浙江省杭州市觀成教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市觀成教育集團(tuán)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若氣象部門預(yù)報(bào)明天下雨的概率是85%，下列說(shuō)法正確的是（）A．明天下雨的可能性比較大 B．明天一定不會(huì)下雨 C．明天一定會(huì)下雨 D．明天下雨的可能性比較小2．（3分）下列條件中，能確定一個(gè)圓的是（）A．以點(diǎn)O為圓心 B．以10cm長(zhǎng)為半徑 C．以點(diǎn)A為圓心，4cm長(zhǎng)為半徑 D．經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)M3．（3分）已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：3，則（）A．AC：BD＝3：2 B．BD：BF＝2：5 C．CD：EF＝2：3 D．CE：AC＝2：54．（3分）如圖，已知點(diǎn)A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A． B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝2CD D．OC⊥BD5．（3分）已知點(diǎn)A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（2，c）是拋物線y＝kx2+2kx+4（k＞0）上的三點(diǎn)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a6．（3分）不透明袋子中僅有紅、黃小球各一個(gè)，兩個(gè)小球除顏色外無(wú)其他差別．從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次摸出的都是紅球的概率是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是（）A． B． C． D．8．（3分）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，如果a＜0，b＞0，c＜0，那么它的圖象一定不經(jīng)過(guò)（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（3分）如圖，在⊙O中，C是上一點(diǎn)，OA⊥OB，過(guò)點(diǎn)C作弦CD交OB于E，若OA＝DE，則∠C與∠AOC滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，點(diǎn)C，D在半圓O上，，AD，BC相交于點(diǎn)E，的值為（）A． B． C． D．二、填空題（本題有6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）有8張卡片，上面分別寫(xiě)著數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8．從中隨機(jī)抽取1張，該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是．12．（3分）如圖，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，則的長(zhǎng)為．13．（3分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若∠OBC＝28°，則∠A＝°．14．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y之間滿足下列數(shù)量關(guān)系：x024y101020則4a﹣2b+c＝．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是邊AB上的中線，G為△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作GN∥BC交AB于點(diǎn)N，那么△OGN的面積是．16．（3分）已知關(guān)于x的函數(shù)y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常數(shù)），設(shè)k分別取0，1，2時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y0，y1，y2，某學(xué)習(xí)小組通過(guò)畫(huà)圖，探索，得到以下結(jié)論：①函數(shù)y0，y1，y2都是二次函數(shù)；②滿足y1＞y2的x取值范圍是﹣1＜x＜1；③不論k取何實(shí)數(shù)，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（﹣1，2）；④當(dāng)x＞1時(shí)滿足y2＞y1＞y0，則以上結(jié)論正確的是．三、解答題（本題有8小題，共66分）17．（6分）計(jì)算：（1）已知比例式3：x＝2：5，求x的值．（2）已知線段a＝4.5，線段b＝2，求線段a，b的比例中項(xiàng)線段c．18．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（0，﹣3），（1，0）（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）將二次函數(shù)寫(xiě)成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)．19．（8分）某大劇院有A，B，C三個(gè)完全相同的入口，D，E兩個(gè)完全相同的出口，小明周末要去大劇院觀看話劇表演，隨機(jī)選擇一個(gè)入口，結(jié)束后任選一個(gè)出口離開(kāi)．（1）請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法，表示小明進(jìn)出大劇院的所有可能路線；（2）求小明從B入口進(jìn)入大劇院的概率．20．（8分）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點(diǎn)E在邊AC上，且AD2＝AE?AB，連接DE．（1）求證：△ABD∽△ADE；（2）若CD＝3，CE＝，求AC的長(zhǎng)．21．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是直徑AB上一點(diǎn)，∠ACD的平分線交AB于點(diǎn)E，交⊙O于另一點(diǎn)F，F(xiàn)A＝FE．（1）求證：CD⊥AB；（2）設(shè)FM⊥AB，垂足為M，若OM＝OE＝1，求AC的長(zhǎng)．22．（10分）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件，設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為W元．（1）當(dāng)銷售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷售量為多少件；（2）若商場(chǎng)要每天獲得銷售利潤(rùn)2000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（3）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？23．（12分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3（b為常數(shù)）．（1）該函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0），①b的值是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是；②當(dāng)0＜y＜5時(shí)，借助圖象，求自變量x的取值范圍；（2）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，若函數(shù)值y＞t總成立，求t的取值范圍（用含b的式子表示）；（3）當(dāng)m＜y＜n時(shí)（其中m、n為實(shí)數(shù)，m＜n），自變量x的取值范圍是1＜x＜2，求n與b的值及m的取值范圍．24．（12分）如圖，半圓O的直徑AB＝6．點(diǎn)C在半圓O上，連結(jié)AC，BC，過(guò)點(diǎn)O作OD∥AC分別交BC，于點(diǎn)E，D，連結(jié)AD交BC于點(diǎn)F．（1）求證：點(diǎn)D是的中點(diǎn)；（2）當(dāng)△BOE與△FDE相似時(shí)，求線段OE的長(zhǎng)．（3）將點(diǎn)O繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)G．當(dāng)點(diǎn)G在線段AC上，求線段OE的長(zhǎng)．

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市觀成教育集團(tuán)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若氣象部門預(yù)報(bào)明天下雨的概率是85%，下列說(shuō)法正確的是（）A．明天下雨的可能性比較大 B．明天一定不會(huì)下雨 C．明天一定會(huì)下雨 D．明天下雨的可能性比較小【答案】A【分析】利用概率的意義結(jié)合具體的選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：明天下雨的概率是85%，說(shuō)明明天下雨的可能性比較大，但也可能下雨，也可能不下雨，因此選項(xiàng)A符合題意，故選：A．2．（3分）下列條件中，能確定一個(gè)圓的是（）A．以點(diǎn)O為圓心 B．以10cm長(zhǎng)為半徑 C．以點(diǎn)A為圓心，4cm長(zhǎng)為半徑 D．經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)M【答案】C【分析】確定一個(gè)圓有兩個(gè)重要因素，一是圓心，二是半徑，據(jù)此可以得到答案．【解答】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，∴C選項(xiàng)正確，故選：C．3．（3分）已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：3，則（）A．AC：BD＝3：2 B．BD：BF＝2：5 C．CD：EF＝2：3 D．CE：AC＝2：5【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到比例式BD：DF＝AC：CE，進(jìn)而判斷即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BD：DF＝AC：CE＝2：3，∴BD：BF＝2：5，故選：B．4．（3分）如圖，已知點(diǎn)A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A． B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝2CD D．OC⊥BD【答案】C【分析】根據(jù)題意和垂徑定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵OB⊥AC，∴，故A正確，不符合題意；∵BC＝CD，∴，∴，∴∠AOC＝∠BOD，故B正確，不符合題意；∴AC＝BD，∴AC＝BD＜BC+CD＝2CD，故C錯(cuò)誤，符合題意；∵OB＝OD，BC＝CD，∴OC⊥BD，故D正確，不符合題意；故選：C．5．（3分）已知點(diǎn)A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（2，c）是拋物線y＝kx2+2kx+4（k＞0）上的三點(diǎn)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】A【分析】求得拋物線開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)三點(diǎn)與對(duì)稱軸距離的遠(yuǎn)近來(lái)比較函數(shù)值的大?。窘獯稹拷猓骸遹＝kx2+2kx+4（k＞0），∴拋物線開(kāi)口向上，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∵點(diǎn)B（﹣1，b）在對(duì)稱軸上，點(diǎn)C（3，c）最遠(yuǎn)，∴b＜a＜c．故選：A．6．（3分）不透明袋子中僅有紅、黃小球各一個(gè)，兩個(gè)小球除顏色外無(wú)其他差別．從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次摸出的都是紅球的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次摸出的都是紅球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：紅黃紅（紅，紅）（紅，黃）黃（黃，紅）（黃，黃）共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的都是紅球的結(jié)果有1種，∴兩次摸出的都是紅球的概率為．故選：A．7．（3分）如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的判定分別進(jìn)行判斷即可得出答案即可．【解答】解：在三角形紙片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，A．因?yàn)椋瑢?duì)應(yīng)邊，，所以沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；B．因?yàn)?，?duì)應(yīng)邊，又∠A＝∠A，所以沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似，故此選項(xiàng)符合題意；C．因?yàn)椋瑢?duì)應(yīng)邊，即：，所以沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；D．因?yàn)?，?duì)應(yīng)邊，，所以沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．8．（3分）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，如果a＜0，b＞0，c＜0，那么它的圖象一定不經(jīng)過(guò)（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，a＜0，b＞0，c＜0和二次函數(shù)的性質(zhì)，可知該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交于負(fù)半軸，開(kāi)口向下，然后即可判斷該函數(shù)圖象一定不經(jīng)過(guò)第二象限．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，a＜0，b＞0，c＜0，∴該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交于負(fù)半軸，開(kāi)口向下，∴該函數(shù)圖象存在三種情況，如圖所示，∴它的圖象一定不經(jīng)過(guò)第二象限，故選：B．9．（3分）如圖，在⊙O中，C是上一點(diǎn)，OA⊥OB，過(guò)點(diǎn)C作弦CD交OB于E，若OA＝DE，則∠C與∠AOC滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OD，根據(jù)垂直定義可得∠BOA＝90°，從而可得∠BOC＝90°﹣∠AOC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠D＝∠C，然后根據(jù)已知和等量代換可得OD＝DE，從而可得∠DEO＝∠DOE＝，再利用三角形是外角性質(zhì)可得∠DEO＝∠C+∠BOC，最后利用等量代換進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：連接OD，∵OA⊥OB，∴∠BOA＝90°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣∠AOC，∵OD＝OC，∴∠D＝∠C，∵OD＝OA，OA＝DE，∴OD＝DE，∴∠DEO＝∠DOE＝＝，∵∠DEO是△EOC的一個(gè)外角，∴∠DEO＝∠C+∠BOC，∴＝∠C+90°﹣∠AOC，∴3∠C＝2∠AOC，∴∠C＝∠AOC，故選：C．10．（3分）如圖，點(diǎn)C，D在半圓O上，，AD，BC相交于點(diǎn)E，的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，連接AC，連接OD交BC于M，先證明AC＝BC，OD⊥BC，由圓周角定理得到∠ACB＝90°，進(jìn)而證明△ABC是等腰直角三角形，推出∠ABC＝45°，進(jìn)一步證明△OBM是等腰直角三角形，則OM＝BM，設(shè)AC＝BC＝2a，則OM＝BM＝a，，，證明△ACE∽△DME，即可得到．【解答】解：如圖所示，連接AC，連接OD交BC于M，∵，∴AC＝BC，OD⊥BC，，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴△OBM是等腰直角三角形，∴OM＝BM，設(shè)AC＝BC＝2a，∴OM＝BM＝a，∴，∴，∵∠C＝90°，OD⊥BC，∴AC∥OD，∴△ACE∽△DME，∴，故選：D．二、填空題（本題有6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）有8張卡片，上面分別寫(xiě)著數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8．從中隨機(jī)抽取1張，該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是．【答案】．【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：∵有8張卡片，上面分別寫(xiě)著數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，其中該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的數(shù)是4，8，∴該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概率是＝，故答案為：．12．（3分）如圖，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，則的長(zhǎng)為4π．【答案】4π．【分析】把已知數(shù)據(jù)代入弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：由題意得弧AB的長(zhǎng)為，故答案為：4π．13．（3分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若∠OBC＝28°，則∠A＝62°．【答案】62．【分析】連接OC，利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)，然后利用圓周角定理求解即可．【解答】解：連接OC，∵OB＝OC，∠OBC＝28°，∴∠OCB＝∠OBC＝28°，∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝124°，∴，故答案為：62．14．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y之間滿足下列數(shù)量關(guān)系：x024y101020則4a﹣2b+c＝20．【答案】20．【分析】由表中數(shù)據(jù)得到點(diǎn)（0，10）和（2，10）為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，利用對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，則x＝﹣2和x＝4對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為20，即4a﹣2b+c＝20．【解答】解：由表中數(shù)據(jù)得到點(diǎn)（0，10）和（2，10）為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，∴x＝﹣2和x＝4對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為20，故4a﹣2b+c＝20．故答案為：20．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是邊AB上的中線，G為△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作GN∥BC交AB于點(diǎn)N，那么△OGN的面積是0.5．【答案】0.5．【分析】先證△ABC∽△OBE，由CO是邊AB上的中線，可得OE的長(zhǎng)，再證△ONG∽△OBC，根據(jù)G為△ABC的重心，可得△ONG與△OBC的面積比，可得△OGN的面積．【解答】解：過(guò)O作OE⊥BC，交BC于E，∴∠ACB＝∠OEB＝90°，∵∠ABC＝∠OBE，∴△ABC∽△OBE，∴＝＝，∵CO是邊AB上的中線，∴＝，∵AC＝3，BC＝6，∴OE＝1.5，BE＝3，＝4.5，∵GN∥BC，∴∠ONG＝∠OBC，∠OGN＝∠OCB，∴△ONG∽△OBC，∴（）2＝，∵G為△ABC的重心，∴＝，∴＝，∴S△ONG＝0.5，故答案為：0.5．16．（3分）已知關(guān)于x的函數(shù)y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]（k是常數(shù)），設(shè)k分別取0，1，2時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y0，y1，y2，某學(xué)習(xí)小組通過(guò)畫(huà)圖，探索，得到以下結(jié)論：①函數(shù)y0，y1，y2都是二次函數(shù)；②滿足y1＞y2的x取值范圍是﹣1＜x＜1；③不論k取何實(shí)數(shù)，y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（﹣1，2）；④當(dāng)x＞1時(shí)滿足y2＞y1＞y0，則以上結(jié)論正確的是②③④．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】將k＝0，1，2代入可判定①，解不等式可判定②④，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，0），（﹣1，2）可知k的系數(shù)為0，則可判定③．【解答】解：當(dāng)k分別取0，1，2時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式分別為：y0＝﹣x2﹣x+2，y1＝﹣x+1，y2＝x2﹣x，由上可知，①錯(cuò)誤；若y1＞y2，則﹣x+1＞x2﹣x，∴x2＜1，即﹣1＜x＜1．則②正確；∵關(guān)于x的函數(shù)y＝（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣2）]＝（x2﹣1）k﹣x2﹣x+2，∴當(dāng)x＝±1時(shí)，函數(shù)值與k無(wú)關(guān)，即當(dāng)x＝1，y＝0，當(dāng)x＝﹣1，y＝2，∴過(guò)定點(diǎn)（1，0），（﹣1，2），則③正確；若﹣x+1＞﹣x2﹣x+2，∴x＞1或x＜﹣1；若x2﹣x＞﹣x+1，∴x＞1或x＜﹣1，∴當(dāng)x＞1時(shí)，y2＞y1＞y0；則④正確．故答案為：②③④．三、解答題（本題有8小題，共66分）17．（6分）計(jì)算：（1）已知比例式3：x＝2：5，求x的值．（2）已知線段a＝4.5，線段b＝2，求線段a，b的比例中項(xiàng)線段c．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）根據(jù)所給比例式，結(jié)合外項(xiàng)之積等于內(nèi)項(xiàng)之積即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，得出a，b，c之間的關(guān)系，再結(jié)合a，b的長(zhǎng)度即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由3：x＝2：5得，2x＝3×5，解得x＝，故x的值是．（2）因?yàn)榫€段c是線段a和線段b的比例中項(xiàng)，所以c2＝ab．又因?yàn)榫€段a＝4.5，線段b＝2，所以c2＝4.5×2＝9，所以c＝3（舍負(fù)），故線段a，b的比例中項(xiàng)線段c為3．18．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（0，﹣3），（1，0）（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）將二次函數(shù)寫(xiě)成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）y＝（x+1）2﹣4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．【分析】（1）將點(diǎn)（0，﹣3），（1，0）代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）利用配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（0，﹣3），（1，0），∴，解得：，∴y＝x2+2x﹣3；（2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．19．（8分）某大劇院有A，B，C三個(gè)完全相同的入口，D，E兩個(gè)完全相同的出口，小明周末要去大劇院觀看話劇表演，隨機(jī)選擇一個(gè)入口，結(jié)束后任選一個(gè)出口離開(kāi)．（1）請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法，表示小明進(jìn)出大劇院的所有可能路線；（2）求小明從B入口進(jìn)入大劇院的概率．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）畫(huà)樹(shù)狀圖，即可解決問(wèn)題；（2）直接由概率公式求解即可．【解答】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：所有等可能的結(jié)果有6種，即A﹣D、A﹣E、B﹣D、B﹣E、C﹣D、C﹣E；（2）∵大劇院有A，B，C三個(gè)完全相同的入口，∴小明從B入口進(jìn)入大劇院的概率為．20．（8分）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點(diǎn)E在邊AC上，且AD2＝AE?AB，連接DE．（1）求證：△ABD∽△ADE；（2）若CD＝3，CE＝，求AC的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）由AD是∠BAC的角平分線可得出∠BAD＝∠EAD，由AD2＝AE?AB可得出＝，進(jìn)而即可證出△ABD∽△ADE；（2）由△ABD∽△ADE可得出∠ADB＝∠AED，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角等于180°，即可得出∠CDE＝∠CAD，結(jié)合公共角相等可得出△DCE∽△ACD，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出AC的長(zhǎng)度．【解答】（1）證明：∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠EAD．∵AD2＝AE?AB，∴＝，∴△ABD∽△ADE；（2）解：∵△ABD∽△ADE，∴∠ADB＝∠AED．∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠DAE，即∠CDE＝∠CAD．又∵∠DCE＝∠ACD，△DCE∽△ACD，∴＝，即＝，∴AC＝4．21．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是直徑AB上一點(diǎn)，∠ACD的平分線交AB于點(diǎn)E，交⊙O于另一點(diǎn)F，F(xiàn)A＝FE．（1）求證：CD⊥AB；（2）設(shè)FM⊥AB，垂足為M，若OM＝OE＝1，求AC的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AC＝．【分析】（1）證明∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，即可得到∠CDE＝90°，由此得出CD⊥AB；（2）求出AB和BC的長(zhǎng)，即可求出AC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠AEF，∵∠FAE與∠BCE都是所對(duì)的圓周角，∴∠FAE＝∠BCE，∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CD⊥AB；（2）解：由（1）知，∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC，∵AF＝EF，F(xiàn)M⊥AB，∴MA＝ME＝2，AE＝4，∴圓的半徑OA＝OB＝AE﹣OE＝3，∴BC＝BE＝OB﹣OE＝2，在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，∴．22．（10分）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件，設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為W元．（1）當(dāng)銷售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷售量為多少件；（2）若商場(chǎng)要每天獲得銷售利潤(rùn)2000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（3）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）當(dāng)銷售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷售量為200件；（2）商場(chǎng)要每天獲得銷售利潤(rùn)2000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元；（3）銷售單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2250元．【分析】（1）根據(jù)題意，可以列出算式250﹣（30﹣25）×10，然后計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解即可；（3）根據(jù)題意，可以寫(xiě)出利潤(rùn)與售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式，然后化為頂點(diǎn)式，即可求得W的最大值．【解答】解：（1）由題意可得，當(dāng)銷售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷售量為：250﹣（30﹣25）×10＝200（件），答：當(dāng)銷售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷售量為200件；（2）設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)定為x元，由題意可得，（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，解得x1＝30，x2＝40，答：商場(chǎng)要每天獲得銷售利潤(rùn)2000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元；（3）由題意可得，W＝（x﹣20）×[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣35）2+2250，∴當(dāng)x＝35時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W＝2250，答：銷售單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2250元．23．（12分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3（b為常數(shù)）．（1）該函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0），①b的值是﹣2，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣1，0）；②當(dāng)0＜y＜5時(shí)，借助圖象，求自變量x的取值范圍；（2）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，若函數(shù)值y＞t總成立，求t的取值范圍（用含b的式子表示）；（3）當(dāng)m＜y＜n時(shí)（其中m、n為實(shí)數(shù)，m＜n），自變量x的取值范圍是1＜x＜2，求n與b的值及m的取值范圍．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）①依據(jù)題意，由二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3過(guò)點(diǎn)A（3，0）代入可得b，進(jìn)而得二次函數(shù)解析式，從而可以求出B；②依據(jù)題意，由①令y＝0，y＝5分別求出對(duì)應(yīng)自變量進(jìn)而可以得解；（2）依據(jù)題意，由不等式變形得x2+bx﹣3﹣t＞0，對(duì)于一切實(shí)數(shù)成立，即對(duì)函數(shù)y＝x2+bx﹣3﹣t與x軸無(wú)交點(diǎn)，可得Δ＜0，進(jìn)而可以得解；（3）依據(jù)題意可得拋物線上橫坐標(biāo)為x＝1與x＝2的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，從而求出b，進(jìn)而得二次函數(shù)解析式，再由自變量x的取值范圍是1＜x＜2，可得n的值，最后可以求出m的范圍．【解答】解：（1）①由二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3過(guò)點(diǎn)A（3，0），∴9+3b﹣3＝0．∴b＝﹣2．∴二次函數(shù)為：y＝x2﹣2x﹣3．令y＝0，∴x2﹣2x﹣3＝0．∴解得，x＝﹣1或x＝3．∴B（﹣1，0）．故答案為：﹣2；（﹣1，0）．②由題意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，∴x＝4或x＝﹣2．又∵a＝1＞0，∴二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上．∴當(dāng)0＜y＜5時(shí)，滿足題意的自變量有兩部分，∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．（2）由題意，∵對(duì)于一切實(shí)數(shù)x