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第三節(jié)二重積分的計算一、立體的體積二、曲面的面積三、平面薄片的重心四、小結(jié)第八章一、立體的體積二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．例1計算由曲面及xoy

面所圍的立體體積。解設(shè)立體在第一卦限上的體積為V1。由立體的對稱性，所求立體體積V=4V1。立體在第一卦限部分可以看成是一個曲頂柱體，它的曲頂為立體在第一卦限部分可以看成是一個曲頂柱體，它的曲頂為它的底為于是，所求立體的體積例2求兩個圓柱面所圍的立體在第一卦限部分的體積。解所求立體可以看成是一個曲頂柱體，它的曲頂為它的底為它的底為它的曲頂為于是，立體體積為例3求球體被圓柱面所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。解顯然，所求立體應在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四個卦限部分的體積是對稱相等的。因此，若設(shè)第一卦限部分的體積為V1，則所求立體的體積為V1

可以看成是一個曲頂柱體，它的曲頂為它的底D由半圓周及x

軸圍成。用極坐標系表示于是，所求立體體積二、曲面的面積１．設(shè)曲面的方程為：如圖，---曲面

S的面積元素曲面面積公式為：３．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得解設(shè)第一卦限部分的面積為A1，則由對稱性，所求的面積為極坐標系下表示：例5求兩個圓柱面所圍的立體的表面在第一卦限部分的面積A。解所求表面分成Ⅰ和Ⅱ，如圖。ⅠⅡ第一塊（Ⅰ）在圓柱面第一塊（Ⅱ）在圓柱面由對稱性，這兩塊曲面的面積相等，即AⅠ=AⅡ。因此，A=2AⅠ。在AⅠ上，曲面方程為AⅠ在AⅠ上，曲面方程為因此，A=2AⅠ。AⅠAⅠAⅠ于是所求面積，A=2AⅠ三、平面薄片的重心當薄片是均勻的，重心稱為形心.由元素法閉區(qū)域D的面積解幾何應用：立體的體積、曲面的

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