2024高考數(shù)學(xué)講義：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

2024高考數(shù)學(xué)講義：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

目錄

i.教學(xué)大綱.....................................................................1

2.教材回扣基礎(chǔ)自測(cè)：自主學(xué)習(xí)?知識(shí)積淀.....................................I

2.1.練習(xí)......................................-..............................4

2.2.考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練一一互動(dòng)課堂?考向探究................................5

2.2.1.考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的運(yùn)算自主練習(xí)...........5

2.2.2.考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用.......................................6

2.2.3.考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用微專題..................................9

2.3.【題組對(duì)點(diǎn)練】............................12

3.教師備用題.................................................................14

4.課外閱讀?增分培優(yōu)...........................................................17

4.1.因“型”制官話大小.......................17

4.2.“新情境”試題............................20

1.教學(xué)大綱

內(nèi)容要求考題舉例考向規(guī)律

1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性2020?全國(guó)I卷012（指數(shù)、對(duì)數(shù)考情分析：對(duì)數(shù)

質(zhì)，知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)函數(shù)比較大小）函數(shù)中利用性質(zhì)

轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了2020?全國(guó)10卷?T12（指數(shù)、對(duì)數(shù)比較對(duì)數(shù)值大

解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用函數(shù)比較大?。┬?，求對(duì)數(shù)型函

2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解2019?天津高考?T6（指數(shù)、對(duì)數(shù)數(shù)的定義域、值

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函比較大?。┯?、最值等仍是

數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)2019?北京高考?T6（對(duì)數(shù)的實(shí)際高考考查的熱

3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的應(yīng)用）點(diǎn)，題型多以選

函數(shù)模型2018?全國(guó)III卷?T12（對(duì)數(shù)式比較擇題、填空題為

4.了解指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)大?。┲?，屬中檔題

函數(shù)y=logax互為反函數(shù)（a>0,2018?天津高考?T5（對(duì)數(shù)式比較核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)

且a±l）大?。┻\(yùn)算、直觀想象

2.教材回扣基礎(chǔ)自測(cè)：自主學(xué)習(xí)?知識(shí)積淀

、基礎(chǔ)細(xì)梳理知識(shí)必備?固根基

1.對(duì)數(shù)的概念

⑴對(duì)數(shù)的定義

第1頁(yè)共23頁(yè)

如果a'=M〃>。，且〃W1)，那么數(shù)x叫做以。為底N的對(duì)

數(shù)，記作尤=logaM其中8叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，乂叫做真數(shù)。

(2)幾種常見(jiàn)對(duì)數(shù)

對(duì)數(shù)形式特點(diǎn)記法

一般對(duì)數(shù)底數(shù)為。(。>0,且lOgaN

常用對(duì)數(shù)底數(shù)為及IgJY

自然對(duì)數(shù)底數(shù)為gInN

2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)

logJV

①。=甌>0,且。Wl,7V>0)o

②log/N=&(〃>0,且〃W1)。

⑵對(duì)數(shù)的重要公式

①換底公式：log“〃=鱉且〃Wl；c>0,且c^l；/?>0)o

②淚=房？

log推廣log疝?log〃c?log(d=log,/。

⑶對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

如果〃>0,且aWl,M>0,N>0,那么:

①10g"(MW=10g“M+lOgaN；

M

②log〃w=log"M—logjv；

③log,M?=n\ogaM(n￡R)；

?\ogamMH=~\ogM(m，〃￡R)。

，，La

3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

y=

a>l0<a<l

logd

第2頁(yè)共23頁(yè)

圖

象

定義域：(0，+8)

值域：R

過(guò)點(diǎn)(1,0),即x=L時(shí)，y=Q

性當(dāng)x>l時(shí)，y>0；當(dāng)x>l時(shí)，y<0；

質(zhì)當(dāng)OVxVl時(shí)，y<0當(dāng)OVxVl時(shí)，y>0

是(0,+8)上的增函數(shù)是(0,+8)上的減函數(shù)

y=\ogax的圖象與y=log%m>0,且qW1)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

4.〉=優(yōu)與y=logHa>0,aWl)的關(guān)系

指數(shù)函數(shù)y=八與對(duì)數(shù)函數(shù)y=k)gj互為反函數(shù),它們的圖

象關(guān)于宜線正工對(duì)稱。

1.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的等價(jià)關(guān)系：a』NQx=To&N。

2.換底公式的三個(gè)重要結(jié)論

⑴bg"ii；

n

⑵log"〃"=Mlog就；

(3)log,61og%clog<d=log/

3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較

如圖，作直線y=l,則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)。故0<c<a<l<a<b。

第3頁(yè)共23頁(yè)

5.(忽視底數(shù)。的討論出錯(cuò))若log*im>0,且aWl),則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是o

33

解析當(dāng)0<a<l時(shí)，log^<log^=1,所以0<。<不當(dāng)

時(shí)，log.<log&=l,所以〃〉1。所以實(shí)數(shù)Q的取值范圍是10,4

U(l,+°°)o

(3、

答案10,Jju(l,+-)

2.2.考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練——互動(dòng)課堂-考向探究

2.2.L考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的運(yùn)算自主練習(xí)

Q

1.已知2、=3,log4g=y,則x+2y的值為

解析

所以x+2y=log23+log2g=log28=3o

答案3

2.1g25+lg50+lg2-lg500+(1g2)2=。

解析原式=21g5+(lg5+l)+lg2X(2+lg5)+(lg2)2=1

+31g5+21g2+lg2(lg5+lg2)=1+31g5+31g2=1+3(lg5+lg

2)=4o

答案4

3.若log點(diǎn)?k)g3〃=4,則b=o

解析由log“"log3Q=4得雷?卷W=log38=4,所以Z?=34=

8U

答案81

4.(log32+log92)-(log43+log83)=。

第5頁(yè)共23頁(yè)

f11\1i35

解析原式=[log32+21og32jx[]k)g23+wlog23j=,og32Xk

1他2jig35

1唯3=訪乂必=笳

答案!

在對(duì)數(shù)運(yùn)算中要注意的幾個(gè)問(wèn)題

1.在化簡(jiǎn)與運(yùn)算中，一般先用箱的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行

變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，使幕的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后再運(yùn)用對(duì)

數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并。

b

2.a=N^b=\ogaN（a>0,且1）是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)

題的有效方法，在運(yùn)算中要注意互化。

2.2.2.考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【例1】（1）作出函數(shù)y=log2k+l|的圖象，由圖象指出函

數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)明它的圖象可由函數(shù)y=k）g2X的圖象經(jīng)過(guò)

怎樣的變換而得到。

解

作出函數(shù)y=log2X的圖象，將其關(guān)于y軸對(duì)稱得到函數(shù)曠=

10g2|R的圖象，再將圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)》=

log2|x+l|的圖象（如圖所示）。由圖知，函數(shù)y=log2|x+1］的單調(diào)

遞減區(qū)間為（-8,—1）,單調(diào)遞增區(qū)間為（-1,+8）。

第6頁(yè)共23頁(yè)

(2)已知當(dāng)時(shí)，有/<log〃x,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

解析

(11

若也<logd在0,4時(shí)成立，則。且丁=也的圖象

在y=log?x圖象的下方，作出圖象如圖所示。由圖象知\^<108才,

0<a<l9

i/1\

所以111解得77*<1。即實(shí)數(shù)a的取值范圍是京,1o

21lo110>

a>不

答案島(11)J

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可求解的兩類熱點(diǎn)問(wèn)題

1.對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，

在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形

結(jié)合思想求解。

2.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象

問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解。

【變式訓(xùn)練】⑴函數(shù)/(X)=lOga|M+l(0<Q<l)的圖象大致

為()

第7頁(yè)共23頁(yè)

解析由函數(shù)/(X)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)

于y軸對(duì)稱。設(shè)g(x)=log〃b|,先畫(huà)出x〉0時(shí)，g(x)的圖象，然后

根據(jù)g(x)的圖象關(guān)于》軸對(duì)稱畫(huà)出x<0時(shí)g(x)的圖象，最后由函

數(shù)g(x)的圖象向上整體平移一個(gè)單位長(zhǎng)度即得/(X)的圖象，結(jié)合

圖象知選Ao

答案A

log2X,X>0,

(2)已知函數(shù)/(x)=J關(guān)于X的方程/(x)+x—Q

=0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是o

解析問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)y=/(x)與y=-x+a的圖象有且只

有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知6Z>lo

第8頁(yè)共23頁(yè)

答案（1,+°°）

2.2.3.考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用微專題

微考向1：比較對(duì)數(shù)值的大小

【例2】（1）已知。=log2e,Z?=ln2,c=logl則。，b,

23

c的人小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

解析因?yàn)閏=logl|=log23>log2e=^,所以c>ci。因?yàn)閎=

2J

ln2=log^e<1<log2e=6Z,所以a>bo所以c>a>bo

答案D

45

(2)(2020-全國(guó)111卷)已矢口55<8413<8。設(shè)a=log53,/7=log85,

c=logi38,則()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<h

44

4ss

解析解法一：因?yàn)椋?log88',/?=logs5,(8')5=84>5\

44

54s44

所以8、>5,所以\=log88、>log85=b,即卜三。因?yàn)椋?

JJJ

444

W74

3D545

log1313,c=logi38,(13)=13<8,所以13°<8,所以彳=

4

54

D

logi313<logi38=c,即c>\。又2187=37<55=3125,所以1g

37<lg55,所以71g3V51g5,所以耨<點(diǎn)所以a=j|-|<|,而85<57,

第9頁(yè)共23頁(yè)

la55la55

所以51g8<71g5,所以亍所以所以c>b>ao

初土一山日石二k左入u〃、八〃1。旦531g3義1g8

解法一:由仁意丁知a,b,eE(O,l),廠牌85一ig5Xlg5

1門(mén)。3+1。8)八。24、

<(ig^Xl-2J2=fej2<1J所以〃<"；由"=1陽(yáng)5,得8人

4

=5,由55<8:得8528。所以外<4,可得81；由c=k)gi38,

4

得13c=8,由13々85,得134<135:所以4<5g可得c>《，所以

h<co綜上所述，a<h<co

答案A

總結(jié)反思

比較對(duì)數(shù)值大小的常見(jiàn)類型及解題方法

常見(jiàn)類型解題方法

底數(shù)為同一常

可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷

數(shù)

底數(shù)為同一字

需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論

母

底數(shù)不同，真可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較，也可用圖象法

數(shù)相同比較

底數(shù)與真數(shù)都

常借助1,0等中間量進(jìn)行比較

不同

微考向2：解對(duì)數(shù)不等式

[例3]⑴若Ioga(a2+l)vloga2"0,則a的取值范圍是

()

第10頁(yè)共23頁(yè)

A.(0,1)B.10,2

fl、

C.51JD.(O,1)U(1,+8)

解析由題意得々>0且aWl,故必有序+1>2〃，又lo&(〃2

+l)<logfl2a<0,所以同時(shí)2a>1,得所以;Vz<l。

故選C。

答案c

(2)已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)在(-8,0］上是減函數(shù)，

且"1)=2,則不等式/(log2X)>2的解集為()

A.(2,+°°)B.；0,；U(2,+8)

C.［o,乎卜(卷+oo)D.(^2,+8)

解析因?yàn)?(幻是偶函數(shù)，且在(一8,0］上單調(diào)遞減，所以

/(X)在。+8)上單調(diào)遞增。/(log2X)>2=〃l),所以/(|log2X|)"

(1),得|log2K>1,即lOg2X>l或lOg2X<—1,解得X>2或0Vx

故選Bo

答案B

總結(jié)反思

對(duì)數(shù)不等式(組)的求解常利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在對(duì)數(shù)的

底數(shù)不確定的情況下，要注意分類討論。

微考向3：對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【例4】(1)已知函數(shù)/(尢)=16>;—2)+坨(6—工)，貝1()

人./。)在(2,6)上單調(diào)遞增

B./(x)在(2,6)上的最大值為21n2

第11頁(yè)共23頁(yè)

C./(尢)在(2,6)上單調(diào)遞減

D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4,0)對(duì)稱

解析/(冗)=ln(x—2)+ln(6—x)=ln[(x—2)(6—%)],定義域

為(2,6),令f=(x—2)(6—x),則y=ln/,二次函數(shù)E=(x—2>(6—

x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=4,所以/(x)在(2,4)上單調(diào)遞增，在

(4,6)上單調(diào)遞減，A,C錯(cuò)誤，D顯然是錯(cuò)誤的；當(dāng)x=4時(shí)，t

有最大值，函數(shù)y=ln/為增函數(shù)，所以/(x)max=ln(4—2)+ln(6

-4)=21n2o故選B。

答案B

(2)(2021?武漢市質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知a=41n3兀,b=31n4兀，c=41n

兀3,則〃，b,C的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.b<c<a

C.h<a<cD.a<h<c

解析構(gòu)造函數(shù)/(x)=3%23),則/'(x)=~―4^<0,函

數(shù)”工)在[3,+8)上是減函數(shù)，由3<兀<4,得/(3)"(兀)>/(4),

即二—>>”—，所以一>1,T>1,所以。>c>。。故選B。

3兀4cb

答案B

總結(jié)反思

本題(2)構(gòu)]查函數(shù)、討論其單調(diào)性比較大小，是對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)

的一個(gè)重要應(yīng)用。

2.3.【題組對(duì)點(diǎn)練】

1.(微考向1)若〃=log34,匕=0.6叫c=logl2,則。，b,

2

C的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>c

第12頁(yè)共23頁(yè)

C.b>c>aD.b>a>c

解析6f=log34>log33=l,0</?=0.6°4<0.6°=1,c=logl2=

」「2

一IvO,所以故選B。

答案B

2.(微考向2)若定義在區(qū)間(一1,0)內(nèi)的函數(shù)/a)=iog2〃a+

1)滿足/(x)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

(n[f

A.[0,2JB.10,2

fl、

C.旨+叼D.(0,+°0)

解析因?yàn)橐?令<0,所以0令+1<1。又因?yàn)?(幻>0,所以

0<2。<1,所以0<。<5。

答案A

3.(微考向3)(多選)函數(shù)/(x)=log加一1|在(0,1)上是減函數(shù)，

那么()

A.7(x)在(1,+8)上遞增且無(wú)最大值

B./(x)在(1,+8)上遞減且無(wú)最小值

C./(x)在定義域內(nèi)是偶函數(shù)

D./(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

解析由|工一1|>0得，函數(shù)/(x)=log“|x—l|的定義域?yàn)?/p>

X—1.

{x|xWl}。設(shè)g(x)=|x-l|=二則g(x)在(一8,1)

[一冗+1,X<1,

上為減函數(shù)，在(1,+8)上為增函數(shù)，且g(x)的圖象關(guān)于直線X

=1對(duì)稱，所以/(0的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，D正確；因?yàn)?

(x)=loga|x-1|在(0,1)上是減函數(shù),所以4>1,所以/(X)=log4r一

1|在(1,+8)上遞增且無(wú)最大值，A正確，B錯(cuò)誤；又/(一#=

logd-X-11=logjx+11^/(%),所以C錯(cuò)誤。故選AD。

第13頁(yè)共23頁(yè)

答案AD

4.(微考向3)(2020?全國(guó)I卷)若2"+log2Q="+21ogM則

()

A.a>2bB.a<2b

C.a>trD.a<b2

解析解法一：令/(x)=2x+log2X,因?yàn)?，=2"在(0,+8)

上單調(diào)遞增，y=log2%在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以/(x)=2"+

ah2/7

log2X在(0,+8)上單調(diào)遞增。又2+log26r=4+21og4Z?=2+

log2b<22〃+log2(23,所以/(〃)勺(2b),所以。<2從故選B。

解法二：(取特值法)由2"+log2Q=4/，+210gs=，+log2兒取

b=1,得2"+log2Q=4,令/(x)=2'+log2X—4,則/(x)在(0,+

8)上單調(diào)遞增,且/⑴<0,/(2)>0,所以/(1?(2)<0,f(x)=2x

+log2X-4在(0,+8)上存在唯一的零點(diǎn)，所以\<a<2,故a>2b

=2,火店都不成立，排除A,D;取b=2,得2"+log2a=17,

令g(x)=2'+log2X—17,則g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g(3)<0,

g(4)>0,所以g(3)g(4)<0,g(x)=2x+log2X—17在(0,+8)上存

在唯一的零點(diǎn)，所以3<興4,故Q>〃=4不成立，排除c。故選

Bo

答案B

3.教師備用題

(1、

【例1】(配合例1使用)函數(shù)/(x)=x+；ln|x|的圖象的大

致形狀為()

第14頁(yè)共23頁(yè)

解析解法一：當(dāng)x>0時(shí)ja)=x+：lnx,且當(dāng)04<1時(shí)，

\X)

由x+(>0,lnx<0,得/(x)<0,故排除B,C;當(dāng)x<0時(shí)，/(#=

X

Nln(—x),且當(dāng)—1<x<0時(shí)，由x+；<0,ln(—x)<0,得/(x)>0,

故排除A。故選D。

(i、(n

解法二：因?yàn)?(一尢)=^^+-ln|—x\=—x+-ln|x|=—f

\X)\X)

(x),所以/(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除A,B;

當(dāng)x=2時(shí)，/(2)=|ln2>0,故排除Co故選D。

乙

答案D

【例2】(配合例2使用)下列不等關(guān)系，正確的是()

A.Iog23<log34<log45B.Iog23>log45>log34

C.Iog23<log45<log34D.Iog23>log34>log45

,.1Q31Q41Q5

解析解法一：log23=ig2>log?4=氤,iog45=盲q,所以

亞23_但2+lg&|

,一/Ig3_lg4lg23—lg21g4JgJ12J

1082310834-1g2lg3-1g21g3>lg21g3一

lg23_（等2Jg23_（等2

"lg2lg3>&lg21g3=0所以I°g23>log34,同理可證

第15頁(yè)共23頁(yè)

Iog.34>log45o故選D。

初上一1IIXlg(〃+l)

斛法一：log〃u?+l)-]g〃，

,lg(〃+2)

k)g(〃+D(〃+2)=畫(huà)的，

所以logw(n+1)—log(/t+1)(n+2)=

lg5+l)lgS+2)_lg2S+l)-lg〃lg(〃+2)

lgnlg(j?+l)1g7zlg(7?+l)>

lg2(〃+l)-慟+整+2)1

lgnlg(n+l)

lg2(〃+l)—[鳴也斗

lg川g(〃+l)>

lg2(〃+l)—產(chǎn)科丹

lgdg(/t+l)-0,

所以Iog23>log34>log45o故選D。

答案D

【例3](配合例3使用)已知函數(shù)/(x)=ln3+0)m>0且

4/1)是R上的奇函數(shù)，則不等式。的解集是()

A.3+0°)

B.(—8,a)

C.當(dāng)時(shí)，解集是(〃，+8),當(dāng)0<。<1時(shí)，解集是(一

8,(i)

D.當(dāng)。>1時(shí)，解集是(一8,。)，當(dāng)0<〃<1時(shí)，解集是3,

+0°)

解析依題意，/(0)=ln(l+〃)=0,解得〃=0,于是/(#=

x

Ina=x\naQ所以/(x)>alnaU>xlna>〃ln〃。當(dāng)時(shí)，X>a\當(dāng)

第16頁(yè)共23頁(yè)

0<6/<1時(shí)，x<aQ故選C。

答案C

【例4】(配合例4使用)已知兀為圓周率，e=2.71828-

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則()

CC

A.K<3B.7ilog3e>31ogHe

C.35，<3兀e2D.log^ologse

解析對(duì)于A,因?yàn)楹瘮?shù)y=d是(0,+8)上的增函數(shù)，且

JT3

兀>3,所以兀,>3,，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B,兀log3e>31og；te<4j_不>]O

in11^Jr

7tln兀>31n3臺(tái)兀">33,B項(xiàng)正確；對(duì)于C.3e_27i<37Cc_2O3e_3<7ie~3,

而函數(shù)是(0,+8)上的減函數(shù)，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D,

Iogne>log3e<=>j^>|^<=>ln兀<ln3,而函數(shù)y=lnx是(0,+8)上

的增函數(shù)，D項(xiàng)錯(cuò)誤。故選B。

答案B

4.課外閱讀?增分培優(yōu)

4.1.因“型”制宜話大小

比較大小問(wèn)題在高考中一直占有一席之地，但對(duì)于指數(shù)、真

數(shù)、底數(shù)不同的情況進(jìn)行比較大小時(shí)，由于形式各異，同學(xué)們有

時(shí)會(huì)感到困惑，現(xiàn)分類舉例，供同學(xué)們參考。

一、利用指、對(duì)、累函數(shù)的單調(diào)性

1

—⑴?

【例1】已知〃2>1,且Q=logl加，b=5,c=m,則

2I少

a，b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.b<c<a

第17頁(yè)共23頁(yè)

【解析】因?yàn)镴=loglx在(0,+8)上是減函數(shù)，且m>l,

2

所以log2〃2<logj_1,即。<0。又)，=5'在R上是減函數(shù)，所以

221)

1

,即0<Z?<|o因?yàn)閥=x2

0<0曲在[0,+8)上是增函數(shù)，所

11

79

以〃z>1,即。>1。所以〃<Z?<c。故選A。

【答案】A

【名師微點(diǎn)】本題考查利用指、對(duì)、嘉函數(shù)的單調(diào)性比較

大小。同時(shí)注意中間量的選取要便于計(jì)算、比較，通過(guò)選取一些

中間量(如0,1等)比較大小，借助不等式傳遞性來(lái)確定它們的大

小。

2

【變式訓(xùn)練1]設(shè)a=2，/?=log35,c=log45,則a,

Ac的大小關(guān)系是()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<b<a

2

解析因?yàn)?=2,在R上是增函數(shù)，所以。=23<2°=lo

由題得/7=log35=j^2,C=log45=4I。因?yàn)閥=logK在(0,

+8)上是增函數(shù)。所以0=k)g51Vlog53vlOg54<log55=1,所以

11

>>1,即b>c>\,所以b>c>a故選A。

log53log54G

答案A

二、利用函數(shù)的圖象

已知國(guó)"=l°g3“3=loglb,p—logj_c,貝Ija,

[例2]3

3

第18頁(yè)共23頁(yè)

b,c的大小關(guān)系是（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<c<aD.b<a<c

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出），=Q',y

=logsx,v=3\y=loglx的圖象，如圖。由圖可知〃<c<。。故

3

選C。

【答案】C

【名師微點(diǎn)】對(duì)于比較“超越方程”的根的大小問(wèn)題，直

接比較會(huì)很困難，常常將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與募函

數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大小問(wèn)題，再借助圖象求解。

【變式訓(xùn)練2】（2021.重慶南開(kāi)中學(xué)質(zhì)檢）已知eb,C、￡

（0,+°°）,且ln〃=〃-1,h\nh=1,cec=1,則a,b,c的大小

關(guān)系是________o

解析Ina=a—1,In/?=',ec=^o依次作出）：=巴y=ln

x,y=x—1,y=-在（0,+8）上的圖象，如圖所示。由圖象可知

X

第19頁(yè)共23頁(yè)

答案c<a<b

三、構(gòu)造函數(shù)

【例3】（2020?全國(guó)II卷）若2'—2''<3一］一3一）'，則（）

ln(y—x+l)>0B.ln(j—x+1)<0

In|x-j|>0D.ln|x-y|<0

【解析】由2、一2,'<3r—3一乙得2'—3一、<2'一3-）'，即2、

_做。設(shè)於）=2」修

，則/⑴勺*3）。因?yàn)楹瘮?shù)）,=2,'在

R上為增函數(shù)，y=—寸在R上為增函數(shù),

在R上為增函數(shù)，則由/（x）勺Xy）,得所以y—x>0,所以y

一x-\-1>1,所以ln（y—x+l）>Oo故選A。

【答案】A

【名師微點(diǎn)】解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)：（1）對(duì)于結(jié)構(gòu)相同（相似）

的不等式，通?？紤]變形，構(gòu)造函數(shù)；（2）利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性得到x,y的大小關(guān)系及In。，-x+1）的符號(hào)。

【變式訓(xùn)練3】若?"+兀*?！?兀，則有（）

A.a+h^0B.

C.a-b^0D.a+b^0

解析構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性求解。令/a）=e，一兀一。則/（x）

是增函數(shù)，因?yàn)閑"一兀一"2巳一"一兀"，所以/（。）力/（一。），所以

—b,即。+/?20。故選D。

答案D

4.2.“新情境”試題

“新情境”試題是高考一道亮麗的風(fēng)景線，它體現(xiàn)了我國(guó)社

會(huì)主義建設(shè)的偉大成就，緊密聯(lián)系社會(huì)，設(shè)計(jì)真實(shí)的問(wèn)題情境,

具有鮮明的時(shí)代特色。近年來(lái)，高考試卷已經(jīng)在轉(zhuǎn)型，讓“貼近

社會(huì)、貼近時(shí)代、貼近考生實(shí)際”的理念成為貫穿整個(gè)高考命題

第20頁(yè)共23頁(yè)

的思路。試題體現(xiàn)了應(yīng)用性和創(chuàng)新性，強(qiáng)調(diào)理性思維，突出數(shù)學(xué)

的應(yīng)用性和數(shù)學(xué)文化的引