四川省廣安市第二中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

四川省廣安市第二中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．孝感市某高中有學(xué)生1200人，其中高一年級(jí)有學(xué)生400人，高二年級(jí)有學(xué)生600人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取120人進(jìn)行問卷調(diào)查，則被抽到的高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)多（

）A．20 B．30 C．40 D．504．已知直線的一個(gè)方向向量，且直線過(guò)點(diǎn)和兩點(diǎn)，則（

）A．0 B．1 C． D．35．空間內(nèi)有三點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線EF的距離為（

）A． B． C． D．6．在中，，且有，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．17．已知直線的傾斜角為，并且，直線的斜率的范圍是（

）A． B．C．或 D．或8．已知四棱錐，，平分，點(diǎn)在上且滿足，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在平面直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．任意一條直線都有傾斜角B．直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大C．若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為D．斜率相等的兩直線平行10．已知甲?乙兩位同學(xué)在高一年級(jí)六次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，則B．若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，則C．甲成績(jī)的中位數(shù)大于乙成績(jī)的中位數(shù)D．甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差11．在長(zhǎng)方體中，，，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，為銳角B．存在點(diǎn)P，使得平面APCC．的最小值D．頂點(diǎn)B到平面APC的最大距離為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，且，則實(shí)數(shù).13．已知四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，平面外一點(diǎn)，滿足均大于，則的最小值.14．如圖，在四面體中，與均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，二面角的大小為，則四面體的外接球表面積為.四、解答題（本大題共5小題）15．．(1)用向量表示向量，并求；(2)求．16．已知.(1)若四點(diǎn)可以構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下若點(diǎn)在第四象限的情況下，判斷構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形.17．四棱錐中，平面平面，，，，是正三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．18．某高校承辦了成都世乒賽志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三?四?五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.(1)求的值；(2)估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的眾數(shù)?平均數(shù)和分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；(3)在第四?第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中選出2人，以確定組長(zhǎng)人選，求選出的兩人來(lái)自不同組的概率.19．在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過(guò)的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的大??；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所?故選：D2．【答案】A【分析】利用直線斜截式方程及斜率的定義即可求解.【詳解】由直線，得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，所以，所以直線的傾斜角為.故選：A.3．【答案】A【分析】根據(jù)題意先求抽樣比，進(jìn)而求高一，高二被抽到的學(xué)生生人數(shù)即可求解.【詳解】抽樣比等于，于是，高一被抽到的學(xué)生人數(shù)為，高二被抽到的學(xué)生人數(shù)為，所以高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)多.故選A.4．【答案】D【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)和兩點(diǎn)，所以，又直線的一個(gè)方向向量，所以，所以，所以，所以，解得，所以.故選：D5．【答案】A【詳解】因?yàn)椋灾本€EF的一個(gè)單位方向向量為．因?yàn)?，所以點(diǎn)P到直線EF的距離為．故選：A6．【答案】D【詳解】在中，由余弦定理可得，則，即，解得.則由即，可得，又，可知是的中點(diǎn)，故即為斜邊上的中線，則.故選：D.7．【答案】C【詳解】因?yàn)樾甭?，且，其中時(shí)直線無(wú)斜率，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得；故選：C.8．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，到平面的距離為，則有，而，，又由，，平分，則，則；故，而，則有，又由點(diǎn)在上且滿足，故到平面的距離為，則有，故．故選：B．9．【答案】BCD【詳解】任何一條直線都存在傾斜角，A正確；鈍角大于銳角，但是鈍角對(duì)應(yīng)的斜率小于銳角對(duì)應(yīng)的斜率，B錯(cuò)誤；若一條直線的傾斜角，則斜率不存在，C錯(cuò)誤；斜率相等的兩條直線可能是重合或平行，D錯(cuò)誤；故選:BCD.10．【答案】ACD【詳解】由散點(diǎn)圖的點(diǎn)的分布可知，甲同學(xué)除第二次考試成績(jī)略低于乙同學(xué),其他次考試成績(jī)都高于乙同學(xué),所以，故選項(xiàng)A正確；由散點(diǎn)圖點(diǎn)的分步變化趨勢(shì)可知,甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)的成績(jī)穩(wěn)定,由方差的意義可得.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)了6次數(shù)學(xué)成績(jī)，故將一組數(shù)據(jù)從小到大排序后，第三個(gè)和第四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，由散點(diǎn)圖知，甲同學(xué)成績(jī)排序后的第三次和第四次成績(jī)均在90以上，而乙同學(xué)成績(jī)排序后的第三次和第四次成績(jī)均在90以下，故甲成績(jī)的中位數(shù)大于乙成績(jī)的中位數(shù).故選項(xiàng)C正確；因?yàn)闃O差為數(shù)據(jù)樣本的最大值與最小值的差,所以甲同學(xué)成績(jī)的極差小于乙同學(xué)成績(jī)的極差,故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11．【答案】ABC【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，故，則，，對(duì)于A，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，則，，則，，所以，所以為銳角，故A正確；當(dāng)平面，因?yàn)槠矫妫?，則，解得，故存在點(diǎn)，使得平面，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由B得，此時(shí)，則，，所以，即的最小值為，故C正確；對(duì)于D，，，設(shè)平面的法向量，則，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．【答案】/【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：.13．【答案】4【詳解】由可得,四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，所以，故，由于均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，故答案為：414．【答案】【分析】設(shè)為的中心，為四面體的外接球的球心，過(guò)作，然后在中，由求出外接球的半徑，再由球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】如圖所示：設(shè)為的中心，為四面體的外接球的球心，則平面．因?yàn)槎娼堑拇笮?，即平面平面，設(shè)為線段的中點(diǎn)，外接球的半徑為，連接，過(guò)作于點(diǎn)，易知為的中心，則，因?yàn)椋?，，在中，，故，則．所以外接球的表面積為，故答案為：.15．【答案】(1)，(2)【詳解】（1），則，所以.（2）由空間向量的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)榍?，所以，，則.16．【答案】(1)或或(2)不是菱形【詳解】（1）由題意得，，，設(shè)，若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或.（2）若的坐標(biāo)為，因?yàn)?，直線的斜率不存在，所以平行四邊形不是菱形.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：記點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且，，且，，且，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面．（2）解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題知，，，，，，平面平面，平面平面，平面，又平面，平面平面，作于點(diǎn)，又平面平面，則平面，即點(diǎn)到平面的距離為．由是正三角形，且得，點(diǎn)到平面的距離為．18．【答案】(1)，(2)眾數(shù)為，平均數(shù)為69.5，分位數(shù)為71.7(3)【詳解】（1）因?yàn)榈谌?四?五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以.（2）眾數(shù)為平均數(shù)為，前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，所以分位數(shù)在第三組，且為.（3）第四?第五兩組志愿者分別有20人，5人，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，則第四組抽4人，記為，第五組抽1人，記為，則從這5人中選出2人，有共10種結(jié)果，兩人來(lái)自不同組有共4種結(jié)果，所以兩人來(lái)自不同組的概率為.19．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，或.【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理證明線面垂直關(guān)系，再由性質(zhì)定理得到線線垂直關(guān)系，進(jìn)而再利用判定定理證明所求證的線面垂直關(guān)系；（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.用向量法求與平面所成角的大?。唬?）假設(shè)存在點(diǎn)，使平面與平面所成角余弦值為，設(shè)，分別求解兩平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在平面內(nèi)，所以平面；（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，故，由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設(shè)與