24.2 圓的基本性質 同步練習

第24章圓24.2圓的基本性質基礎過關全練知識點1圓的定義1.與圓心的距離不大于半徑的點所組成的圖形是()A.圓的外部(包括邊界) B.圓的內部(不包括邊界)C.圓 D.圓的內部(包括邊界)2.在觀看街頭表演時，人們會自然圍成一個圓，這是因為圓上任意一點到圓心的距離都，這個距離就是這個圓的.

知識點2點與圓的位置關系3.(2022安徽安慶懷寧模擬)已知☉O的直徑是4cm，OP=4cm，則點P()A.在☉O外 B.在☉O上 C.在☉O內 D.不能確定4.(2021江蘇句容月考)有一張矩形的紙片ABCD，AB=3cm，AD=4cm，若以A為圓心作圓，并且要使點D在☉A內，點C在☉A外，則☉A的半徑r的取值范圍是.

5.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°.求證：A，B，C，D四個點在同一個圓上.知識點3圓的有關概念6.下列說法中，正確的是()A.半徑是圓中最長的弦 B.等弧就是長度相等的弧C.等圓的半徑相等 D.半圓是優(yōu)弧7.(2022江蘇泰州興化模擬)如圖，MN為☉O的弦，∠N=52°，則∠MON的度數為()A.38° B.52° C.76° D.104°8.如圖，△ABC的三個頂點A，B，C都在☉O上，圓心O在邊AB上.求證：△ABC是直角三角形.知識點4圓的對稱性9.下列說法中，不正確的是()A.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形B.圓繞著它的圓心旋轉任意角度，都能與自身重合C.圓的對稱軸有無數條，對稱中心只有一個D.圓的每一條直徑都是它的對稱軸10.下圖中的圖形都是以圓為基礎設計而成的，其中是軸對稱圖形的是，是中心對稱圖形的是.

知識點5垂徑分弦11.下列說法：①平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦；②平分弦的直徑平分弦所對的??；③垂直于弦的直線必過圓心；④垂直于弦的直徑平分弦所對的弧.其中正確的是()A.②③ B.①③ C.②④ D.①④12.嘉興南湖不僅是黨的誕生地，它優(yōu)美的風光還吸引全國各地的旅客前來觀賞.如圖是嘉興南湖的一座三孔橋，某天測得最大橋拱的水面寬AB為6m，橋頂C到水面AB的距離為2m，則這座橋最大橋拱所在圓的半徑為()A.3m B.134m C.154m D13.(2022黑龍江牡丹江中考)如圖，在☉O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若☉O的半徑為2，則弦AB的長為.

14.如圖，在△OAB中，☉O交AB于點C、D，若AC=BD.求證：OA=OB.15.曹操運兵道又稱曹操藏兵道，位于安徽省亳州市老城內主要街道下，目前已發(fā)現八千余米，它遠遠超過地面上保留的一座完整古老城池的價值，被譽為“地下長城”.如圖，已知運兵道的寬度為0.8m(AB=0.8m)，運兵道的高度(點E到DC的距離)為1.8m，其中側墻的垂直高度為1.6m，求AB所在☉O的半徑.知識點6圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系16.如圖，在☉O中，AB，CD是兩條弦，OE⊥AB，OF⊥CD，如果OE=OF，那么下列結論不一定正確的是()A.∠AOB=∠COD B.AB=CD C.∠AOC=∠BOD D.AB=CD17.(2021江蘇泰州興化月考)如圖，已知AB、CD是☉O的直徑，AE=AC，∠BOD=32°，則∠COE的度數為度.

18.(2022遼寧大連普蘭店期末)如圖，在☉O中，AB=AC，∠BOC=120°.求證：△ABC是等邊三角形.知識點7弧的度數與弧所對的圓心角度數的關系19.如圖，在☉O中，劣弧AB的度數為106°，則∠B的度數為()A.37° B.36° C.35° D.53°20.如圖，點C是☉O上的一點，以點C為圓心，☉O的半徑為半徑作弧交☉O于點A、B，則ACB的度數為.

知識點8圓的確定21.(2021天津河西期末)下列說法錯誤的是()A.已知圓心和半徑可以作一個圓B.經過一個已知點A能作無數個圓C.經過兩個已知點A，B能作兩個圓D.經過不在同一直線上的三個點A，B，C只能作一個圓22.(2022北京西城期末)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標都為整數，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧所在圓的圓心坐標為.

知識點9三角形的外接圓23.如圖，AC，BE是☉O的直徑，弦AD與BE交于點F，下列三角形中，外心不是點O的是()A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE24.(2022浙江杭州西湖期末)已知△ABC的三邊長分別是6，8，10，則△ABC外接圓的直徑是.

25.(2020云南昆明官渡期末)如圖，正三角形ABC內接于☉O，若AB=43cm，求☉O的直徑及正三角形ABC的面積.知識點10反證法26.用反證法證明命題“三角形的三個內角中至少有一個不大于60°”有以下三個步驟：①因為∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，這與三角形內角和為180°相矛盾；②所以一個三角形的三個內角中至少有一個不大于60°；③假設三角形的三個內角∠A、∠B、∠C都大于60°.這三個步驟的正確順序為()A.③①② B.②③① C.①③② D.①②③27.(2022廣東茂名茂南期中)等腰三角形的底角必為銳角.用反證法證明，第一步是假設.

[變式]等腰三角形的底角必為銳角.用反證法證明，所得結果與矛盾.

能力提升全練28.(2018浙江舟山中考)用反證法證明時，假設結論“點在圓外”不成立，那么點與圓的位置關系只能是()A.點在圓內 B.點在圓上 C.點在圓心上 D.點在圓上或圓內29.(2022湖南邵陽中考)如圖，☉O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則☉O的半徑是()A.32 B.32 C.3 D30.(2022安徽中考)已知☉O的半徑為7，AB是☉O的弦，點P在弦AB上.若PA=4，PB=6，則OP=()A.14 B.4 C.23 D.531.(2022浙江杭州淳安一模)如圖，在每個小正方形邊長都為1的5×5網格中有四個點A，B，C，D，以其中任意三點為頂點的三角形的外接圓的半徑是.

32.(2022湖北荊州中考)如圖，將一個球放置在圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高AB=20cm，底面直徑BC=12cm，球的最高點到瓶底面的距離為32cm，則球的半徑為cm(玻璃瓶厚度忽略不計).

33.(2019四川自貢中考)如圖，☉O中，弦AB與CD相交于點E，AB=CD，連接AD、BC.求證：(1)AD=BC；(2)AE=CE.34.(2021北京海淀清華附中月考)如圖，在Rt△ABO中，∠O=90°，以點O為圓心，OB為半徑的圓交AB于點C，交OA于點D.(1)若∠A=25°，則弧BC的度數為；

(2)若OB=3，OA=4，求BC的長.35.(2020安徽合肥瑤海二模)壽春路橋(如圖①)橫跨合肥市母親河——南淝河，它位于合肥市東西交通主干道壽春路上，建成于1987年年底，為中承式鋼筋砼拱橋，橋的上部結構為兩個鋼筋混凝土半月形拱肋，圖②是橋拱肋的簡化示意圖，其中拱寬(弦AB)約100米.(1)在圖②中，請你用尺規(guī)作圖的方法首先找出弧AB所在圓的圓心O，然后分別確定弧AB、弦AB的中點C、D；(不要求寫作法，保留作圖痕跡)(2)在圖②中，若∠AOB=80°，求該橋拱肋的高CD約為多少米.(結果精確到0.1米，參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19) 圖① 圖②素養(yǎng)探究全練36.(2021四川涼山州模擬)閱讀下列材料：平面上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離表示為|P1P2|=(x1?x2)2+(y1?y2)2，我們將該公式稱為平面內兩點間的距離公式，根據該公式，如圖，設P(x，y)是圓心為C(a，b)，半徑為r的圓上任意一點，則點P適合的條件可表示為(x?a)2+(y?b)2=r，變形可得：(例如：由圓的標準方程(x-1)2+(y-2)2=25可得該圓的圓心為(1，2)，半徑為5.根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列各題.(1)圓心為C(3，4)，半徑為2的圓的標準方程為；

(2)若已知☉C的標準方程為(x-2)2+y2=22，圓心為C，請判斷點A(3，-1)與☉C的位置關系.37.對于☉P及一個矩形給出如下定義：如果☉P上存在到某個矩形四個頂點的距離都相等的點，那么稱☉P是該矩形的“等距圓”.如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的頂點A的坐標為(3，2)，頂點C、D在x軸上，OC=OD，且☉P的半徑為4.(1)在P1(0，-2)，P2(23，3)，P3(-23，1)中，可以成為矩形ABCD的“等距圓”的圓心的是；

(2)如果點P在直線y=-33x+1上，且☉P是矩形ABCD的“等距圓”，求點P的坐標

第24章圓24.2圓的基本性質答案全解全析基礎過關全練1.D與圓心的距離不大于半徑的點在圓上或圓的內部，所以選D.2.相等；半徑解析本題考查圓的定義.3.A由題意知☉O的半徑為2cm，點P到圓心O的距離d=4cm>2cm，∴點P在☉O外.故選A.4.4cm<r<5cm解析連接AC(圖略)，∵AB=3cm，AD=4cm，∴AC=5cm，∴以A為圓心作圓，并且要使點D在☉A內，點C在☉A外，☉A的半徑r的取值范圍為4cm<r<5cm.5.證明如圖，連接BD，取BD的中點O，連接OA，OC.∵∠BAD=∠BCD=90°，OB=OD，∴OA=OB=OD=OC，∴A，B，C，D四個點在同一個圓上.6.C直徑是圓中最長的弦，故A錯誤；等弧是能夠互相重合的弧，長度相等的弧不一定是等弧，故B錯誤；優(yōu)弧是大于半圓的弧，故D錯誤；只有C正確.故選C.7.C∵OM=ON，∴∠M=∠N=52°，∴∠MON=180°-2×52°=76°.故選C.8.證明∵點A，B，C都在☉O上，且點O在邊AB上，∴OA=OB=OC.∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO.∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+(∠A+∠B)=180°，即∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形.9.D圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，所以A說法正確；圓是一個特殊的中心對稱圖形，它繞著圓心旋轉任意角度都能與自身重合，所以B說法正確；圓的對稱軸是過圓心的直線，這樣的直線有無數條，對稱中心只有一個，是圓心，所以C說法正確；直徑是線段而不是直線，不能說直徑是圓的對稱軸，所以D說法錯誤.10.①②④；③④解析根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行判斷.11.D平分弦(不是直徑)的直徑平分弦所對的弧，故②錯誤.垂直于弦且平分弦的直線必過圓心，故③錯誤.①④正確.故選D.12.B如圖，設這座橋最大橋拱所在圓的圓心為O，連接BO，OC，易知C、D、O三點共線，則AD=BD=3m.設最大橋拱所在圓的半徑為xm，則DO=(x-2)m，由勾股定理可得x2=(x-2)2+32，解得x=134.故選B13.23解析如圖，連接OA，由AB垂直平分半徑OC，得到OD=12OC=1，D為AB的中點∴AB=2AD=2OA2?OD14.證明證法一：過點O作OE⊥AB于點E，如圖.∵在☉O中，OE⊥CD，∴CE=DE.∴AC+CE=BD+DE，即AE=BE.∴點O在線段AB的垂直平分線上，∴OA=OB.證法二：連接OC，OD，如圖.∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ACO=∠ODB，又AC=BD，∴△ACO≌△BDO，∴OA=OB.15.解析∵OF⊥AB，AB=0.8m，∴AF=12AB=0.4m.易知EF=1.8-1.6=0.2m設AB所在☉O的半徑為rm，則OF=(r-0.2)m，在Rt△AOF中，由勾股定理，得OA2=AF2+OF2，即r2=0.42+(r-0.2)2，解得r=0.5.答：AB所在☉O的半徑為0.5m.16.C由OE=OF，OE⊥AB，OF⊥CD，可得AB=CD，∴∠AOB=∠COD，AB=CD，但∠AOC與∠BOD不一定相等，故選C.17.64解析∵∠BOD=32°，∴∠AOC=∠BOD=32°，∵AE=AC，∴∠AOE=∠AOC=32°，∴∠COE=∠AOC+∠AOE=32°+32°=64°.18.證明∵AB=AC，∴AB=AC，∵∠BOC=120°，∴∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形.19.A連接OA，∵劣弧AB的度數為106°，∴∠AOB=106°.∵OA=OB，∴∠B=∠A=12(180°-∠AOB)=12×(180°-106°)=37°，20.120°解析連接OA、OB、OC、AC、BC，由題意可知，CA=OC=OA，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC=60°，同理，∠BOC=60°，則∠AOB=120°，∴ACB的度數為120°.21.C經過兩個已知點A，B能作無數個圓，故C中說法錯誤，故選C.22.(2，1)解析如圖，連接AB，BC，作AB的垂直平分線MN，BC的垂直平分線EF，MN與EF交于點Q，點Q即為圓心.23.B所給的四個三角形中，只有△ACF的三個頂點不都在圓O上，故外心不是點O的是△ACF.24.10解析如圖，AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°，∴△ABC的外接圓的半徑是12×10=5，∴△ABC外接圓的直徑是1025.解析如圖所示，連接CO并延長交AB于點D，連接AO并延長交BC于點E.易知點O是正三角形ABC的外心，∴CD⊥AB，∠EAD=30°，AD=12AB=23cm設OD=xcm，則AO=2xcm，根據勾股定理，得4x2-x2=(23)2，∴x=2，則2x=4.∴半徑OA=4cm，∴直徑為8cm.∵CD=AE=AB·sin60°=6cm，∴S△ABC=12AB·CD=12×43×6=123cm故☉O的直徑為8cm，正三角形ABC的面積為123cm2.26.A正確的順序是③①②.27.等腰三角形的底角是直角或鈍角解析一個角是銳角的反面是這個角是直角或鈍角.[變式]三角形的內角和等于180°解析若等腰三角形的底角為直角或鈍角，則該三角形的內角和大于180°，與三角形的內角和等于180°矛盾.能力提升全練28.D點和圓的位置關系有點在圓上，點在圓內，點在圓外三種，“點在圓外”不成立，即“點在圓內或圓上”，故選D.29.C如圖，連接OB，過點O作OE⊥BC，∵☉O是等邊△ABC的外接圓，∴BO平分∠ABC，∴∠OBE=30°，∵OE⊥BC，∴BE=12BC=12AB=32，在Rt△OBE中，cos∠OBE∴32OB=32，解得OB=330.D如圖，過點O作OC⊥AB于點C，連接OB，則OB=7，∵PA=4，PB=6，∴AB=PA+PB=10，∵OC⊥AB，∴AC=BC=5，∴PC=PB-BC=1，在Rt△OBC中，根據勾股定理，得OC2=OB2-BC2=72-52=24，在Rt△OPC中，根據勾股定理，得OP=OC2+PC231.5解析如圖，連接BC，CD，作BC，CD的垂直平分線，兩直線相交于O，則O為過B，C，D三點的圓的圓心，OB為該圓的半徑，由勾股定理，得OB=22+12=5，連接OA，易知OA=5=OB，所以點A也在該圓上32.7.5解析如圖，連接AD.設球心為O，過O作OM⊥AD于M，連接OA，設球的半徑為rcm，由題意，得AD=12cm，OM=32-20-r=(12-r)cm，由垂徑定理，得AM=DM=12AD=6cm，在Rt△OAM中，由勾股定理，得AM2+OM2=OA2，即62+(12-r)2=r2，解得r=7.5，即球的半徑為7.5cm33.證明(1