DEA數(shù)據(jù)包絡分析

數(shù)據(jù)包絡分析（DEA）

數(shù)據(jù)包絡分析是線性規(guī)劃模型的應用之一，常被用來衡量擁有相同目標的運營單位的相對效率。數(shù)據(jù)包絡分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評價同類型組織（或項目）工作績效相對有效性的特殊工具手段。這類組織例如學校、醫(yī)院、銀行的分支機構(gòu)、超市的各個營業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個指標，當各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計量時，容易計算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進行績效排序。

數(shù)據(jù)包絡分析概述

2024/11/223數(shù)據(jù)包絡分析概述但當被衡量的同類型組織有多項投入和多項產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時，就無法算出投入產(chǎn)出比的數(shù)值。例如，大部分機構(gòu)的運營單位有多種投入要素，如員工規(guī)模、工資數(shù)目、運作時間和廣告投入，同時也有多種產(chǎn)出要素，如利潤、市場份額和成長率。在這些情況下，很難讓經(jīng)理或董事會知道，當輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時，哪個運營單位效率高，哪個單位效率低。因而，需采用一種全新的方法進行績效比較。這種方法就是二十世紀七十年代末產(chǎn)生的數(shù)據(jù)包絡分析（DEA）。DEA方法處理多輸入，特別是多輸出的問題的能力是具有絕對優(yōu)勢的。1978年，著名運籌學家、美國德克薩斯大學教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes發(fā)表了一篇重要論文：“Measuringtheefficiencyofdecisionmakingunits”（決策單元的有效性度量），刊登在權(quán)威的“歐洲運籌學雜志”上。正式提出了運籌學的一個新領(lǐng)域：數(shù)據(jù)包絡分析，其模型簡稱C2R模型。該模型用以評價部門間的相對有效性（因此被稱為DEA有效）。數(shù)據(jù)包絡分析（DEA）源起DEA模型是直接使用輸入、輸出數(shù)據(jù)建立非參數(shù)的經(jīng)濟數(shù)學模型。2024/11/225數(shù)據(jù)包絡分析應用現(xiàn)狀DEA的優(yōu)點吸引了眾多的應用者，應用范圍已擴展到美國軍用飛機的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面．目前，這一方法應用的領(lǐng)域正在不斷地擴大。它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性（例如投資項目評價）；研究在做決策之前去預測一旦做出決策后它的相對效果如何（例如建立新廠后，新廠相對于已有的一些工廠是否為有效)。DEA模型甚至可以用來進行政策評價。2024/11/226數(shù)據(jù)包絡分析應用現(xiàn)狀最引人注目的研究是把DEA與其它評價方法進行比較。例如將DEA應用于北卡羅來納州各醫(yī)院的有效性評價。已有的按計量經(jīng)濟學方式給出的回歸生產(chǎn)函數(shù)認為，此例中不存在規(guī)模收益。DEA的研究發(fā)現(xiàn)，盡管使用同樣的數(shù)據(jù)，回歸生產(chǎn)函數(shù)不能象DEA那樣正確測定規(guī)模收益．其關(guān)鍵在于：DEA和回歸方法雖然都使用給定的同樣數(shù)據(jù)，但使用方式不一樣；DEA致力于每個單個醫(yī)院的優(yōu)化，而不是對整個集合的統(tǒng)計回歸優(yōu)化。在其它的研究中，例如在評價醫(yī)院經(jīng)營有效性時，將DEA與馬薩諸塞州有效性評定委員會使用的比例方法進行了比較，當使用模擬方法對DEA進行檢驗后認為，盡管由回歸函數(shù)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)有利于回歸方法的使用，但是DEA方法顯得更有效．2024/11/227數(shù)據(jù)包絡分析（DEA）模型簡介DEA是使用數(shù)學規(guī)劃（包括線性規(guī)劃、多目標規(guī)劃、具有錐形結(jié)構(gòu)的廣義最優(yōu)化、半無限規(guī)劃、隨機規(guī)劃等）模型，評價具有多個輸入、特別是多個輸出的“部門”或“單位”（稱為“決策單元”，簡記DMU）間的相對有效性（稱為DEA有效）。實際上“效率”或“相對有效性”的概念也是指產(chǎn)出與投入之比，不過是加權(quán)意義之下的產(chǎn)出投入比。根據(jù)對各DMU觀察的數(shù)據(jù)判斷DMU是否為DEA有效，本質(zhì)上是判斷DMU是否位于可能集的“生產(chǎn)前沿面”上。在DEA中一般稱被衡量績效的組織為決策單元（decisionmakingunit——DMU）。設(shè)：n個決策單元（j=1，2，…，n）每個決策單元有相同的m項投入（輸入）（i=1，2，…，m）每個決策單元有相同的s項產(chǎn)出（輸出）（r=1，2，…，s）

Xij——第j決策單元的第i項投入

yrj——第j決策單元的第r項產(chǎn)出衡量第j0

決策單元是否DEA有效數(shù)據(jù)包絡分析基本概念

決策單元12…n投入項目12…mX11X12…X1nX21X22…X2n…………Xm1Xm2…Xmn12…n決策單元y11y12…y1ny21y22…y2n…………ys1ys2…ysn12…s產(chǎn)出項目2024/11/2210輸入型與輸出型的DEA模型Input-DEA模型：基于投入的技術(shù)效率，即在一定產(chǎn)出下，以最小投入與實際投入之比來估計?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸入的減少，即求θ的最小。Output-DEA模型：基于產(chǎn)出的技術(shù)效率，即在一定的投入組合下，以實際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出之比來估計?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸出的增大，即求z的最大。2024/11/2211C2R模型2024/11/2212C2R的對偶輸入模型模型2024/11/2213C2R的對偶輸出模型模型2024/11/2214BC2的對偶輸入模型模型Banker,CharnesandCooper(1984)

衡量某一決策單元j0是否DEA有效——是否處于由包絡線組成的生產(chǎn)前沿面上，先構(gòu)造一個由n個決策單元組成（線性組合成）的假想決策單元。如果該假想單元的各項產(chǎn)出均不低于

j0

決策單元的各項產(chǎn)出，它的各項投入均低于

j0決策單元的各項的各項投入。即有：

構(gòu)建DEA模型的思路∑

jyrj≥yrj0

（r=1，2，…，s）∑

jxij≤Exij0

（i=1，2，…，m，E＜1）∑

j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn

這說明

j0

決策單元不處于生產(chǎn)前沿面上。

基于上述事實，可以寫出如下線性規(guī)劃的數(shù)學模型：minE

S.t.∑

jyrj≥yrj0

（r=1，2，…，s）∑

jxij≤Exij0

（i=1，2，…，m）∑

j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn結(jié)果分析：1、當求解結(jié)果有E＜1

時，則j0決策單元非DEA有效；2、否則，則j0決策單元DEA有效。2024/11/2217具有非阿基米德無窮小量的C2R對偶輸入模型2024/11/2218例1：考慮具有4個決策單元，2個輸入和1個輸出，相應的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)由下表給出：3343132123411211212024/11/2219考察DMU1，取ε＝10－52024/11/2220最優(yōu)解為所以，DMU1為DEA有效。2024/11/2221DEA有效性的判斷對具有非阿基米德無窮小量的C2R對偶輸入模型，可以根據(jù)以下規(guī)則判斷DEA有效性：若θ<1,則DMUj0不為弱DEA有效；若θ＝1,則DMUj0僅為弱DEA有效；若θ＝1,則DMUj0為DEA有效；2024/11/2222關(guān)于DEA模型的基本定理存在性定理：至少存在一個決策單元，它是DEA有效的。有效性與量綱選取無關(guān)定理：決策單元的DEA有效性與輸入和輸出量綱的選取無關(guān)。有效性與DMU同倍“增長”無關(guān)定理：決策單元的DEA有效性與決策單元對應的輸入和輸出同倍“增長”無關(guān)。2024/11/2223生產(chǎn)前沿面生產(chǎn)前沿面實際上是指由觀察到的決策單元的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的包絡面的有效部分，這也是稱謂“數(shù)據(jù)包絡分析”的原因所在。決策單元為DEA有效，也即相應于生產(chǎn)可能集而言，以投入最小、產(chǎn)出最大為目標的Pareto最優(yōu)。因此，生產(chǎn)前沿面即為Pareto面（Pareto最優(yōu)點構(gòu)成的面）。2024/11/2224技術(shù)有效與規(guī)模有效技術(shù)有效：輸出相對輸入而言已達最大，即該決策單元位于生產(chǎn)函數(shù)的曲線上。（其實這就是前面一直提到的相對有效性，注意，技術(shù)有效于純技術(shù)有效是不同的，有文獻指出，技術(shù)效率等于純技術(shù)效率與規(guī)模效率的乘積）規(guī)模有效：指投入量既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收入收益由遞增到遞減之間的狀態(tài)，即處于規(guī)模收益不變的狀態(tài)。2024/11/2225DMU1DMU2DMU3DMU4xyoDMU1、DMU2、DMU3都處于技術(shù)有效狀態(tài)；DMU1不為規(guī)模有效，實際上它處于規(guī)模收益遞增狀態(tài)；DMU3不為規(guī)模有效，實際上它處于規(guī)模收益遞減狀態(tài)；DMU2是規(guī)模有效的。如果用DEA模型來判斷DEA有效性，只有DMU2對應的最優(yōu)值θ0＝1?？梢姡贑2R模型下的DEA有效，其經(jīng)濟含義是：既為“技術(shù)有效”，也為“規(guī)模有效”。例2：碩士點教育質(zhì)量評價某系統(tǒng)工程研究所對我國金屬熱處理專業(yè)的26個碩士點的教育質(zhì)量，進行了有效性評價。評價采用的指標體系為：輸入：導師人數(shù)；實驗設(shè)備；圖書資料；學生入學情況。輸出：科研成果；論文篇數(shù)；學生畢業(yè)時的情況。

相對有效性評價問題舉例例3：行風（行業(yè)作風）建設(shè)有效性評價本項目研究人員選定江蘇省S市交通客運系統(tǒng)作為對象，包括7家交通客運汽車公司。選定了輸入指標4項，輸出指標4項。分別是：輸入指標：1、年末職工總數(shù)（單位：人）；

2、單位成本（單位：元/千人公里）；

3、燃料單位消耗（單位：升/千人公里）；

4、行車責任事故率（單位：次/千人公里）。輸出指標：1、勞動生產(chǎn)率（單位：元/人）；

2、行車準點率（%）；

3、群眾滿意率（按問卷調(diào)查）（%）

4、車輛服務合格率（包括：服務態(tài)度、服務措施、車輛設(shè)施等）（%）

相對有效性評價問題舉例例4：銀行分理處相對有效性評價振華銀行的4個分理處的投入產(chǎn)出如下表。求各個分理處的運行是否DEA有效。（產(chǎn)出單位：處理筆數(shù)/月）

相對有效性評價問題舉例分理處投入產(chǎn)出職員數(shù)營業(yè)面積（m2）儲蓄存取貸款中間業(yè)務分理處1分理處2分理處3分理處415202120140130120135180010008009002003504504201600100013001500解：若先確定分理處1的運行是否DEA有效。建立線性規(guī)劃模型：例4：銀行分理處相對有效性評價minE1800

1+10002+800

3+900

4≥1800200

1+3502+450

3+420

4≥2001600

1+10002+1300

3+1500

4≥1600S.t.15

1+202+21

3+20

4≤15E140

1+1302+120

3+135

4≤140E

1+2+

3+

4=1

j

≥0（j=1，2，3，4）求解結(jié)果分析：對分理處1，E=1，說明分理處1的運行DEA有效。對分理處2，E=0.996，說明分理處2的運行非DEA有效。對分理處3，E=1，說明分理處3的運行DEA有效。對分理處4，E=1，說明分理處4的運行DEA有效。例4：銀行分理處相對有效性評價2024/11/2231相對有效性評價問題舉例例5：醫(yī)院相對效率評價利用DEA模型分析4類醫(yī)院（普通醫(yī)院、校醫(yī)院、鎮(zhèn)醫(yī)院和國家醫(yī)院）的相對效率。這些醫(yī)院具有相同（或相似）的投入（輸入量）和產(chǎn)出（輸出量）。例如，建立一個用于分析鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率的線性模型。2024/11/2232例5：醫(yī)院相對效率評價輸入量全職非主治醫(yī)師人數(shù)提供的經(jīng)費可供住院的床位數(shù)輸出量開診日的藥物治療服務開診日的非藥物治療服務接受過培訓的護士數(shù)目接受過培訓的實習醫(yī)師數(shù)目2024/11/2233投入方式普通醫(yī)院學校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國家醫(yī)院全職非主治醫(yī)師285.20162.30275.70210.40提供的經(jīng)費（千元）123.8128.70348.50154.10可提供的住院床位數(shù)（千張）106.7264.21104.10104.044類醫(yī)院的年輸入量（年消耗）2024/11/2234輸出方式普通醫(yī)院學校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國家醫(yī)院開診日的藥物治療（千次）48.1434.6236.7233.16開診日的非藥物治療（千次）43.1027.1145.9856.46接受過培訓的護士數(shù)目253148175160接受過培訓的實習醫(yī)師數(shù)目412723844類醫(yī)院的年輸出量（年提供的服務）2024/11/2235鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價——DEA分析通過建立一個線性規(guī)劃模型，以4類醫(yī)院的輸入量和輸出量為基礎(chǔ)建立一個假設(shè)的合成醫(yī)院。通過將4類醫(yī)院的輸入量（或輸出量）的加權(quán)平均值作為假設(shè)的合成醫(yī)院的輸入量（或輸出量）。在線性規(guī)劃模型中的約束條件中，合成醫(yī)院所有的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。假如合成醫(yī)院的輸入量顯示小于鎮(zhèn)醫(yī)院輸入量，那么合成醫(yī)院就是有更大的輸出量而擁有更小的輸入量。因而，鎮(zhèn)醫(yī)院比合成醫(yī)院（四類醫(yī)院的加權(quán)平均）相對低效，進而可被認為比其他醫(yī)院相對低效。2024/11/2236鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價——DEA模型wg為普通醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wu為校醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wc為鎮(zhèn)醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；ws為國家醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重所以，DEA模型的第一個約束條件為

wg＋wu＋wc＋ws＝12024/11/2237鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價——DEA模型為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。即合成醫(yī)院的輸出量≥鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量我們可寫出輸出量的約束條件：48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws≥36.72（藥物治療）43.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws≥45.98（非藥物治療）253wg+148wu+175wc+160ws≥175（護士）41wg+27wu+23wc+84ws≥23（實習醫(yī)師）2024/11/2238鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價——DEA模型為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸入量必須小于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量。即合成醫(yī)院的輸入量≤鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量引入效率指數(shù)E，如鎮(zhèn)醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)為275.70，則275.70E為合成醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)。當E＝1時，合成醫(yī)院需要與鎮(zhèn)醫(yī)院相同的輸入量資源；當E>1時，合成醫(yī)院需要的輸入量資源大于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源；當E<1時，合成醫(yī)院需要的輸入量資源小于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量資源。（模型的