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文檔簡介
遼寧省普通高中2024?2025學年高二上學期11月期中調(diào)研測試數(shù)學試題(1)一、單選題(本大題共8小題)1.已知a,b為兩條直線,,為兩個平面,且滿足,,,,則“與異面”是“直線與l相交”的(
)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.若方程表示雙曲線,則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B.C. D.或3.兩平行直線與之間的距離為()A. B. C. D.4.設AB是橢圓()的長軸,若把AB一百等分,過每個分點作AB的垂線,交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P99,F(xiàn)1為橢圓的左焦點,則的值是(
)A. B. C. D.5.已知為直線上的動點,為圓上的動點,點,則的最小值為(
)A. B. C. D.6.在四棱錐中,平面,二面角的大小為,若點均在球的表面上,則球的表面積最小值為()A. B. C. D.7.已知曲線:是雙紐線,則下列結論正確的是()A.曲線的圖象不關于原點對稱B.曲線經(jīng)過4個整點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)C.若直線與曲線只有一個交點,則實數(shù)的取值范圍為D.曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過38.已知平面上兩定點、,則所有滿足(且)的點的軌跡是一個圓心在上,半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故稱作阿氏圓.已知棱長為3的正方體表面上動點滿足,則點的軌跡長度為(
)A. B. C. D.二、多選題(本大題共3小題)9.下列說法命題正確的是(
)A.已知,,則在上的投影向量為B.若直線l的方向向量為,平面的法向量為,則C.已知三棱錐,點P為平面ABC上的一點,且,則D.若向量,(都是不共線的非零向量)則稱在基底下的坐標為,若在單位正交基底下的坐標為,則在基底下的坐標為10.已知,是雙曲線E:的左、右焦點,過作傾斜角為的直線分別交y軸、雙曲線右支于點、點,且,下列判斷正確的是(
)A. B.的離心率等于C.雙曲線漸近線的方程為 D.的內(nèi)切圓半徑是11.在直三棱柱中,,,M是的中點,N是的中點,點P在線段上,點Q是線段上靠近M的三等分點,R是線段的中點,若面,則(
).A. B.P為的中點C.三棱錐的體積為 D.三棱錐的外接球表面積為三、填空題(本大題共3小題)12.已知圓:與圓:交于A,B兩點,當變化時,的最小值為,則.13.如圖,已知四邊形ABCD是菱形,,點E為AB的中點,把沿DE折起,使點A到達點P的位置,且平面平面BCDE,則異面直線PD與BC所成角的余弦值為.
14.傾斜角為銳角的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點,分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點,若線段的垂直平分線經(jīng)過雙曲線的右焦點,則直線的斜率為.四、解答題(本大題共5小題)15.如圖所示,三棱柱中,側棱垂直于底面,,,點分別為的中點.(1)求證:;(2)求點到平面的距離16.已知圓.(1)直線截圓的弦長為,求的值.(2)記圓與、軸的正半軸分別交于兩點,動點滿足,問:動點的軌跡與圓是否有兩個公共點?若有,求出公共弦長;若沒有,說明理由.17.如圖,四棱錐中,,,,,平面平面,且平面,平面平面.
(1)求四棱錐的體積;(2)設Q為上一點,若,求二面角的大小.18.已知橢圓的右焦點為,點在上,且軸,過點且與橢圓有且只有一個公共點的直線與軸交于點.(1)求橢圓的方程;(2)點是橢圓C上異于的一點,且三角形的面積為,求直線的方程;(3)過點的直線交橢圓于,兩點(在的左側),若為線段的中點,直線交直線于點,為線段的中點,求線段的最大值.19.在空間直角坐標系中,已知向量,點,若直線以為方向向量且經(jīng)過點,則直線的標準式方程可表示為;若平面以為法向量且經(jīng)過點,則平面的點法式方程表示為.(1)已知直線的標準式方程為,平面的點法式方程可表示為,求直線與平面所成角的正弦值;(2)已知平面的點法式方程可表示為,平面外一點,求點到平面的距離;(3)(i)若集合,記集合中所有點構成的幾何體為,求幾何體的體積;(ii)若集合,記集合中所有點構成的幾何體為,求幾何體相鄰兩個面(有公共棱)所成二面角的大小.
參考答案1.【答案】C【詳解】當“與異面”,若直線與l不相交,由于,則,又,則,這與和異面相矛盾,故直線與l相交,故“與異面”是“直線與l相交”的充分條件;當“直線與l相交”,若與不異面,則與平行或相交,若與平行,又,則,這與直線和l相交相矛盾;若與相交,設,則且,得,即A為直線的公共點,這與相矛盾;綜上所述:與異面,即“與異面”是“直線與l相交”的必要條件;所以“與異面”是“直線與l相交”的充分必要條件.故選:C.2.【答案】B【詳解】若方程表示雙曲線,則,得.故選:B3.【答案】C【詳解】由題意知,所以,則化為,所以兩平行直線與之間的距離為.故選:C.4.【答案】D【詳解】設橢圓右焦點為F2,由橢圓的定義知,2,,,.由題意知,,,關于軸成對稱分布,.又,故所求的值為.故選:D.5.【答案】C【分析】設,不妨令,根據(jù)兩點間的距離公式求出點的坐標,則要使最小,即最小,求出的最小值即可得解.【詳解】設,不妨令,則,整理得,又,所以,則,解得,所以存在定點,使得,要使最小,即最小,則,B,D三點共線,且DA垂直于直線時取得最小值,如圖所示,所以的最小值為.故選C.【關鍵點撥】設,令,將所求轉化為求的最小值,是解決本題的關鍵.6.【答案】C【詳解】由題設,,,,在一個圓上,故,又,所以,即,故是四邊形外接圓的直徑,由平面,,,平面,則,,,由,,平面,則平面,平面,則,由,,平面,則平面,平面,則,故,,都是以為斜邊的直角三角形,故中點為外接球球心,且為二面角的平面角,故,因為,,令且,則,,故,所以外接球半徑,當時,,此時球的表面積的最小值為.故選:C7.【答案】D【詳解】對于A,結合曲線:,將代入,方程不變,即曲線的圖象關于原點對稱,A錯誤;對于B,令,則,解得,令,則,解得,令,則,解得,故曲線經(jīng)過的整點只能是,B錯誤;對于C,直線與曲線:必有公共點,因此若直線與曲線只有一個交點,則只有一個解,即只有一個解為,即時,無解,故,即實數(shù)的取值范圍為,C錯誤,對于D,由,可得,時取等號,則曲線上任意一點到坐標原點的距離為,即都不超過3,D正確,故選:D8.【答案】C【分析】根據(jù)阿氏圓性質(zhì)求出阿氏圓圓心O位置及半徑,P在空間內(nèi)軌跡為以O為球心的球,球與面,,交線為圓弧,求出截面圓的半徑及圓心角,求出在截面內(nèi)的圓弧的長度即可.【詳解】在平面中,圖①中以B為原點以AB為x軸建系如圖,設阿氏圓圓心,半徑為,,設圓O與AB交于M,由阿氏圓性質(zhì)知,,,P在空間內(nèi)軌跡為以O為球心半徑為2的球,若P在四邊形內(nèi)部時如圖②,截面圓與分別交于M,R,所以P在四邊形內(nèi)的軌跡為,在中,,當P在面內(nèi)部的軌跡長為,同理,當P在面內(nèi)部的軌跡長為,當P在面時,如圖③所示,面,平面截球所得小圓是以B為圓心,以BP為半徑的圓,截面圓與分別交于,且,P在正方形內(nèi)的軌跡為,,綜上:P的軌跡長度為.故選C.9.【答案】CD【分析】根據(jù)投影向量公式計算判斷A,應用向量共線判斷B,判斷四點共面判斷C,根據(jù)基底運算判斷D.【詳解】對于A,由于,,則在的投影向量為,故A錯誤;對于B,因為直線l的方向向量為,平面的法向量為,所以,所以或,B錯誤;對于C,因為P為平面ABC上的一點,所以四點共面,則由空間向量共面定理以及可得,,所以,C正確;對于D,在單位正交基底下的坐標為,即,所以在基底下滿足:,故,,,可得,,,則在基底下的坐標為,故D正確.故選CD.10.【答案】ACD【詳解】如圖所示,因為分別是,的中點,所以中,,所以軸,A選項中,因為直線的傾斜角為,所以,故A正確;B選項中,直角中,,,,所以,得:,故B不正確;C選項中,由,即,即,即,所以雙曲線的漸近線方程為:,故C正確;D選項中,的周長為,設內(nèi)切圓為r,根據(jù)三角形的等面積法,有,得:,故D正確故選:ACD.11.【答案】ACD【詳解】對于選項AB,連接并延長交于S,連接,由平面幾何知識可得:S是的中點,且N,R,S三點共線,是重心,因為面,平面,平面平面,所以,作交于,由直棱柱性質(zhì)有,因此是平行四邊形,,又由平面幾何知識知是中點,因此是中點,從而,即P為上靠近N的三等分點,所以A正確,B錯誤;對于選項C,,因此是平行四邊形,所以與互相平分,從而與點到平面的距離相等,三棱錐的體積等于三棱錐的體積,而,所以C正確;對于選項D,∵的外心是S,由得平面,∴三棱錐的外接球球心一定在直線上,設三棱錐的外接球球心為O,半徑為R,,則,,∴,解得:,,球表面積為,所以D正確.故選:ACD.12.【答案】【詳解】與相減,可得兩圓的公共弦所在線的方程為:,由圓:可得,圓的半徑為4,圓心到AB直線的距離為,,因為,所以,時等號成立,又因為AB的最小值為,所以,解得.故答案為:.13.【答案】/【詳解】因為,故或其補角就是異面直線PD與BC所成的角,連接PA,易知,,因為平面平面,菱形中,,即是正三角形,為AB中點,則,所以,又,所以即為平面與平面所成的二面角的平面角,因為平面平面,所以,,所以,所以,在中,由余弦定理得,所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為.故答案為:.
14.【答案】/【詳解】
設中點為,兩漸近線可寫成,設,則,且①-②可得,整理得,,即(*),如圖,在中,,則,故,即,將此式代入(*)得,解得依題意,,則.故答案為:.15.【答案】(1)證明見解析;(2).【詳解】(1)由,得,則,即,由平面,平面,則,而,平面,于是平面,連接,又平面,則,由點分別為的中點,得,所以.(2)連接,交于點E,連接BE,過點C作,F(xiàn)為垂足,由,側棱垂直于底面,得且,又,,平面CBE,則平面CBE,又平面CBE,則,又,,平面,因此平面,即CF為點C到平面的距離,由平面,平面,得,,所以點C到平面的距離.16.【答案】(1)(2)有,公共弦長為【詳解】(1)圓心到直線距離為,故,解得;(2),設,由得,化簡得:,即,所以動點的軌跡是以為圓心,4為半徑的圓,圓心距,,兩圓相交,所以兩圓有兩個公共點,由兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為,圓心到公共弦的距離為,則公共弦長為.17.【答案】(1)6;(2).【詳解】(1)因為平面,平面,平面平面,所以,同理得,所以,因為,,,所以,所以且,所以且,底面梯形的高為,所以底面梯形的面積,在中,,,,所以,所以,因為平面平面,平面平面,,平面,所以平面,所以四棱錐的體積.(2)因為,,,所以即,所以,,兩兩垂直,可以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,
則,A2,0,0,,C-1,3,0,所以,,,設,所以,,因為,所以,解得,因此,,設m=x,y,z為平面的法向量,則,則,取,則,,即,因為平面,所以平面的法向量為,設二面角為,則,所以由圖二面角的大小為.18.【答案】(1)(2)(3)【詳解】(1)由題意知點在上,且軸,設橢圓焦距為,則,將代入中,得,則,結合,從而,,橢圓C方程為;(2)由題意知過點且與橢圓有且只有一個公共點的直線的斜率不為,故設,與橢圓聯(lián)立,得,由橢圓與直線只有一個交點,令,即①,又過,則②,聯(lián)立①②可得,則,即得點為.設原點O0,0,由,,故,從而到的距離為到距離的倍,即在關于對稱的直線上,又在橢圓上,從而,關于對稱,故直線方程為(3)設,,,則,則①,又由,可得②,結合①②可得,,又,F(xiàn)1,0,,,則直線的方程為,軸,直線與交于,則,故,故軸,從而,當位于橢圓左頂點時取等號,故線段的最大值為.19.【答案】(1)(2)(3)(i)16;(ii)【詳解】(1)因為直線的標準式方程為,所以直線的方向向量為,又平面的點法式方程可表示為,所以平面的法向量為,所以,所以直線與平面所成角的正弦值為;(2)因為平面的
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