江西省贛州市十四縣2024屆數(shù)學(xué)高二年級上冊期末檢測模擬試題含解析

江西省贛州市十四縣2024屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.‘'楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而

成的三角形數(shù)陣，記知為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成的數(shù)列｛q｝的第〃項，則即）的值為（）

A.45B.55

C.66D.67

2.數(shù)列1,6,15,28,45,…中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第10個六

邊形數(shù)為（）

A.153B.190

C.231D.276

22

3.已知橢圓三+=二|的右焦點(diǎn)為￡（4,0）,則正數(shù)〃?的值是（）

25tn~

A.3B.4

C.9D.21

4.已知隨機(jī)變量7服從正態(tài)分布N（l,b9,且P（/<2）=0.6,則P（0<C<l）=（）

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

5.某商場為了解俏售活動中某商品銷售量〉'與活動時間x之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了某5次銷售活動中的商品俏售量與

活動時間，并制作了下表：

活動時間X24568

銷售量）'2540607080

由表中數(shù)據(jù)可知，銷售量〉'與活動時間'之間具有線性相關(guān)關(guān)系，算得線性回歸方程為），=區(qū)+6.25,據(jù)此模型預(yù)測

當(dāng)x=7時，），的值為（）

A72.5B.73.5

C.74.5D.75.5

6.下列命題中正確的是（）

A.拋物線C:），2=-4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）

B.拋物線C:丁二-4X的準(zhǔn)線方程為x=-1

C.拋物線。：產(chǎn)=2/*的圖象關(guān)于*軸對稱

D.拋物線C:_/=2px的圖象關(guān)于），軸對稱

7.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、

石瓢壺、潘壺等.其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺（即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的）.下圖給

出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位:“〃）,那么該壺的容量約為（）

A.IOOC/TJ3B.200。/

C.300cm3D.400cm3

r22

8.已知雙曲線。：彳一v%=l（Q>0］〉0）的左焦點(diǎn)為凡O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M,N兩點(diǎn)分別在C的左、右兩支上，若

四邊形ORWN為菱形，則。的離心率為（）

A?&+1B,75

C.A/3+1D.2近

9.已知實數(shù)乂丁滿足/+）?=4（）,20）,則〃7==.的取值范圍（）

A.-l<m<—B.-l<m<0或0<//i<—

33

C./n2!或〃"TD./zi>1或，〃?T

3

10.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)到

與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.如數(shù)列1,3,6,10,

前后兩項之差組成新數(shù)列2,3,4,新數(shù)列2,3,4為等差數(shù)列、這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列,

其前7項分別為2,3,5,8,12,17,23則該數(shù)列的第100項為（）

A.4862B.4962

C.4852D.4952

11.下列命題中的假命題是（）

A.VreR,x2+x+l>0

B.存在四邊相等的四邊形不是正方形

C.“存在實數(shù)X,使的否定是“不存在實數(shù)X,使上41”

D.若XywR且則人，丁至少有一個大于1

12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）

A.-10B.6

C.8D.14

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

20.（12分）如圖，正方體AACD-AMGR的棱長為4,E,尸分別是8C,C。上的點(diǎn)，且/石=，尸=3.

：、'/

:/\

（1）求B/與平面8CG片所成角的正切值；

（2）求證：B,F±D,E.

21.（12分）如圖，在直三棱柱4BC-A5G中，AC1BC,AC=BC=｝f4A=2.M為側(cè)棱8片的中點(diǎn)，連接

,C,M,CM.

G

7

;Af

L?"7

AB

（1）證明：AC〃平面4aM；

（2）證明：CM_L平面AGM；

（3）求二面角G-AM一片的大小.

22.（10分）已知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,且q+1,%+1，%+2成等比數(shù)列.

（1）求他〃｝的通項公式；

4

（2）求數(shù)列一二的前〃項和S”.

a—1

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】根據(jù)楊輝三角可得數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累加法可得數(shù)列的通項公式與

【題目詳解】由已知可得數(shù)列的遞推公式為4一。小=〃，〃之2且〃wN"，且4=1，

故4-Qi=〃，

an_｛-an_2=n-\f

an-2味=n2，

L

%-=3,

tz2-tZ1=2,

等式左右兩邊分別相加得an-ax=z?+(/?-1)+(n-2)4---1-3+2=("+2)("Q_〃+”2),

n2+〃-2n2+〃/、c、

%=q+—2—=^—(壯2)

IO2+1O”

4o=-7=55?

故選：B.

2、B

【解題分析】細(xì)心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時聯(lián)系相關(guān)知識,如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，結(jié)合圖形

可知，4=1=1x1,a2=6=2x3,a3=15=3?5,a4=28=4x7,a5=45=5x9,…，an=,據(jù)此即

可求解.

【題目詳解】由題意知，數(shù)列｛〃“｝的冬項為1,6,15,28,45,...

所以q=1=1x1,%=6=2x3,Oy-15-3?5,

a4=28=4x7,a5=45=5x9,…，an=n(2n-\),

所以4O=1OX19=19O.

故選：B

【題目點(diǎn)撥】本題考查合情推理中的歸納推理；考查邏輯推理能力；觀察分析、尋求規(guī)律是求解本題的關(guān)鍵；屬于中

檔題、探索型試題.

3、A

【解題分析】由/=82+02直接可得.

【題目詳解】由題知c=4,"=25

所以，/=25-4?=9,因為機(jī)>0,所以〃?=3.

故選：A

4、A

【解題分析】利用正態(tài)分布的對稱性和概率的性質(zhì)即可

【題目詳解】由且PC<2)=0.6

則有：P(l<<<2)=0.6-0.5=0.1

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知：尸(0v：<1)二尸(1v：<2)=0.1

故選：A

5、C

【解題分析】求出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸直線方程，求出〃的值，再將x=7代入回歸方程即可得解.

2+4+5+6+8-25+40+60+70+8()”

【題目詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得嚏二=5,y=-----------------=55,

55

將樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程可得5〃+6.25=55，解得〃=9.75，

所以，回歸直線方程為y=9.75x+6.25,故當(dāng)x=7時，)，=9.75x7+6.25=745

故選：C.

6、C

【解題分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)逐項分析可得答案.

【題目詳解】拋物線C：V=-4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),故A錯誤;

拋物線。：丁二一4%的準(zhǔn)線方程為x=l,故B錯誤；

拋物線。：）3=2〃式的圖象關(guān)于工軸對稱，故C正確，D錯誤；

故選：C.

7、B

【解題分析】根據(jù)圓臺的體積等于兩個圓錐的體積之差，即可求出

力一46

【題目詳解】設(shè)大圓錐的高為〃，所以‘丁二=，解得力=10

h10

故\Z=，4x52xl0—，4x32x6=.4d200cm3

333

故選：B

【題目點(diǎn)撥】本題主要考查圓臺體積的求法以及數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

8、C

【解題分析】由題意可得|仰|=|0?/|=10/1=。且5^//0尸，從而求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，將其代入雙曲線方程中，即

可得出離心率.

【題目詳解】由題意尸（一c,o）,四邊形MVO9為菱形，如圖，則|AW|=|ON|=|OP|=c?且

,M,N分別為C的左，右支上的點(diǎn)，設(shè)M點(diǎn)在第二象限，N在第一象限.由雙曲線的對稱性，可得.5=],過點(diǎn)N

作N〃_Lx軸交工軸于點(diǎn)H,貝1」[07|二。，|0叫=）肋"=）0%|=,，所以NNO”=60。,貝!1|NH|=且c,所以

2222

N5,半c,所以二—二=1,13C%2=4/〃，即?4—81+4=0,解得，=4+26,或

（22）4a-43

?2=4-26，由雙曲線的離心率e>l,所以取/=4+26，則e=J5+l

【解題分析】把，〃=甘看成動點(diǎn)（刀，），）與所確定的直線的斜率，動點(diǎn)在所給曲線上.

【題目詳解】〃入號

就是點(diǎn)?y），（一1，一1）所確定的直線的斜率，而（乂y）在f+y2=4（yN0）上,因為

10、D

【解題分析】根據(jù)題意可得數(shù)列2,3,5,8,12,17,23,…，滿足：勺—。，一=〃一1（〃22）,?,=2,從而利用累

加法即可求出狐，進(jìn)一步即可得到。必的值

【題目詳解】2,3,5,8,12,17,23,…后項減前項可得1,2,3,4,5,6,

所以=〃-1（〃22），4=2,

所以為二（凡一凡一|）十一a,一）十一?十（出一4）+4

=(〃_l)+(-2)+L+1+2=(j?(〃T)+2二匹＞+2,〃22.

100x99

所以4oo二+2=4952.

故選：D

11、C

【解題分析】利用簡易邏輯的知識逐一判斷即可.

(1\3

【題目詳解】x2+x+l=x+-+『。，故A正確;

I2)

菱形的四邊相等，但不一定是正方形，故B正確；

“存在實數(shù)使x〉l”的否定是“對任意的實數(shù)x都有工<1"，故C錯誤;

假設(shè)xWl且yWl,則x+yW2,與x+y>2矛盾，故D正確;

故選；c

12、B

【解題分析】寫出每次循環(huán)的結(jié)果，即可得到答案.

【題目詳解】當(dāng)S=20,i=l時，/=2.S=20-2=18,2<5,

,=4,5=18-4=14,4<5；

Z=8,5=14-8=6,此時8>5,退出循環(huán)，

輸出的S的為6.

故選：B

【題目點(diǎn)撥】本題考查程序框圖的應(yīng)用，此類題要注意何時循環(huán)結(jié)束，建議數(shù)據(jù)不大時采用寫出來的辦法，是一道容

易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13⑺

2

【解題分析】以令，0方向為X）、軸，垂直于。，與方向為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得〃坐標(biāo)，由二次

函數(shù)求最值即可求得最小值.

【題目詳解】以e；,g方向為X，）軸，垂直于e；,七方向為二軸建立空間直角坐標(biāo)系，則q=（1,0,0）,6=（。，1，0），

1*11-11.--—-

由e2，e3=4芻=5可設(shè)/=（弓，5,4）,由/是單位空間向量可得內(nèi)=（一,一?>由。?G=。?/=2可設(shè)

22222

,\a-xel-ye?I的最小值是

Q直入36入r

〃一祀33=（^---一萬，2—

Ia-雞1=J(乎-92+(乎—箝(2—42)I2=&-5仞+13>

當(dāng)冗=半時，|々丸與/義任〃）最小值為孝?

故答案為：叵

2

9

14、

4

【解題分析】設(shè)P,A8的坐標(biāo)，用點(diǎn)差法求和勺與左。0的關(guān)系同，區(qū)與自七的關(guān)系，然后表示出44+k2,求得最大

值

【題目詳解】設(shè)P（%,），0）,4%，凹），口々，%），

（/一%）（%+%）

則,,兩式相減得+（）’0一）’1）（為+%）二（），

”：=1

??”9=%）+內(nèi)

T7，K＜。，則k°D＞。,

飛一X2（%+X）2x2%^KOD

同理心=-百一，臉＞。,

乙KOE

又k（）D+k0E=2,

一,2121

A4kl+心=------------------+--------

k（）D2kOEk（）D2k°E）

_145

211z,,、21kOD＞1-（-+2《‘當(dāng)且僅當(dāng)'即

廠+1=5（%）+曝）-....--------1--------------1-----------

92

KODK°E」k°D2kosJ212kOD2卜?！?

自￡=|，％8=3時等號成立，

“2,

/.4kl+K2=-

4

Q

故答案為：-丁

4

【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓相交問題，考查橢圓弦中點(diǎn)問題.橢圓中涉及到弦的中點(diǎn)時，常常用

點(diǎn)差法確定關(guān)系，即設(shè)弦端點(diǎn)為4元一4）,832，刈），弦中點(diǎn)為M（/，%），

.21

把A3兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，相減后可得38=入二&=-3?『

王一式2T*

15、54

【解題分析】由刁-7==J￡R-J7利用裂項相消法求得s“，再由[司的定義求解.

VH+1+W

【題目詳解】由已知可得：a“=J雇工一?,

S〃=q+③++cin=V2—1+>/3—5/2++A/Z?+1—y/n=J〃+1—1,

當(dāng)〃=1,2時，V2-l<V?+T-l<>/4-l?[\A1+T-1J=O；

當(dāng)〃=3,4,5,6,7時，x/4-l<7?+1-1<\/9-1，[J〃+1-1]=1；

當(dāng)“=8,9,10,...,14時，V9-1<V^+T-1<V16-H[\M+I-1]=2；

當(dāng)〃=15,16,17,...,23時，V16-1<VH+I-1<\/25-1，[7^+1-1]=3；

當(dāng)〃=24.25時，[,24+1-1]=4；[525+1-|]=4；

所以[51+[S2]+L+[5^]=2X0+5X1+7X2+9X3+2X4=54.

故答案為：54.

16、-4

【解題分析】首先求出〃+的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直得到(。+8)"=0,即可得到方程，解得即可；

【題目詳解】解：因為向量〃=(2,-1,3),〃=(-4,2㈤，c=(l,-x,2),所以向量￡+1=(-2,l,x+3),因為

(a+b)lc,所以(〃+/?)?(?=(),即-2xl+lx(—戈)+2(工+3)=0,解得％=-4

故答案為：-4

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

QQ

17、(1)A以3:0獲勝、以3:1獲勝的概率分別是二二；

2727

(2)分給A,8分別2000元，700元

【解題分析】(1)A以3:0獲勝、以3:1獲勝，則分別要連勝三局，前三局勝兩局輸一局，第四局勝利；(2)求出若

兩局1:1之后正常結(jié)束比賽時，4B的勝率，按照勝率分獎金.

【小問1詳解】

設(shè)A以3:0獲勝、以3:1獲勝的事件分別為C。，依題意要想3:0獲勝，必須從第一局開始連勝3局，

P(C)=-1:要想3:1獲勝，則前3局只能勝2局，且第4局勝利，故概率P(D)=C；X(2]X1X-=A；

273UJ3327

【小問2詳解】

設(shè)前兩局雙方戰(zhàn)成1:1后A勝，8勝的事件分別為E尸.若A勝，則可能連勝3,4局，或者3,4局只勝1場，第5局勝，

故概率尸Cl倉^由于兩人比賽沒有和局，A獲勝的概率為則3獲勝的概率為!，若B

33~3332733

勝，則可能連勝3,4局，或者3,4局只勝1場，第5局勝，故概率P（F）=!?!C；倉g故獎金應(yīng)分給

33-33327

207

A：2700?—2000TO,分給5:2700x—=700元.

2727

18、（1）0

（2）證明見解析，定值為1

【解題分析】（1）設(shè)出直線A4的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得。4

IMFI2IMFI

（2）求得過夕點(diǎn)的拋物線的切線方程，由此求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，通過化簡扇來證得扇為定值，并求得

定值.

【小問1詳解】

依題意可知直線AB的斜率不為零，設(shè)直線AB的方程為x=my+4t

設(shè)A（X，X），3（W，%），

，消去*并化簡得.尸一4町-16=5

所以）'iK=-16,X[X,=—?—='=16?

1■1-4416

所以O(shè)AOB=xyx2+yiy2=0.

小問2詳解】

拋物線方程為V=4x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（1,0）,

準(zhǔn)線4：a"，通徑所在直線小工=1，

2

。（與,為）在拋物線上，且）'。工0,=

所以過尸點(diǎn)的拋物線的切線的斜率存在且不為零，

設(shè)過2點(diǎn)的切線方程為＞—%=%（工一5），攵工0

由卜”消去X并化簡得。）'2一）'+為一依。=°，

y~=4工4

△=（一1『一4（.（%一線）=0,

22

將與=&代入上式并化簡得(60-2)2=0,解得&=一

4)o

2/、

所以切線方程為y-%=一?(%-%),

)0

2-2x

令％—1得％=------0-+y,

%0

令工二一|得)九=2八,+%,

將$=4%代入上式并化簡得罌5=1，

IN/(2+2x0)

所以需為定值，且定值為1?

|N/|

19、(1)-二=1,x>3：

93

(2)過，(12,-6).

【解題分析】(1)根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)出直線/的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式

進(jìn)行求解判斷即可.

【小問1詳解】

設(shè)圓￡的圓心為E(X,y),半徑為r,

17I

則|EM|=r+q""E7V|=一；,所以|94一|硒|=6<|朋/7|

由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)、實軸長為6的雙曲線的右支，

所以動畫的圓心E的軌跡方程為二一乙=1,x>3；

93

【小問2詳解】

設(shè)A(N，X),3(天,必)，直線/的方程為x=2y+/

'21=]>3

由V93"“一J得卜/-3))“+2"〃)，+—一9=0,且/"一300,

x=niy+/,

-2mt

故i：；又PAPB=0,所以(西一6)(%-6)+()1-3)(%-3)=0

t-y

Xy2=27-

m-3

又玉二，孫+/,4=，%+/，

所以P4=(my+/-6)(my2+—6)+(y-3)(必一3)

2

二(〃「+l)y)，2+(加，-6〃?-3)(y+y2)+(r-6)+9

(/n2+l)(/2-9)-2/nr(/nr-6m-3)+(72-12r+45)(w2-3)

nV-3

即18加2+3皿一產(chǎn)+1&-72=0?又

18〃4-3w/-r2+18A-72=18/n2+3〃〃一(7一6)(/-12)=(36+，一6)(6加一1+12)=0,故/=6〃i+12或

r=-3777+6

若，=-淅+6,則直線，的方程為x=〃?(y-3)+6,

過點(diǎn)尸(6,3),與題意矛盾，所以*一3m+6,故，=6m+12,

所以直線/的方程為x=m(y+6)+12,過點(diǎn)(12,-6)

【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2。、⑴皚

(2)證明見解析.

【解題分析】⑴在正方體4BCO-A3G。中，CQ1平面8CC；4,連接綽工則/F&C為與平面BCCM所

成的角，在直角三角形求出tanNP4c即可;

⑵???是正方體，又是空間垂直問題，???易采用向量法，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,欲證

只須證4E,B7=0,再用向量數(shù)量積公式求解即可.

【小問1詳解】

在正方體AACO-ABGR中，CO_L平面8CC與，

連接々C,則/尸片。為用尸與平面BCGB1所成的角,

又/耳C尸=90。，CF=3,8c=40,

???3/用。=需=￥

【小問2詳解】

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA、DC、。。分別x軸、），軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則D(0,0,0),D,(0,0,4),E(l,4,0),F(0,1,0),(4,4,4),

UUINLIULE

/.D(E=(l,4,-4),gE=(-4,-3,-4),

UUUVUUIK'

:,口石超尸=lx(-