山東專用2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專題闖關(guān)導(dǎo)練一客觀題專練解析幾何13含解析

PAGE解析幾何(13)一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．[2024·山東日照模擬]已知傾斜角為θ的直線l與直線x＋2y－3＝0垂直，則sinθ＝()A．－eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)2．[2024·全國卷Ⅰ]已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝()A．2B．3C．6D．93．[2024·山東名校聯(lián)考]已知圓C：(x－4)2＋(y－2)2＝r2截y軸所得的弦長為2eq\r(2)，過點(diǎn)(0,4)且斜率為k的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(2)，則k的值為()A．－eq\f(1,4)B.eq\f(1,4)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)4．[2024·山東泰安質(zhì)量檢測]若雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的實(shí)軸長為1，則其漸近線方程為()A．y＝±xB．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\f(1,2)xD．y＝±2x5．[2024·山東名校聯(lián)考]已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)F向兩條漸近線作垂線，垂足分別為M，N，若四邊形OMFN的面積為eq\r(3)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則該雙曲線的焦距為()A．2B.eq\r(3)C．3D．46．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線y＝3x垂直，則雙曲線C的離心率為()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(\r(10),3)C．3D.eq\f(\r(7),2)或eq\f(\r(10),3)7．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，PF的延長線交l于點(diǎn)Q，且eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\o(FQ,\s\up6(→))，|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝8，則直線PQ的方程為()A．x－eq\r(3)y－1＝0B．x－y－1＝0C.eq\r(3)x－y－2eq\r(3)＝0D.eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝08．[2024·全國卷Ⅰ]已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為()A．2x－y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0D．2x＋y＋1＝0二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．[2024·山東青島檢測]已知圓C過點(diǎn)M(1，－2)且與兩坐標(biāo)軸均相切，則下列敘述正確的是()A．滿意條件的圓C的圓心在一條直線上B．滿意條件的圓C有且只有一個(gè)C．點(diǎn)(2，－1)在滿意條件的圓C上D．滿意條件的圓C有且只有兩個(gè)，它們的圓心距為4eq\r(2)10．[2024·山東名校聯(lián)考]與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1有相同漸近線的雙曲線方程是()A.eq\f(x2,18)－eq\f(y2,12)＝1B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,18)＝1C.eq\f(y2,8)－eq\f(x2,12)＝1D.eq\f(y2,12)－eq\f(x2,8)＝111．[2024·山東淄博部分學(xué)校聯(lián)考]已知橢圓Ω：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則下列結(jié)論正確的是()A．若a＝2b，則Ω的離心率為eq\f(\r(2),2)B．若Ω的離心率為eq\f(1,2)，則eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)C．若F1，F(xiàn)2分別為Ω的兩個(gè)焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F1且與Ω交于點(diǎn)A，B，則△ABF2的周長為4D．若A1，A2分別為Ω的左、右頂點(diǎn)，P為Ω上異于點(diǎn)A1，A2的隨意一點(diǎn)，則PA1，PA2的斜率之積為－eq\f(b2,a2)12．[2024·山東威海模擬]設(shè)M，N是拋物線y2＝x上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OM與ON的斜率之積為－eq\f(1,2)，則下列選項(xiàng)不正確的是()A．|OM|＋|ON|≥4eq\r(2)B．以MN為直徑的圓的面積大于4πC．直線MN過拋物線y2＝x的焦點(diǎn)D．點(diǎn)O到直線MN的距離不大于2三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．[2024·浙江卷]已知直線y＝kx＋b(k>0)與圓x2＋y2＝1和圓(x－4)2＋y2＝1均相切，則k＝________，b＝________.14．[2024·山東名校聯(lián)考]已知拋物線C：y2＝4eq\r(2)x的焦點(diǎn)是雙曲線E：x2－y2＝a2的右焦點(diǎn)，則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．15．[2024·山東日照校際聯(lián)考]傾斜角為30°的直線l經(jīng)過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F1，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線過右焦點(diǎn)F2，則此雙曲線的漸近線方程為________．16．[2024·山東煙臺(tái)、渮澤聯(lián)考]已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，點(diǎn)A到直線l的距離為2，則p＝________；若點(diǎn)A，B在l上的投影分別為M，N，則△MFN的內(nèi)切圓半徑為________．(本題第一空2分，其次空3分)解析幾何(13)1．答案：D解析：因?yàn)棣葹橹本€l的傾斜角，且直線l與直線x＋2y－3＝0垂直，所以tanθ·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，tanθ＝2，由同角關(guān)系得sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，故選D.2．答案：C解析：設(shè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，由拋物線定義得|AF|＝x0＋eq\f(p,2)，∵點(diǎn)A到y(tǒng)軸距離為9，∴x0＝9，∴9＋eq\f(p,2)＝12，∴p＝6.故選C.3．答案：D解析：由題意知：圓心C(4,2)到直線l的距離d＝eq\f(|4k－2＋4|,\r(k2＋1))＝eq\f(|4k＋2|,\r(k2＋1))＝4.解得k＝eq\f(3,4)，故選D.4．答案：D解析：由題意知2a＝1，得a＝eq\f(1,2)，又b＝1，則eq\f(b,a)＝2，故該雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，故選D.5．答案：D解析：由雙曲線的離心率為2可得eq\f(c2,a2)＝4，又a2＋b2＝c2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3).因?yàn)镕(c,0)到漸近線y＝±eq\f(b,a)x的距離d＝|FM|＝|FN|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，所以|OM|＝|ON|＝eq\r(c2－b2)＝a，故S四邊形OMFN＝2S△OMF＝2×eq\f(1,2)ab＝eq\r(3)，得ab＝eq\r(3).又eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以a＝1，b＝eq\r(3)，得c＝2，故該雙曲線的焦距為2c＝4.故選D.6．答案：B解析：由題意知－eq\f(b,a)×3＝－1∴a＝3b∴c＝eq\r(10)b∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),3)，故選B.7．答案：D解析：依據(jù)eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\o(FQ,\s\up6(→))，|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝8，得F是PQ的中點(diǎn)，且|PF|＝4，過P作PM⊥l于點(diǎn)M，則由拋物線的定義，得|PM|＝|PF|＝4，所以∠QPM＝60°，即直線PQ的傾斜角為60°，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)N，依據(jù)FN∥PM及F是PQ的中點(diǎn)，得|FN|＝eq\f(1,2)|PM|＝2.又|FN|＝p，所以p＝2，即F(1,0)，因此直線PQ的方程為eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0，故選D.8．答案：D解析：如圖，由題可知，AB⊥PM，|PM|·|AB|＝2S四邊形APBM＝2(S△PAM＋S△PBM)＝2(|PA|＋|PB|)，∵|PA|＝|PB|，∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4eq\r(|PM|2－|AM|2)＝4eq\r(|PM|2－4)，當(dāng)|PM|最小時(shí)，|PM|·|AB|最小，易知|PM|min＝eq\f(5,\r(4＋1))＝eq\r(5)，此時(shí)|PA|＝1，AB∥l，設(shè)直線AB的方程為y＝－2x＋b(b≠－2)，圓心M到直線AB的距離為d＝eq\f(|3－b|,\r(5))，|AB|＝eq\f(4|PA|,|PM|)＝eq\f(4,\r(5))，∴d2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2＝|MA|2，即eq\f(3－b2,5)＋eq\f(4,5)＝4，解得b＝－1或b＝7(舍)．綜上，直線AB的方程為y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.故選D.9．答案：ACD解析：因?yàn)閳AC和兩個(gè)坐標(biāo)軸都相切，且過點(diǎn)M(1，－2)，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)(a>0)，故圓心在y＝－x上，A正確；圓C的方程為(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，則圓心坐標(biāo)為(1，－1)或(5，－5)，所以滿意條件的圓C有且只有兩個(gè)，故B錯(cuò)誤；圓C的方程分別為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，將點(diǎn)(2，－1)代入可知滿意(x－1)2＋(y＋1)2＝1，故C正確；它們的圓心距為eq\r(5－12＋－5＋12)＝4eq\r(2)，D正確．故選ACD.10．答案：AC解析：易知雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),\r(3))x.對于選項(xiàng)A，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),\r(3))x，符合題意；對于選項(xiàng)B，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),\r(2))x，不符合題意；對于選項(xiàng)C，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),\r(3))x，符合題意；對于選項(xiàng)D，雙曲線的漸近線方程是y＝±eq\f(\r(3),\r(2))x，不符合題意．故選AC.11．答案：BCD解析：若a＝2b，則c＝eq\r(3)b，e＝eq\f(\r(3),2)，選項(xiàng)A不正確；若e＝eq\f(1,2)，則a＝2c，b＝eq\r(3)c，eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，選項(xiàng)B正確；依據(jù)橢圓的定義易知選項(xiàng)C正確；設(shè)P(x0，y0)，則eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，易知A1(－a,0)，A2(a,0)，所以PA1，PA2的斜率之積為eq\f(y0,x0＋a)·eq\f(y0,x0－a)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－a2)＝eq\f(b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),a2))),x\o\al(2,0)－a2)＝－eq\f(b2,a2)，選項(xiàng)D正確．故選BCD.12．答案：ABC解析：當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)M(x0，y0)，則N(x0，－y0)，由斜率之積為－eq\f(1,2)可得eq\f(y0,x0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y0,x0)))＝－eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0))＝－eq\f(1,y\o\al(2,0))＝－eq\f(1,2)，即yeq\o\al(2,0)＝2.∴直線MN的方程為x＝2，此時(shí)|OM|＋|ON|＝2eq\r(6)，以M，N為直徑的圓的面積為2π，拋物線的焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，故A，B，C錯(cuò)誤；當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋m，與拋物線方程聯(lián)立，消去x，可得ky2－y＋m＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝eq\f(1,k)，y1y2＝eq\f(m,k)，故x1x2＝eq\f(m2,k2)，∴kOM·kON＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(k,m)＝－eq\f(1,2)，即m＝－2k.∴直線MN的方程為y＝kx－2k＝k(x－2)，∴直線MN過定點(diǎn)(2,0)，∴點(diǎn)O到直線MN的距離不大于2，故D正確，故選ABC.13．答案：eq\f(\r(3),3)－eq\f(2\r(3),3)解析：解法一：因?yàn)橹本€y＝kx＋b(k>0)與圓x2＋y2＝1，圓(x－4)2＋y2＝1都相切，所以eq\f(|b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋b|,\r(1＋k2))＝1，得k＝eq\f(\r(3),3)，b＝－eq\f(2\r(3),3).解法二：因?yàn)橹本€y＝kx＋b(k>0)與圓x2＋y2＝1，圓(x－4)2＋y2＝1都相切，所以直線y＝kx＋b必過兩圓心連線的中點(diǎn)(2,0)，所以2k＋b＝0.設(shè)直線y＝kx＋b的傾斜角為θ，則sinθ＝eq\f(1,2)，又k>0，所以θ＝eq\f(π,6)，所以k＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，b＝－2k＝－eq\f(2\r(3),3).14．答案：x2－y2＝1解析：由題意知拋物線C：y2＝4eq\r(2)x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\r(2)，0)，所以雙曲線E：x2－y2＝a2的右焦點(diǎn)為(eq\r(2)，0)，即c＝eq\r(2)，所以a2＋a2＝2，解得a2＝1，所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2＝1.15．答案：y＝±x解析：如圖，令點(diǎn)B在第一象限，記點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，則MF2為線段AB的垂直平分線，連接AF2，BF2，則可得|AF2|＝|BF2|.因?yàn)橹本€l的傾斜角為30°，所以∠MF1F2＝30°，所以|MF2|＝2