全等三角形模型(教案)

全等三角形模型適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中一年級(jí)適用區(qū)域江蘇課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)全等三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定教學(xué)目標(biāo)熟練掌握三角形全等的判定定理，能夠靈活運(yùn)用這些定理進(jìn)行推理和證明；能夠從模型的觀點(diǎn)去理解復(fù)雜的幾何圖形的推理。教學(xué)重點(diǎn)熟練掌握三角形全等的判定定理教學(xué)難點(diǎn)能夠從模型的觀點(diǎn)去理解復(fù)雜的幾何圖形的推理教學(xué)過(guò)程一、課堂導(dǎo)入【問(wèn)題】如圖，你能感覺(jué)到哪兩個(gè)三角形全等嗎？【思考】△ABD≌△ACE二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)【問(wèn)題】工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，作法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM=ON．移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合．則過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線OP便是∠AOB的角平分線，為什么？請(qǐng)你說(shuō)明理由．【解答】OP平分∠AOB理由如下：∵OM=ON，PM=PN，OP=OP∴△MOP≌△NOP（SSS）∴∠MOP=∠NOP∴OP平分∠MON（即OP是∠AOB的角平分線）三、知識(shí)講解考點(diǎn)1全等三角形性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊上的高、中線相等，對(duì)應(yīng)角的平分線相等?？键c(diǎn)2全等三角形的判定：所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形HL四、例題精析【例題1】【題干】如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，且AE⊥BF，垂足為點(diǎn)G．求證：AE=BF．【答案】證明：∵正方形ABCD，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，∵∠ABG+∠CBF=90°，∴∠BAG=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF．【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠ABC與∠C的關(guān)系，AB與BC的關(guān)系，根據(jù)兩直線垂直，可得∠AGB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形銳角的關(guān)系，可得∠ABG與∠BAG的關(guān)系，根據(jù)同角的余角相等，可得∠BAG與∠CBF的關(guān)系，根據(jù)ASA，可得△ABE≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案．【例題2】【題干】如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點(diǎn)G．（1）求證：AE=CF；（2）求證：AE⊥CF．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）延長(zhǎng)AE交BC于O，交CF于H，∵△AEB≌△CFB，∴∠BAE=∠BCF，∵∠ABC=90°，∴∠BAE+∠AOB=90°，∵∠AOB=∠COH，∴∠BCF+∠COH=90°，∴∠CHO=90°，∴AE⊥CF【解析】（1）利用△AEB≌△CFB來(lái)求證AE=CF．（2）利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)頂角相等、等量代換即可證明．【例題3】【題干】（2014?順義區(qū)一模）已知：如圖1，△MNQ中，MQ≠NQ．（1）請(qǐng)你以MN為一邊，在MN的同側(cè)構(gòu)造一個(gè)與△MNQ全等的三角形，畫(huà)出圖形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明構(gòu)造的方法；（2）參考（1）中構(gòu)造全等三角形的方法解決下面問(wèn)題：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求證：CD=AB．【答案】：（1）如圖1，以N為圓心，以MQ為半徑畫(huà)圓?。灰訫為圓心，以NQ為半徑畫(huà)圓弧；兩圓弧的交點(diǎn)即為所求．主要根據(jù)“SSS”判定三角形的全等．（2）如圖3，延長(zhǎng)DA至E，使得AE=CB，連結(jié)CE．∵∠ACB+∠CAD=180°，∠DACDAC+∠EAC=180°∴∠BACBCA=∠EAC在△EAC和△BAC中，∴△AECEAC≌△BCA（SAS），∴∠B=∠E，AB=CE∵∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∴CD=AB．【解析】（1）以點(diǎn)N為圓心，以MQ長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)M為圓心，以NQ長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)F，則△MNF為所畫(huà)三角形．

（2）延長(zhǎng)DA至E，使得AE=CB，連結(jié)CE．證明△EAC≌△BCA，得：∠B=∠E，AB=CE，根據(jù)等量代換可以求得答案．【例題4】【題干】問(wèn)題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【答案】問(wèn)題背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．證明如下：如圖，延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；實(shí)際應(yīng)用：如圖，連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里．【解析】問(wèn)題背景：根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解答；探索延伸：延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，連接AG，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=GF，然后求解即可；實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，然后求出∠EAF=∠AOB，判斷出符合探索延伸的條件，再根據(jù)探索延伸的結(jié)論解答即可．五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.在平面內(nèi)正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M．求證：（1）BH=DE．（2）BH⊥DE．【答案】證明：（1）在正方形ABCD與正方形CEFH中，BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，即∠BCH=∠DCE，在△BCH和△DCE中，，∴△BCH≌△DCE（SAS），∴BH=DE；（2）∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH=∠CDE，又∵∠CGB=∠MGD，∴∠DMB=∠BCD=90°，∴BH⊥DE．【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“邊角邊”證明△BCH和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可．2.（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），連接AM，以AM為邊作等邊△AMN，連接CN，猜想∠ABC與∠ACN有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）類(lèi)比探究如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）∵在等邊△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠BAM+∠MAC=60°在等邊△AMN中，AM=AN，∠MAN=∠NAC+∠MAC=60°∴∠BAM=∠NAC=60°-∠MAC，在△ABM和△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．（2）∵在等邊△ABC中，AB=AC，∠BAM=∠BAC+∠MAC=60°+∠MAC在等邊△AMN中，AM=AN，∠NAC=∠NAM+∠MAC=60°+∠MAC，∴∠BAM=∠NAC=60°+∠MAC，在△ABM和△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．【解析】（1）由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求證△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠ACN；（2）和（1）同理，由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求證△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠CAN.【鞏固】1.如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．求證：BD=CE．【答案】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AD=AE，AB=AC，又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE．【解析】求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根據(jù)SAS證出△ADB≌△AEC即可．2.如圖，△ABC與△BEF都是等邊三角形，D是BC上一點(diǎn)，且CD=BE，求證：∠EDB=∠CAD．【答案】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交AC于G，∵△ABC是等邊三角形，∴∠GDC=∠ABC=∠C=60°，AC=BC，∴△CDG是等邊三角形，∴DG=CD=CG，∠AGD=120°，∴BD=AG，∵CD=BE，∴BE=DG，又∵△BEF是等邊三角形∴∠EBF=60°，∴∠EBD=∠DGA=120°，在△EBD和△DGA中．．∴△EBD≌△DGA（SAS），∴∠EDB=∠CAD．【解析】過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交AC于G，求出∠EBD=∠AGD=120°，BD=AG，根據(jù)SAS證△EBD≌△DGA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．【拔高】正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB的中點(diǎn)，連接EF．（1）如圖1，若點(diǎn)G是邊BC的中點(diǎn)，連接FG，則EF與FG關(guān)系為：；（2）如圖2，若點(diǎn)P為BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接FP，將線段FP以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FQ，連接EQ，請(qǐng)猜想BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）若點(diǎn)P為CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中的作法，在圖3中補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）∵點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB的中點(diǎn)，G是BC的中點(diǎn)，∴AE=AF=BF=BG，在△AEF和△BFG中，，∴△AEF≌△BFG（SAS），∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°，∴EF⊥FG，EF=FG；（2）BF+EQ=BP．理由：如圖2，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，則EF⊥FG，EF=FG，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△FQE和△FPG中，，∴△FQE≌△FPG（SAS），∴QE=PG且BF=BG，∵BG+GP=BP，∴BF+EQ=BP；（3）如圖3所示，BF+BP=EQ．【解析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出AE