專題22圓錐曲線中的定點定值定直線問題微點4圓錐曲線中的定點定值定直線綜合訓練（學生版）

專題22圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題微點4圓錐曲線中的定點、定值、定直線綜合訓練專題22圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題微點4圓錐曲線中的定點、定值、定直線綜合訓練（2022·河南·濮陽市油田第二高級中學模擬預測）1．已知橢圓C：的離心率，且圓過橢圓C的上、下頂點．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l的斜率為，且直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，點P關于原點的對稱點為E，點是橢圓C上一點，若直線AE與AQ的斜率分別為，，證明：．（2022·山東青島·二模）2．已知點在橢圓上，橢圓C的左右焦點分別為，，的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設點A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.（i）證明：；（ii）證明：直線AB過定點.（2022·全國·模擬預測）3．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率為，為橢圓上的動點．當點與橢圓的上頂點重合時，．(1)求的方程；(2)當點為橢圓的左頂點時，過點的直線（斜率不為0）與橢圓的另外一個交點為，的中點為，過點且平行于的直線與直線交于點．試問：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明理由．（2022·河南安陽·模擬預測）4．在平面直角坐標系xOy中，已知點，，點M滿足．記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)設點P為x軸上的動點，經(jīng)過且不垂直于坐標軸的直線l與C交于A，B兩點，且，證明：為定值．（2022·重慶南開中學模擬預測）5．已知點，動點到直線的距離為，且，記的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)過作圓的兩條切線、（其中、為切點），直線、分別交的另一點為、．從下面①和②兩個結(jié)論中任選其一進行證明．①為定值；②．（2022·上海閔行·二模）6．已知點分別為橢圓的左?右焦點，直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線，垂足分別為點.(1)求證：；(2)求證：為定值，并求出該定值；(3)求的最大值.（2022·上海黃浦·二模）7．已知雙曲線：，為左焦點，為直線上一動點，為線段與的交點．定義：．(1)若點的縱坐標為，求的值；(2)設，點的縱坐標為，試將表示成的函數(shù)并求其定義域；(3)證明：存在常數(shù)、，使得．（2022·廣東·華南師大附中三模）8．已知在△ABC中，，，動點A滿足，，AC的垂直平分線交直線AB于點P．(1)求點P的軌跡E的方程；(2)直線交x軸于D，與曲線E在第一象限的交點為Q，過點D的直線l與曲線E交于M，N兩點，與直線交于點K，記QM，QN，QK的斜率分別為，，，①求證：是定值．②若直線l的斜率為1，問是否存在m的值，使？若存在，求出所有滿足條件的m的值，若不存在，請說明理由．（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測）9．已知圓M：上動點Q，若，線段QN的中垂線與直線QM交點為P．(1)求交點P的軌跡C的方程；(2)若A，B分別軌C與x軸的兩個交點，D為直線上一動點，DA，DB與曲線C的另一個交點分別是E、F、證明：直線EF過一定點．（2022·江蘇南通·模擬預測）10．已知F1（－，0），F(xiàn)2（，0）為雙曲線C的焦點，點P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)點A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點，點Q在直線AB上，若＋，＝0，證明：存在定點T，使得|QT|為定值．11．設雙曲線1，其虛軸長為2，且離心率為.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點P（3，1）的動直線與雙曲線的左右兩只曲線分別交于點A?B，在線段AB上取點M使得，證明：點M落在某一定直線上；(3)在（2）的條件下，且點M不在直線OP上，求△OPM面積的取值范圍.（2022·云南師大附中高三月考）12．已知雙曲線：的離心率為2，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點，（2，3）是雙曲線C上的一個點.(1)求雙曲線C的方程；(2)若過F且不與漸近線平行的直線（斜率不為0）與雙曲線C的兩個交點分別為M，N，記雙曲線C在點M，N處的切線分別為，，點為直線與直線的交點，試判斷點是否在一條定直線上，若是，求出定直線的方程；若不是，請說明理由.（注：若雙曲線方程為，則該雙曲線在點處的切線方程為）（2023·全國·高三月考）13．已知雙曲線過點，離心率為，直線交軸于點，過點作直線交雙曲線于兩點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若是線段的中點，求直線的方程；(3)設是直線上關于軸對稱的兩點，直線與的交點是否在一條直線上？請說明你的理由.14．設雙曲線，其虛軸長為，且離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)過點的動直線與雙曲線的左右兩支曲線分別交于點、，在線段上取點使得，證明：點落在某一定直線上．（2022江蘇·星海實驗中學高二月考）15．某高校的志愿者服務小組決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲．如圖所示，A，B兩個信號源相距10米，O是AB的中點，過點O的直線l與直線AB的夾角為45°，機器貓在直線l上運動，機器鼠的運動軌跡始終滿足接收到點A的信號比接收到點B的信號晚一秒（注：信號每秒傳播米）．在時，測得機器鼠距離點O為4米.(1)以O為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系(如圖)，求時機器鼠所在位置的坐標；(2)游戲設定：機器鼠在距離直線l不超過1.5米的區(qū)域運動:時，有“被抓”的風險．如果機器鼠保持目前的運動軌跡不變，是否有“被抓”風險？16．已知雙曲線的中心為原點，左、右焦點分別為、，離心率為，點是直線上任意一點，點在雙曲線上，且滿足.（1）求實數(shù)的值；（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；（3）若點的縱坐標為，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點、，在線段上去異于點、的點，滿足，證明點恒在一條定直線上.17．在平面直角坐標系中，已知拋物線及點，動直線過點交拋物線于，兩點，當垂直于軸時，.（1）求的值；（2）若與軸不垂直，設線段中點為，直線經(jīng)過點且垂直于軸，直線經(jīng)過點且垂直于直線，記，相交于點，求證：點在定直線上.18．已知圓，拋物線，傾斜角為的直線過的焦點且與相切.（1）求的值；（2）點在的準線上，動點在上，在點處的切線交軸于點，設四邊形為平行四邊形，求證：點在直線上.19．已知橢圓的左?右頂點分別為點，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點，直線，的交于點，求證：點在直線上.20．已知橢圓的離心率，為橢圓的右焦點，為橢圓上的動點，的最大值為3.（1）求橢圓的標準方程；（2），分別為橢圓的左、右頂點，過點作直線交橢圓于，兩點，直線、交于點，試探究點是否在某條定直線上，若是，請求出該定直線方程，若不是，請說明理由.21．在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率為，以橢圓上的一點和長軸的兩個端點為頂點的三角形面積最大值為.（1）求，的值；