“雞兔同籠”單元教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)思想方法的滲透可以加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，降低學(xué)習(xí)難度，拓展學(xué)生思維，是教師培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑?！半u兔同籠”是人教版數(shù)學(xué)四年級下冊的內(nèi)容，具有滲透數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗等教學(xué)功能，具有較大的探究空間。本文結(jié)合“雞兔同籠”單元內(nèi)容，闡述其所蘊含的窮舉法、假設(shè)法、化歸法等數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵，并通過具體案例探討這些數(shù)學(xué)思想方法在單元教學(xué)中滲透的過程。一、窮舉法——解決“雞兔同籠”問題的基礎(chǔ)方法窮舉法的基本思想是在解決有關(guān)計數(shù)問題時，如果需要計算的次數(shù)不多，我們通常把要計數(shù)的所有對象一一列舉出來，逐一驗證，若某個情況符合題目的全部條件，則為所求的一個解，若都不符合則無解。教師可以出示如下例題教學(xué)窮舉法：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭；從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”窮舉法的本質(zhì)是先猜測雞、兔各幾只，并按順序列舉出所有可能（如下表所示），再根據(jù)總結(jié)出的關(guān)系式找出正確答案，即雞有3只、兔有5只時腳有26只。列表后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用畫圖法直觀地表示出雞和兔的數(shù)量變化所引起的腳的總只數(shù)的變化，同樣可以獲得雞有3只、兔有5只時腳總數(shù)為26只的結(jié)果。教學(xué)列表法和畫圖法后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生說一說這兩種方法的優(yōu)劣，即當(dāng)雞和兔的數(shù)量比較少時用這兩種方法比較簡便，但數(shù)量大了，這兩種方法使用起來就不方便了，從而引出使用假設(shè)法解決問題的必要性。二、假設(shè)法——解決“雞兔同籠”問題的一般方法假設(shè)法就是根據(jù)題目中的已知條件或結(jié)論做出某種假設(shè)，然后根據(jù)已知條件推算，最后根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾做適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案。假設(shè)法本質(zhì)上是轉(zhuǎn)化的思想方法。用假設(shè)法解決一般的“雞兔同籠”問題。教師可以將兩種動物都假設(shè)成雞或兔，引導(dǎo)學(xué)生計算相應(yīng)的頭數(shù)和腳數(shù)，并與實際數(shù)量做對比，然后通過調(diào)整雞或兔的只數(shù)使腳的數(shù)量與實際相符，從而得到所求問題的答案。具體地講，假設(shè)8只都是雞，則應(yīng)有“8×2＝16”只腳，比實際腳數(shù)少“26－16＝10”只，說明8只雞中有一些是兔子，每用1只兔換走1只雞，可增加“4－2＝2”只腳，所以共有兔“10÷2＝5”只，則雞有“8－5＝3”只。假設(shè)8只都是兔，也可以得到相同的答案。分析兩種假設(shè)方法后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生歸納出用假設(shè)法解決雞兔同籠問題的步驟“假設(shè)—比較—調(diào)整—驗證”，以強化學(xué)生對假設(shè)法結(jié)構(gòu)特點的認(rèn)知。用假設(shè)法解決生活中的問題——“雞兔同籠”變式題。例如，教材練習(xí)中的第6題第（1）小題：“學(xué)校舉辦知識搶答比賽，答對一題加10分，答錯一題扣6分，3號選手共搶答8題，最后得64分。他答對了幾題？”教師要重點引導(dǎo)學(xué)生理解“加10分”對應(yīng)“兔腳”，“扣6分”對應(yīng)“雞腳”，“8題”對應(yīng)“總頭數(shù)”，“64分”對應(yīng)“總腳數(shù)”。如此，學(xué)生就能模仿上題的解法來解題：假設(shè)8題全對，應(yīng)得“8×10=80”分，比實際得分多“80-64=16”分，答錯1題比答對1題少得“10+6=16”分（這是本題的難點），所以，答錯的題數(shù)為“（80-64）÷（10+6）=1”道，則答對的題數(shù)為“8-1=7”道，再用“7×10-6=64”驗證結(jié)果正確。最后，學(xué)生歸納：解決“雞兔同籠”變式題，關(guān)鍵是找到變式問題與原問題中各數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系，形成解決此類問題的一般策略。三、化歸法——對復(fù)雜“雞兔同籠”問題進行轉(zhuǎn)化“化歸”就是轉(zhuǎn)化、歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)中的化歸思想方法就是把直接應(yīng)用已有知識不能或不易解決的問題，轉(zhuǎn)化為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決。用化歸法對古代數(shù)學(xué)趣題進行轉(zhuǎn)化。教材主題圖給出《孫子算經(jīng)》中的趣題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？教材化繁為簡，將問題轉(zhuǎn)化為“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭；從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”這樣轉(zhuǎn)化后，學(xué)生可以更好地利用畫圖法和列表法解決問題。用化歸法對練習(xí)中的拓展題進行轉(zhuǎn)化。教材在練習(xí)中給出《算法統(tǒng)宗》中的“百僧百饃”問題：“100個和尚吃100個饅頭。大和尚一人吃3個，小和尚3人吃一個。大、小和尚各多少人？”這道題的難點是，如果用常規(guī)的假設(shè)法解答會出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，四年級學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法，需要用化歸思想把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)來計算。首先，假設(shè)1個小和尚吃的為1份，則1個饅頭為3份，同理，1個大和尚吃的是9份；其次，假設(shè)100人都是小和尚，比實際少吃了“100×3-100×1=200”份，每用1個大和尚替換1個小和尚就會多吃“9-1=8”份，所以大和尚人數(shù)為“200÷8=25”人，則小和尚人數(shù)為“100-25=75”人。用化歸法對多個對象的“雞兔同籠”問題進行轉(zhuǎn)化。在寒假、暑假作業(yè)或綜合復(fù)習(xí)題中會出現(xiàn)多個對象的“雞兔同籠”問題，我們可以通過合并對象，將問題簡化為兩個對象的問題來解決。例如：蜘蛛、蜻蜓、蟬共18只，它們共有118條腿、20對翅膀（蜘蛛有8條腿；蜻蜓有6條腿，兩對翅膀；蟬有6條腿，一對翅膀），蜻蜓有多少只？解決此題，我們首先應(yīng)把都有6條腿的蜻蜓和蟬看成一類（暫不考慮翅膀數(shù)量），根據(jù)蜘蛛有8條腿、蜻蜓和蟬都有6條腿，以及它們一共有118條腿，用假設(shè)法得到蜘蛛有“（118-6×18）÷（8-6）=5”只，那么，蜻蜓和蟬共有“18-5=13”只；然后，根據(jù)蜻蜓和蟬的翅膀數(shù)量推算它們各有多少只，即蜻蜓有“（20-1×13）÷（2-1）=7”只，蟬有“20-7=13”只。四、對應(yīng)法——古人解決“雞兔同籠”問題的方法對應(yīng)思想指人的思維對兩個集合間聯(lián)系的把握，即利用數(shù)量間的對應(yīng)關(guān)系思考數(shù)學(xué)問題。尋找數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系是解答應(yīng)用題的一種重要的思維方式。我們分析上文所述古代趣題“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？”原本雞是1個頭對應(yīng)2只腳，兔是1個頭對應(yīng)4只腳。為了求出雞和兔的數(shù)量，古人進行了下面的操作：每只雞抬起一只腳，每只兔抬起兩只腳，使腳的總數(shù)減少一半，即為“94÷2=47”只，此時對應(yīng)關(guān)系變?yōu)?個雞頭對應(yīng)1只腳、1個兔頭對應(yīng)2只腳。根據(jù)對應(yīng)思想，47與35的差12就是多出來的兔腳數(shù)量，也就是兔的數(shù)量，即兔的只數(shù)為“47-35=12”只。對應(yīng)思想貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教材，在教學(xué)中的滲透形式多種多樣，集合、函數(shù)、坐標(biāo)等問題都以這一思想為基礎(chǔ)。教學(xué)中，教師要適時引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生在解決問題的過程中形成學(xué)科關(guān)鍵能力。五、分組法——解決較復(fù)雜“雞兔同籠”問題的另一策略對于比較復(fù)雜的“雞兔同籠”問題，我們要借助分組法進行解答。分組法其實也是一種轉(zhuǎn)化的思想方法。所謂“分組”，就是把一定只數(shù)的雞和兔“捆”在一起考慮。計算時，通過頭數(shù)或腿數(shù)算出“捆”數(shù)，進而求出對應(yīng)的只數(shù)。用分組法解決“雞兔同籠”問題并不是一定要把1只雞和1只兔分成一組，而是應(yīng)該根據(jù)題目條件決定如何分組。題目中的倍數(shù)關(guān)系往往是分組的依據(jù)，概括起來主要有以下幾種類型：①如果知道兩種動物的數(shù)量差，那么每組中應(yīng)各有一個；②如果知道兩種動物的倍數(shù)關(guān)系，就按照倍數(shù)關(guān)系分組；③如果兩種動物數(shù)量的關(guān)系是幾倍多幾或幾倍少幾，則可通過“減多余”或“補不足”湊成整數(shù)倍，然后求解；④“頭倍腿和”“頭倍腿差”兩種類型的問題都要先分組，前者要找出每組所對應(yīng)的“腿和”，后者要找出每組所對應(yīng)的“腿差”；⑤“腿倍”題型，可以將“腿倍”轉(zhuǎn)化為“頭倍”再求解。例如“百僧百饃”問題，我們可以根據(jù)大和尚一人吃3個、小和尚3人吃一個，把1個大和尚與3個小和尚看成1組，則每組吃4個饅頭，100個饅頭對應(yīng)的組數(shù)為“100÷（3+1）=25”組，則大和尚人數(shù)為“25×1=25”人，小和尚人數(shù)為“100-25=75”人。又如，解決問題“雞兔同籠，共有頭51個，兔的總腳數(shù)比雞的總腳數(shù)的3倍多4只。籠中共有多少只兔？”我們要將題目中的“腿倍”轉(zhuǎn)化為“頭倍”。轉(zhuǎn)化前，我們要先把多出的4只減掉，也就是說，如果去掉1只兔，那么雞、兔共有50只，兔的總腳數(shù)恰好是雞的總腳數(shù)的3倍，由“兔的總腳數(shù)=雞的總腳數(shù)×3”轉(zhuǎn)化得“兔的總只數(shù)×4=雞的總只數(shù)×2×3”，推出“兔的總只數(shù)×2=雞的總只數(shù)×3”。由此，我們可以把3只兔和2只雞“捆”在一起看成一組，用“50÷（3+2）=10”得出10組，所以，兔有“3×10+1=31”只。再如，天上一群九頭鳥和地上一群九尾狐商量一起去吃唐僧，九頭鳥有九頭一尾，九尾狐有九尾一頭，孫悟空將它們抓起來關(guān)進籠子里，豬八戒在籠子外數(shù)出了134個頭和166條尾巴，算一算九頭鳥、九尾狐各有多少只。解答時，我們可以把1只九頭鳥和1只九尾狐分成一組，如下圖粗線左邊這些組中，每組的總頭數(shù)和總尾數(shù)是相等的。由題中條件知道，總尾數(shù)166比總頭數(shù)134多，那么分完組后剩下的一定是九尾狐，如下圖粗線的右邊所示。1只九尾狐的尾巴數(shù)比頭數(shù)多8，總尾巴數(shù)比總頭數(shù)多“