專題14解直角三角形之新定義模型（原卷版）

專題14解直角三角形之新定義模型解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對初高中知識銜接的考查。高中數(shù)學為這類試題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)學知識內容包裝、初中試題命制技術設置）處理，命制出具有高中數(shù)學背景味道的試題。這類試題往往對學生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗學生是否具備進入高中學習的潛能，所以平時教學挖掘這方面解題技能及功效尤為重要。恰當?shù)貥嫿Ｐ涂梢酝貙捊忸}思路，優(yōu)化解題過程，豐富解題內涵?！局R儲備】模型1、新定義模型此類模型主要包含高中數(shù)學中的三角函數(shù)和解三角形的相關定理（公式），而這些定理（公式）也可利用初中數(shù)學知識證明。若無特殊說明，一般認為△ABC的3個角∠A、∠B、∠C，分別對應邊a、b、c；1）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。圖1圖22）余弦定理：如圖2，．3）正弦面積公式：如圖2，.4）同角三角函數(shù)的基本關系式:，。5）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1．（2020·山東日照市·中考真題）閱讀理解：如圖1，Rt△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，∠C＝90°，其外接圓半徑為R．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（規(guī)定sin90°＝1）．探究活動：如圖2，在銳角△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，其外接圓半徑為R，那么：（用＞、＝或＜連接），并說明理由．事實上，以上結論適用于任意三角形．初步應用：在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．綜合應用：如圖3，在某次數(shù)學活動中，小鳳同學測量一古塔CD的高度，在A處用測角儀測得塔頂C的仰角為15°，又沿古塔的方向前行了100m到達B處，此時A，B，D三點在一條直線上，在B處測得塔頂C的仰角為45°，求古塔CD的高度（結果保留小數(shù)點后一位）．（≈1.732，sin15°＝）例2．（2023秋·廣東九年級課時練習）我們知道，直角三角形的邊角關系可用三角函數(shù)來描述，那么在任意三角形中，邊角之間是否也存在某種關系呢？（已知）如圖，銳角中，、、所對的邊分別為a、b、c，過點C作，在中，，∴，在中，由勾股定理得，即，整理可得：，同理可得：．利用上述結論解答下列問題：（1）在中，，求a和的大?。唬?）在中，，其中，求邊長c的長度．例3．（2023·山西·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下列內容，并解答問題：三角形的一個面積公式小明喜歡通過多渠道學習數(shù)學知識，一天，他運用網(wǎng)絡搜索學會了一個三角形面積公式，這個公式敘述如下：在中，已知，，，則的面積為.請你完成以下活動：問題探究：（1）如圖1，已知是銳角三角形，，，，請證明上述三角形面積公式仍然成立；問題解決：（2）如圖2，在中，，，.則的面積是______.

例4．（2023春·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）海倫公式是古希臘數(shù)學家海倫給出的求三角形面積的公式，用符號表示為，其中a，b，c表示三角形的邊長，s表示三角形的面積，.利用這個公式計算：當時，s=．例5．（2022秋·湖南永州·九年級?？茧A段練習）關于三角函數(shù)有如下公式：，，（其中：）例如：．利用上述公式計算下列三角函數(shù)：①，②，③，④其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4例6．（2023年四川省廣元市中考真題數(shù)學試題）“一縷清風銀葉轉”，某市20臺風機依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風葉轉動，風能就能轉換成電能，造福千家萬戶．某中學初三數(shù)學興趣小組，為測量風葉的長度進行了實地測量．如圖，三片風葉兩兩所成的角為，當其中一片風葉與塔干疊合時，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角，風葉的視角．(1)已知α，β兩角和的余弦公式為：，請利用公式計算；(2)求風葉的長度．

例7．（2023春·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考階段練習）學習過三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．如圖，在中，，頂角A的正對記作，這時．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述對角的正對定義，解下列問題：(1)的值為___________A．

B．1

C．

D．2(2)對于，的正對值的取值范圍是___________．(3)已知，其中α為銳角，試求的值．例8．（2023·廣東九年級課時練習）閱讀下列材料：題目：如圖1，在中，已知，，，請用、表示.解：如圖2，作邊上的中線，于，則，，，在中，根據(jù)以上閱讀，請解決下列問題：(1)如圖3，在中，，，，求，的值(2)上面閱讀材料中，題目條件不變，請用或表示.例9．（2023秋·山東·九年級專題練習）已知：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：如圖1：，如圖2：，如圖3：①觀察上述等式，猜想：如圖4，在中，，都有；②如圖4，在中，，，，的對邊分別是，，，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想；③已知：，且，求．

例10．（2023春·湖北·九年級專題練習）在初中，我們學習過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，即在圖1所示的直角三角形，是銳角，那么的對邊÷斜邊，的鄰邊÷斜邊，的對邊÷的鄰邊．為了研究需要，我們再從另一個角度來規(guī)定一個角的三角函數(shù)的意義：設有一個角α，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為x軸的正半軸，建立直角坐標系（圖2），在角α的終邊上任取一點P，它的橫坐標是x，縱坐標是y，點P和原點的距離為（r總是正的），然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：，，．我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關，而與直角三角形的大小無關，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角α的大小有關，而與點P在角α的終邊位置無關．比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問題：(1)若，則角α的三角函數(shù)值、、，其中取正值的是；(2)若角α的終邊與直線重合，則的值；(3)若角α是鈍角，其終邊上一點，且，求的值；(4)若，則的取值范圍是．課后專項訓練1．（2023秋·福建莆田·九年級?？茧A段練習）我們給出定義：如果兩個銳角的和為，那么稱這兩個角互為半余角．如圖，在中，，互為半余角，且，則的值為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，定義：斜邊與的對邊的比叫做的余割，用“”表示．如設該直角三角形的三邊分別為a，b，c，則，那么下列說法正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023·江西撫州·九年級校考期中）定義一種運算：，，則的值為．4．（2023·成都市九年級期中）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角的余弦值關系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推廣．對于任意三角形，任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．定理解讀：如圖，在任意中，以邊為例，其它兩邊是和，和的夾角為，根據(jù)余弦定理有，類似的可以得到關于和的關系式．已知在中，，，是和的比例中項，那么的余弦值為．5．（2023·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題．sin230°＋cos230°＝；sin245°＋cos245°＝；sin260°＋cos260°＝；……觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A＋cos2A＝．6．（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期中）已知三角形的三邊，，，可以求出這個三角形的面積．古希臘幾何學家海倫的公式為：（其中）；我國南宋著名數(shù)學家秦九韶的公式為：．若一個三角形的三邊長分別是，，，求這個三角形的面積．(1)你認為選擇（填海倫公式或秦九韶公式）能使計算更簡便；(2)請利用你選擇的公式計算出這個三角形的面積．7．（2023·云南昆明·九年級校聯(lián)考階段練習）關于三角函數(shù)有如下的公式：①②；③利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：（1）求的值；（2）如圖，直升機在一建筑物上方的點處測得建筑物頂端點的俯角為，底端點的俯角為此時直升機與建筑物的水平距離為求建筑物的高．8．（2023春·重慶·九年級專題練習）一般地，當，為任意角時，，，與的值可以用下面的公式求得：；；；．例如：．類似地，求：(1)的值．(2)的值．(3)的值提示：對于鈍角，定義它的三角函數(shù)值如下：，．9．（2023·成都市九年級期中）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．如圖，在中，AB=AC，頂角的正對記作，這時，容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解答下列問題：(1)___________，___________；(2)如圖，已知，其中為銳角，試求的值．10．（2022秋·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：如圖1，在中，a，b，c分別是的對邊，，其外接圓半徑為R．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：，可得，即（規(guī)定）．(1)探究活動：如圖2，在銳角中，a，b，c分別是的對邊，其外接圓半徑為R，那么：___________（用>，=或<連接），并說明理由．(2)初步應用：事實上，以上結論適用于任意三角形．在中，a，b，c分別是的對邊，，求c．(3)綜合應用：如圖3，在某次數(shù)學實踐活動中，小瑩同學測量一棟樓的高度，在A處用測角儀測得地面點C處的俯角為，點D處的俯角為，B，C，D在一條直線上，且C，D兩點的距離為100米，求樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：，）11．（2023·全國·九年級專題練習）閱讀材料：關于三角函數(shù)有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用這些公式可以將兩角和的三角函數(shù)值轉化成兩個三角函數(shù)值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2．問題解決：根據(jù)以上閱讀材料，請選擇適當?shù)墓浇獯鹣铝袉栴}（1）求sin75°；（2）如圖，邊長為2的正ABC沿直線滾動設當ABC滾動240°時，C點的位置在，當ABC滾動480°時，A點的位置在．①求tan∠的值；②試確定的度數(shù)．13．（2023春·山東·九年級專題練習）閱讀下面的材料：（1）銳角三角函數(shù)概念：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，稱sinA=，sinB=是兩個銳角∠A，∠B的“正弦”，特殊情況：直角的正弦值為1，即sin90°=1，也就是sinC==1．由sinA=，可得c=；由sinB=，可得c=，而c=，，于是就有；（2）其實，對于任意的銳角△ABC，上述結論仍然成立，即三角形各邊與對角的正弦之比相等，我們稱之為“正弦定理”，我們可以利用三角形面積公式證明其正確性．證明：如圖1作AD⊥BC于D則在Rt△ABD中，sinB=，∴AD=c?sinB，∴S△ABC=a?AD=ac?sinB，在Rt△ACD中，sinC=，∴AD=b?sinC．∴S△ABC=a?AD=ab?sinC．同理可得S△ABC=bc?sinA．因此有S△ABC=ac?sinB=ab?sinC=bc?sinA．也就是=ac?sinB=ab?sinC=bc?sinA．每項都除以abc，得，故．請你根據(jù)對上面材料的理解，解答下列問題：（1）在銳角△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，c=2，求b；（2）求問題（1）中△ABC的面積；（3）求sin75°的值（以上均求精確值，結果帶根號的保留根號）13．（2023·湖北·九年級專題練習）如圖1，在△ABC中，設∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，過點A作AD⊥BC，垂足為D，會有sin∠C=，則S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C同理S△ABC=bcsin∠AS△ABC=acsin∠B通過推理還可以得到另一個表達三角形邊角關系的定理﹣余弦定理：如圖2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，則a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面積公式和余弦定理解決問題：（1）如圖3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的對邊分別是3和8．求S△DEF和DE2．解：S△DEF=EF×DFsin∠F=；DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=．（2）如圖4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分別是以AB、BC、AC為邊長的等邊三角形，設△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面積分別為S1、S2、S3、S4，求證：S1+S2=S3+S4．14．（2020·四川涼山彝族自治州·中考真題）如圖，的半徑為R，其內接銳角三角形ABC中，、、所對的邊分別是a、b、c（1）求證：（2）若，，，利用（1）的結論求AB的長和的值15．（2023·廣東廣州·校考一模）閱讀下列材料：如圖1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，可以得到：證明：過點A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中，∴∴同理：∴（1）通過上述材料證明：（2）運用（1）中的結論解決問題：如圖2，在中，，求AC的長度．（3）如圖3，為了開發(fā)公路旁的城市荒地，測量人員選擇A、B、C三個測量點，在B點測得A在北偏東75°方向上，沿筆直公路向正東方向行駛18km到達C點，測得A在北偏西45°方向上，根據(jù)以