河南省部分學校2024-2025學年高三上學期11月月考數(shù)學試題 含解析

高三數(shù)學考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導數(shù)，三角函數(shù)、三角恒等變換，解三角形、平面向量．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.函數(shù)的值域可以表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的值域是指函數(shù)值組成的集合，即可判斷.【詳解】因函數(shù)的值域是指函數(shù)值組成的集合，故對于函數(shù)，其值域可表示為：.故選：B.2.若“”是“”的充分條件，則是（）A第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角正切值與正弦值的正負判斷象限即可.【詳解】由題可知，，則是第三象限角或第四象限角；又要得到，故是第三象限角.故選：B3.下列命題正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】對于選項A:利用指數(shù)函數(shù)的值域即可判斷；對于選項B:利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出值域即可判斷；對于選項C:采用特殊值法，令即可判斷;對于選項D:令，結(jié)合三角函數(shù)的值域求解驗證即可.【詳解】對于選項A:因為指數(shù)函數(shù)的值域為0,+∞，故，，故選項A錯誤；對于選項B:因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，，故選項B錯誤；對于選項C:令,則，，顯然，故，使得成立，故選項C正確;對于選項D:結(jié)合題意可得：令，因為，所以，所以，因為，故不存在，使得,故選項D錯誤.故選：C.4.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定函數(shù)的奇偶性，排除兩選項，再根據(jù)特殊點的函數(shù)值的正負，選出正確答案.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排出選項A、B；再取特殊值和，可得函數(shù)的大致圖象為C，故選：C.5.已知向量，滿足，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量夾角的計算公式計算即可.【詳解】由題可知，，所以故向量與的夾角為故選:A6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定兩個角的關(guān)系，然后利用三角恒等變換公式求解即可.【詳解】由題可知，所以有故選：C7.已知，，，則的最小值為（）A.8 B.9 C.12 D.16【答案】A【解析】【分析】我們觀察形式，顯然分式的分子和分母同時有變量，所以令代入化簡，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】當且僅當，，即時等號成立；故選：A8.若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將兩個乘積看做兩個函數(shù)，易知要使時，，則需要兩函數(shù)同號，所以我們需要去找他們零點，時零點相同，然后求解參數(shù)即可.【詳解】由題易知，當時，；由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，；當時，；顯然函數(shù)有兩個根，不妨令，則由二次函數(shù)的圖像可知，時，；時，故要使恒成立，則所以有，解得故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：當兩個式子相乘大于等于零時，兩個式子必定同為負或者同為正，或者有一個為零.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的值域為 B.為奇函數(shù)C.在上單調(diào)遞增 D.的最小正周期為【答案】AD【解析】【分析】對于選項A:利用換元，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出值域；對于選項B:利用奇偶性的定義說明即可；對于選項C:結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于選項D:借助三角函數(shù)的周期，以及周期函數(shù)的定義即可判斷.【詳解】對于選項A:由，令，則，，因為在上單調(diào)遞增，所以，故選項A正確；對于選項B:由可知，對任意的，因為，而，易驗證故不是奇函數(shù)，故選項B錯誤；對于選項C:結(jié)合選項A可知在單調(diào)遞減，而在定義域上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性可得在單調(diào)遞減，故選項C錯誤；對于選項D:因為的最小正周期為，所以，所以的最小正周期為，故選項D正確.故選：AD.10.國慶節(jié)期間，甲、乙兩商場舉行優(yōu)惠促銷活動，甲商場采用購買所有商品一律“打八四折”的促銷策略，乙商場采用“購物每滿200元送40元”的促銷策略．某顧客計劃消費元，并且要利用商場的優(yōu)惠活動，使消費更低一些，則（）A.當時，應進甲商場購物 B.當時，應進乙商場購物C.當時，應進乙商場購物 D.當時，應進甲商場購物【答案】AC【解析】【分析】分別計算不同選項兩個商場的優(yōu)惠判斷即可.【詳解】當時，甲商場的費用為，乙商場的費用為，，故應進甲商場，所以選項A正確；當時，甲商場的費用為，乙商場的費用為，，因為，所以，，進入乙商場，當故應進甲商場，所以選項B錯誤；當時，甲商場的費用為，乙商場的費用為，因為，所以故，所以應進乙商場，所以選項C正確；假設消費了600，則在甲商場的費用為，在乙商場的費用為，所以乙商場費用低，故在乙商場購物，故選項D錯誤.故選：AC11.已知函數(shù)滿足：①，，；②，則（）A. B.C.在上是減函數(shù) D.，，則【答案】BCD【解析】【分析】取可求，判斷A，取證明，取可得，由此可得，結(jié)合指數(shù)運算性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷BC，選項D的條件可轉(zhuǎn)化為當，恒成立，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求結(jié)論.【詳解】因為，，，取可得，A錯誤；取可得，又，所以，取可得，，所以，其中，所以，B正確，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，其中在上單調(diào)遞減，所以在上是減函數(shù)，C正確；不等式可化為，所以，由已知對于，恒成立，所以當，恒成立，故，其中，因為函數(shù)，在上都單調(diào)遞增，所以在上的最大值為，所以，D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______．【答案】【解析】【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，然后代入點斜式直線方程即可求解切線.【詳解】由題可知，，，所以切線斜率，故切線方程為.故答案為：13.已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)僅有兩個零點，則的值是__________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，求得，，再結(jié)合余弦函數(shù)的零點，列出不等式，即可求解.【詳解】為偶函數(shù)，所以，，得，，當x∈0,π時，，在區(qū)間內(nèi)僅有兩個零點，所以，解得：，所以.故答案為：214.若內(nèi)一點P滿足，則稱P為的布洛卡點，為布洛卡角．三角形的布洛卡點是法國數(shù)學家和數(shù)學教育家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，1875年被法國軍官布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．如圖，在中，，，若P為的布洛卡點，且，則BC的長為______．【答案】【解析】【分析】利用三角恒等變換、正弦定理、余弦定理等知識進行分析，先求得，進而求得，也即是.【詳解】，所以為銳角，為銳角，所以.由于，所以，設，則，，為銳角，則.由于，所以，所以①，在中，由正弦定理得，所以，所以，即，由正弦定理得，即，解得，則為銳角，由解得，在三角形中，由余弦定理得，所以，在三角形中，由正弦定理得，所以，解得.故答案為：【點睛】易錯點睛：銳角與邊長關(guān)系的判斷：在判斷三角形的角是否為銳角時，容易出現(xiàn)符號錯誤或判斷失誤.因此，在涉及角度大小的判斷時，需特別注意各個角的定義和所使用定理的適用范圍.正弦定理和余弦定理的符號處理：在使用正弦定理和余弦定理時，符號的處理必須謹慎，特別是在涉及平方根和正負符號的時候，需確保沒有遺漏或誤用.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若為的外心，為邊的中點，且，求周長的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換進行化簡即可求解；（2）利用向量表示出，由余弦定理結(jié)合基本不等式、三角形周長公式即可求解.【小問1詳解】由已知及正弦定理得：，由得：，所以，又，所以，即，因為，所以，所以解得.【小問2詳解】因為為的外心,且由上問知，所以,設（為的外接圓半徑），因為為邊的中點，且，所以在中易得：，所以，即，解得：，在中由余弦定理可得：，解得，在中由余弦定理可得：，由基本不等式可得：，當且僅當時等號成立，所以，即.所以周長，當且僅當時等號成立.故周長的最大值為.16.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，．（1）求a；（2）如圖，D是外一點（D與A在直線BC的兩側(cè)），且，，求四邊形ABDC的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)兩角和的正切公式求，即求角，再根據(jù)余弦定理求解；（2）根據(jù)誘導公式求解，以及兩角和的三角函數(shù)求，再根據(jù)正弦定理求，最后根據(jù)面積公式，即可求解.【小問1詳解】由條件可知，，所以，所以，即，所以，則所以；【小問2詳解】，，，,中，，即，所以，，所以四邊形的面積為.17.已知平面向量，，且，其中，．設點和在函數(shù)的圖象（的部分圖象如圖所示）上．（1）求a，b，的值；（2）若是圖象上的一點，則是函數(shù)圖象上的相應的點，求在上的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）由得，利用向量數(shù)量積計算公式和輔助角公式化簡得，根據(jù)題設條件列出三角方程組，結(jié)合圖象即可求出a，b，的值；（2）由題意中點的變換求得，利用正弦函數(shù)的圖象特點即可求得在上的單調(diào)遞減區(qū)間.【小問1詳解】因，，由，可得，由，其中，因點和在函數(shù)的圖象上，則有，，結(jié)合圖象，由①可得，將其代入②式，可得，即，（*）由圖知，該函數(shù)的周期滿足，即又，則有，由（*）可得，故.由解得，，故，，；【小問2詳解】不妨記，則，因是圖象上的一點，即得，即，又因是函數(shù)圖象上的相應的點，故有.由，可得，因，故得.在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.18.已知函數(shù)，m，．（1）當時，求的最小值；（2）當時，討論的單調(diào)性；（3）當時，證明：，．【答案】（1）0（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用求導判斷函數(shù)的單調(diào)性，即得函數(shù)的極小值即最小值；（2）利用求導，就導函數(shù)中的參數(shù)進行分類，分別討論導函數(shù)的符號，即得函數(shù)的單調(diào)性；（3）將待證不等式等價轉(zhuǎn)化為，設，依題意，只需證在時，成立，分別求即可得證.【小問1詳解】當時，，，由，可得或，由，可得，即在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，時，，時，，故時，取得極小值也即最小值，為.【小問2詳解】當時，，函數(shù)的定義域為，，當時，恒成立，故在上增函數(shù)；當時，由，可得，故當或時，；即在和上單調(diào)遞增；當時，，即在上單調(diào)遞減.綜上，當時，在上為增函數(shù)；當時，在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】當時，,要證，，只需證，即證在上恒成立.設，依題意，只需證在時，.因，，由，可得，由，可得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,則在時取得極小值也是最小值，為；因，，由，可得，由，可得，由，可得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在時取得極大值也是最大值，為.因，即在上成立，故得證.即，．【點睛】方法點睛：本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值、證明不等式恒成立等知識點，屬于較難題.證明不等式型如的恒成立問題，一般方法有：（1）構(gòu)造函數(shù)法：即直接構(gòu)造，證明；（2）比較最值法：即證明即可；（3）等價轉(zhuǎn)化法：即將待證不等式左右兩邊同除以一個式子，使得左右函數(shù)的最值可比較.19.已知非零向量，，，均用有向線段表示，現(xiàn)定義一個新的向量以及向量間的一種運算“”：．（1）證明：是這樣一個向量：其模是的模的倍，方向為將繞起點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（為軸正方向沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到所成的角，且），并舉一個具體的例子說明之；（2）如圖1，分別以的邊AB，AC為一邊向外作和，使，．設線段DE的中點為G，證明：；（3）如圖2，設，圓，B是圓O上一動點，以AB為邊作等邊（A，B，C三點按逆時針排列），求的最大值．【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析.（3）5.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的參數(shù)方程設定的坐標，再依據(jù)題意證明即可；（2）依據(jù)新定義把的坐標表示出來再運算證明即可；（3）掌握平面向量的