《排列數(shù)》教學(xué)設(shè)計2

高中數(shù)學(xué)精編資源3/3《排列數(shù)》教學(xué)設(shè)計一、復(fù)習(xí)引入判斷下面哪些問題是排列問題.(1)從四名男生中,任選兩名同學(xué)組成一隊參加年級乒乓球男雙比賽,有多少種情況?(2)從四名男生中,任選兩名同學(xué)分別參加上午、下午的比賽,有多少種情況?(3)從0~9這10個數(shù)字中,任選4個不同的數(shù)字組成一組,有多少種情況?(4)圓上有10個不同的點(diǎn),過其中2個點(diǎn)畫一條弦,有多少種情況?(5)圓上有10個不同的點(diǎn),以其中2個點(diǎn)畫有向線段,有多少種情況?(6)從1,3,5,7,11這5個質(zhì)數(shù)中任選兩個相乘,有多少個不同的積?(7)從1,3,5,7,11這5個質(zhì)數(shù)中任選兩個相除,有多少個不同的商?(8)一個學(xué)生有20本不同的書,這些書都排在一個單層的書架上,有多少種情況?(9)從53位同學(xué)中隨機(jī)選8位去8個不同的地方參加活動,每個地方派一人,有多少種情況?師生活動:教師指名學(xué)生回答,哪些是排列問題,哪些不是排列問題?為什么?生:第(2)(5)(7)(8)(9)是排列問題,(1)(3)(4)(6)不是排列問題.根據(jù)排列的定義判斷.追問:其中這些排列問題各有多少個不同的排列?教師指名學(xué)生在黑板上列出計算過程.追問:你能發(fā)現(xiàn)這些計算的共同特點(diǎn)嗎?能否把這一類問題用同一種簡化的形式表示?這是我們本節(jié)課研究的問題.設(shè)計意圖:復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的排列概念,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解排列的概念,讓學(xué)生歸納出值得注意的關(guān)鍵詞:(1)n個不同的元素;(2)取出m個元素;(3)一定的順序排成一列.在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生計算排列的個數(shù),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,引出本節(jié)課的課題.二、揭示規(guī)律,導(dǎo)出公式師生活動:教師給出排列數(shù)的定義:從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù),用符號表示.教師提問:表示什么?等于多少?學(xué)生思考、討論、交流.表示從3個不同元素中取出2個元素的排列個數(shù),;表示從4個不同元素中取出3個元素的排列個數(shù),;表示從10個不同元素中取出4個元素的排列個數(shù),;表示從8個不同元素中取出4個元素的排列個數(shù),;表示從個不同元素中取出2個元素的排列個數(shù).根據(jù)前面的經(jīng)驗,可以這樣考慮:假定有排好順序的兩個空位,從個不同的元素中取出2個元素去填空,一個空位填上一個元素,每一種填法就得到一個排列;反之,任何一種排列總可以由這種填法得到.因此,所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù).完成“填空”這件事可以分兩個步驟:第1步,填第1個位置的元素,可以從這個不同元素中任選1個,有種選法;第2步,填第2個位置的元素,可以從剩下的個元素中任選1個,有種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,2個空位的填法種數(shù)為.同理可得.教師追問:你能通過這種方法得出的表達(dá)式嗎?學(xué)生獨(dú)立思考分析并展示結(jié)果..教師引導(dǎo)學(xué)生理解公式:(1)從開始依次遞減連續(xù)個正整數(shù)的積;(2)都是正整數(shù),且;(3)符號表示一個結(jié)果,又表示一種運(yùn)算.這樣,一個問題若是排列問題,就可以用上式求出具體的排列的個數(shù).說明特例情況,我們把個不同的元素全部取出的一個排列,叫做個元素的一個全排列.正整數(shù)1到的連乘積,叫做的階乘,用!表示.于是個元素的全排列數(shù)公式可以寫成.我們規(guī)定,.設(shè)計意圖:通過讓學(xué)生計算一些排列數(shù),結(jié)合分步乘法計數(shù)原理,得出排列數(shù)公式,讓學(xué)生體會從特殊到一般的思維方法,體會公式的形成過程,感受符號語言的簡潔美.三、強(qiáng)化公式,推導(dǎo)新公式讓學(xué)生計算下列排列數(shù):(1);(2);(3);(4).解:根據(jù)排列數(shù)公式,可得(1);(2);(3);(4)!.學(xué)生完成計算后,教師提出問題:觀察第(3)題,你有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?學(xué)生猜測出一般結(jié)論:.讓學(xué)生嘗試證明并展示,教師點(diǎn)評.事實(shí)上,設(shè)計意圖:通過利用排列數(shù)公式計算一些排列數(shù),熟悉公式的應(yīng)用,同時結(jié)合運(yùn)算的過程與運(yùn)算結(jié)果,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得出排列數(shù)的另外一個公式.四、典型例題例1在這7個不同元素組成的全排列中,(1)在首位的有多少種?(2)前兩個位置上依次是的有多少種?(3)前兩個位置上是的有多少種?解題思路分析:(1)先滿足特殊元素與特殊位置(首位),把放在首位,有1種方法,再讓其余6個元素在其余6個位置上作全排列,有種方法.這兩個步驟完成以后,就得到所要求的排列.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同方法種數(shù)為.(2)先把分別放在第一、二個位置上,滿足,在前兩個位置上(順序固定),有1種方法;再讓其余5個元素在其余5個位置上作全排列,有種方法.故不同方法種數(shù)為.(3)先把放在前兩個位置上,由于順序不固定,所以有種方法,再讓其余5個元素在其余5個位置上作全排列,有種方法.所以方法種數(shù)為.點(diǎn)評:由(1)(2)知,如果要求某一特殊元素必須放在某一特殊位置,那么先把這個元素放在這個特殊位置,這時元素少了1個,位置也少了1個,則問題轉(zhuǎn)化為求的問題,這種情況可以推廣到某個元素必須分別在個特殊位置上,其結(jié)果是.由(3)知,如果特殊的個元素在特殊的個位置上,又可以變換位置,在這種情況下,完成這一步驟的方法有種,在這一步完成后,完成第二步有種方法.因此,解這類問題的公式是.例2從這7個不同元素中取出5個元素的所有排列中,(1)不在首位的有多少種?(2)既不在首位,又不在末位的有多少種?(3)與既不在首位又不在末位的有多少種?(4)不在首位,同時不在末位的有多少種?解題思路分析:(1)方法一:首先滿足特殊元素不在首位的排列可以分為兩類:①不含此時只需從以外的其他6個元素中取出5個放在5個位置上,有種;②含有:不在首位,先從4個位置中選出1個放,再從以外的6個元素中選4個排在沒有的位置上,方法種數(shù)為.由分類加法計數(shù)原理,得方法種數(shù)為2160.方法二:把位置作為研究對象,第1步滿足特殊位置(首位),從以外的6個元素中選1個排在首位,有種方法;第2步,從占據(jù)首位以外的6個元素中選4個排在除首位以外的其他4個位置上,有種方法,由分步乘法計數(shù)原理,得方法種數(shù)為.方法三:間接法,從總的可能情況中減去不符合要求的情況.不考慮在首位的要求,總的可能情況有種.在首位的,有種,所以符合要求的方法種數(shù)為.(2)把位置作為研究對象,先滿足特殊位置,從以外的6個元素中選2個排在首、末兩個位置上,有種方法;再從未排上的5個元素中選3個排在中間3個位置上,有種方法,由分步乘法計數(shù)原理,得方法種數(shù)為.(3)把位置作為研究對象.先從以外的5個元素中選2個排在首、末兩個位置,有種方法;再從未排上的5個元素中選出3個排在中間3個位置上,有種方法.由分步乘法計數(shù)原理,得方法種數(shù)為.(4)用間接法.總的可能情況是種,減去在首位,同時在末位的種.所以方法種數(shù)為.點(diǎn)評:例2第(1)題給出的三種方法是最常用的,在具體題目中還應(yīng)該選擇適當(dāng)?shù)姆椒?因為排列問題對思維的要求很高,所以用不同解法相互檢驗是防止錯誤結(jié)果的有效方法.師生共同總結(jié)規(guī)律:排列的應(yīng)用主要是解決與實(shí)際問題有關(guān)的應(yīng)用題.這類問題從條件出發(fā),分兩類:一類是沒有附加條件的排列問題;一類是有附加條件的排列問題.有附加條件的排列問題主要有兩種:一是“在與不在”的問題,就是某一個或某幾個元素在或不在某些特殊位置;一是“鄰與不鄰”問題,是指某些元素相鄰或不相鄰的問題,這類問題常用“捆綁法”或“插空法”求解.解有附加條件的排列問題的基本思路:從元素出發(fā)或從位置出發(fā),稱為“元素分析法”“位置分析法”.解有附加條件的排列問題的基本方法:一是直接法,先從特殊元素或特殊位置出發(fā),再考慮非特殊元素及非特殊位置,用分步乘法計數(shù)原理求解.二是間接法,先不考慮條件限制,求出排列總數(shù),再求出不滿足條件的排列數(shù),前者與后者的差即為問題結(jié)論.設(shè)計意圖:通過這兩道例題,引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)排列問題的解決方法.五、鞏固練習(xí)可表示為()A.B.C.D.2.已知,則()A.11B.C.13D.143.某節(jié)目組決定把《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場分別作為節(jié)目的開場詩詞,并要求《將進(jìn)酒》與《望乓》相鄰,且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰,且均不排在最后,則后六場開場詩詞的排法有()A.72種B.48種C.36種D.24種4.5個人并排站成一行,如果其中的甲、乙兩個人不相鄰,那么不同的排法種數(shù)是()A.42B.60C.72D.80___________.6.用數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中偶數(shù)有___________個(用數(shù)字作答).7.省中學(xué)為預(yù)防秋季流感爆發(fā),計劃安排學(xué)生在校內(nèi)進(jìn)行常規(guī)體檢,共有3個檢查項目,需要安排在3間空教室里進(jìn)行檢查,學(xué)校現(xiàn)有6間空教室供選擇使用,但是為了避免學(xué)生擁擠,要求作為檢查項目的教室不能相鄰,則共有___________種安排方式(用數(shù)字作答).答案1.C(點(diǎn)撥:2.C(點(diǎn)撥:由得,經(jīng)檢驗解得3.C(點(diǎn)撥:首先可將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進(jìn)行全排列,排法種數(shù)為.再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》安排在3個“空”里(最后一個“空”不排),排法種數(shù)為,則后六場開場詩詞的排法種數(shù)為.)4.C(點(diǎn)撥:先除去甲、乙兩人,將剩下的3個人進(jìn)行全排列,排法種數(shù)為,再將甲、乙兩人從產(chǎn)生的4個“空”中選2個插入,共種不同的排法.所以5個人并排站成一行,如果甲、乙兩個人不相鄰,那么不同的排法種數(shù)是5.348(點(diǎn)撥:.)6.72(點(diǎn)撥:滿足條件的數(shù)的個數(shù)為)7.24(點(diǎn)撥:6間空教室,有3間空教室不使用,3間空教室產(chǎn)生4個“空”,故可把作為檢查項目的教室插入4個“空”中,故所有不同的安排方式的種數(shù)為)六、課堂小結(jié)1.本節(jié)課我們學(xué)了哪些基本概念和公式?2.研究過程中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想與方法?3.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲?七、布置作業(yè)教材第180頁練習(xí)第1,2題.板書設(shè)計:6.2.2排列數(shù)一、復(fù)習(xí)引入二、揭示規(guī)律,導(dǎo)出公式1.排列數(shù)的概念從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù),用符號表示2.排列數(shù)的公式(1)(2)的階乘:!三、強(qiáng)化公式,推導(dǎo)新公式四、典型例題例1例2五、鞏固練習(xí)六、課堂小結(jié)七、布置作業(yè)教學(xué)研討:本案例的設(shè)計突出“以人為本”的理念,體現(xiàn)學(xué)生的課堂主體地位.以學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn),關(guān)注學(xué)生活動,在交流展示中習(xí)得新知,將數(shù)學(xué)知