,取區(qū)間(2,4)的中點x1=

=3,計算得f(2)f(x1)<0,則函數(shù)零點所在的區(qū)間是(

)A.(2,4) B.(2,3)C.(3,4) D.無法確定B解析

由f(2)f(4)<0,f(2)f(3)<0知f(3)f(4)>0.故函數(shù)零點所在的區(qū)間是(2,3).探究點二用二分法求函數(shù)的零點的近似值【例2】

求函數(shù)f(x)=x2-5的負(fù)零點的近似值(精確度0.1).解

由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取區(qū)間[-3,-2]作為計算的初始區(qū)間.用二分法逐次計算,列表如下:零點所在區(qū)間中點的值中點函數(shù)值(近似值)(-3,-2)-2.51.25(-2.5,-2)-2.250.0625(-2.25,-2)-2.125-0.4844(-2.25,-2.125)-2.1875-0.2148(-2.25,-2.1875)-2.21875-0.0771由于|-2.25-(-2.187

5)|=0.062

5<0.1,所以函數(shù)的一個近似負(fù)零點可取-2.25.規(guī)律方法用二分法求函數(shù)零點的近似值應(yīng)遵循的原則及求解流程圖(1)依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間[m,n](這個區(qū)間既要包含所求的解,又要使其長度盡可能地小,區(qū)間的端點盡量為整數(shù)).(2)取區(qū)間端點的平均數(shù)c,計算f(c),確定有解區(qū)間是(m,c)還是(c,n),逐步縮小區(qū)間的“長度”,直到區(qū)間的長度符合精確度要求(這個過程中應(yīng)及時檢驗所得區(qū)間端點差的絕對值是否達到給定的精確度),才終止計算,得到函數(shù)零點的近似值(為了比較清晰地表達計算過程與函數(shù)零點所在的區(qū)間往往采用列表法).探究點三轉(zhuǎn)化與化歸思想在二分法中的應(yīng)用以下用二分法求其零點的近似值.由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取區(qū)間[1,2]為計算的初始區(qū)間.用二分法逐次計算,列表如下:零點所在區(qū)間中點的值中點函數(shù)值(近似值)(1,2)1.51.375(1,1.5)1.25-0.0469(1.25,1.5)1.3750.5996(1.25,1.375)1.31250.2610(1.25,1.3125)1.281250.1033(1.25,1.28125)1.2656250.0273(1.25,1.265625)1.2578125-0.0100(1.2578125,1.265625)

由于區(qū)間(1.257

812

5,1.265

625)的長度為1.265

625-1.257

812

5=0.007

812

5<0.01,規(guī)律方法1.求根式的近似值,實質(zhì)上就是將根式轉(zhuǎn)化為方程的無理根,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點,通過二分法求解.2.二分法思想的實質(zhì)是一種逼近思想,所求值與近似值間的差異程度取決于精確度ε.探究點四二分法的實際應(yīng)用【例4】

現(xiàn)有12個小球,從外觀上看完全相同,除了1個小球質(zhì)量不合標(biāo)準(zhǔn)外,其余的小球質(zhì)量均相同,用同一架天平(無砝碼),限稱三次,把這個“壞球”找出來,并說明此球是偏輕還是偏重.如何稱?解

先在天平左右各放4個球.有兩種情況:(1)若天平平衡,則“壞球”在剩下的4個球中.取剩下的4個球中的3個球放天平的一端,取3個好球放天平的另一端,①若仍平衡,則“壞球”為4個球中未取到的那個球,將此球與1個好球放上天平比一比,即知“壞球”是輕還是重;②若不平衡,則“壞球”在天平一端的3個球之中,且知是輕還是重.任取其中2個球分別放在天平左右兩端,無論平還是不平,均可確定“壞球”.(2)若不平衡,則“壞球”在天平上的8個球中,不妨設(shè)天平右端較重.從右端4個球中取出3個球,置于一容器內(nèi),然后從左端4個球中取3個球移到右端,再從外面好球中取3個補到左端,看天平,有三種可能.①若平衡,則“壞球”是容器內(nèi)3個球之一且偏重;②若左端重,“壞球”已從左端換到右端,因此,“壞球”在從左端移到右端的3個球中,并且偏輕;③若右端重,據(jù)此知“壞球”未變動位置,而未被移動過的球只有兩個(左右各一),“壞球”是其中之一(暫不知是輕還是重).顯然對于以上三種情況的任一種,再用天平稱一次,即可找出“壞球”,且知其是輕還是重.規(guī)律方法二分法在實際問題中的應(yīng)用二分法的思想在實際生活中的應(yīng)用十分廣泛,在電線線路、自來水管道、煤氣管道等鋪設(shè)線路比較隱蔽的故障排除方面有著重要的作用,當(dāng)然在一些科學(xué)實驗設(shè)計及資料的查詢方面也有著廣泛的應(yīng)用.變式訓(xùn)練3在26枚嶄新的金幣中,有一枚外表與真金幣完全相同的假幣(質(zhì)量小一點),現(xiàn)在只有一架天平,則應(yīng)用二分法的思想,最多稱

次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣.

3解析

從26枚金幣中取18枚,將這18枚金幣平均分成兩份,分別放在天平兩端,(1)若天平不平衡,則假幣一定在質(zhì)量小的那9枚金幣里面.從這9枚金幣中拿出6枚,然后將這6枚金幣平均分成兩份,分別放在天平兩端,若天平平衡,則假幣一定在剩下的那3枚金幣里;若不平衡,則假幣一定在質(zhì)量小的那3枚金幣里面,從含有假幣的3枚金幣里取兩枚,分別放在天平兩端,若天平平衡,則剩下的那一枚是假幣,若不平衡,則質(zhì)量小的那一枚是假幣.(2)若天平平衡,則假幣在剩下的8枚金幣里,從這8枚金幣中取6枚,將這6枚金幣平均分成兩份,分別放在天平兩端,若天平平衡,假幣在剩下的兩枚里,將這兩枚金幣放在天平兩端,質(zhì)量小的為假幣.若天平不平衡,假幣在質(zhì)量小的3枚里.在含有假幣的金幣里取2枚分別放在天平左右兩端,即可找到假幣.綜上可知,最多稱3次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)二分法的定義.(2)利用二分法求函數(shù)零點、方程近似解的步驟.(3)二分法在實際問題中的應(yīng)用.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸、二分法.3.常見誤區(qū):二分法并不適用于求所有零點,只能用于求函數(shù)的變號零點.成果驗收·課堂達標(biāo)檢測123451.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖,其中零點的個數(shù)及可以用二分法求其零點的個數(shù)分別為(

)A.4,4 B.3,4

C.5,4

D.4,3D解析

由題圖知函數(shù)f(x)與x軸有4個公共點,因此零點個數(shù)為4,從左往右數(shù)第4個公共點橫坐標(biāo)的左右兩側(cè)的函數(shù)值同號,因此不能用二分法求該零點,而其余3個均可使用二分法來求.故選D.123452.用二分法求函數(shù)的零點,經(jīng)過若干次運算后函數(shù)的零點在區(qū)間(a,b)內(nèi),當(dāng)|a-b|<ε(ε為精確度)時,函數(shù)零點的近似值x0=與真實零點的誤差最大不超過(

)B123453.用二分法求函數(shù)f(x)=-x3-3x+5的近似零點時的初始區(qū)間是(

)A.(1,3) B.(1,2)C.(-2,-1) D.(-3,-2)B解析

∵f(1)=1,f(2)=-9,f(-1)=9,f(-2)=19,f(3)=-31,∴f(1)f(2)<0.又函數(shù)f(x)=-x3-3x+5的定義域為R