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專題22圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題微點(diǎn)4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線綜合訓(xùn)練專題22圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題微點(diǎn)4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線綜合訓(xùn)練(2022·河南·濮陽(yáng)市油田第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))1.已知橢圓C:的離心率,且圓過(guò)橢圓C的上、下頂點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l的斜率為,且直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E,點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn),若直線AE與AQ的斜率分別為,,證明:.(2022·山東青島·二模)2.已知點(diǎn)在橢圓上,橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為,,的面積為.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn)A,B在橢圓C上,直線PA,PB均與圓相切,記直線PA,PB的斜率分別為,.(i)證明:;(ii)證明:直線AB過(guò)定點(diǎn).(2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))3.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí),.(1)求的方程;(2)當(dāng)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)時(shí),過(guò)點(diǎn)的直線(斜率不為0)與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且平行于的直線與直線交于點(diǎn).試問(wèn):是否為定值?若是,求出此定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè))4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn),,點(diǎn)M滿足.記M的軌跡為C.(1)求C的方程;(2)設(shè)點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),經(jīng)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),且,證明:為定值.(2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè))5.已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為,且,記的軌跡為曲線.(1)求的方程;(2)過(guò)作圓的兩條切線、(其中、為切點(diǎn)),直線、分別交的另一點(diǎn)為、.從下面①和②兩個(gè)結(jié)論中任選其一進(jìn)行證明.①為定值;②.(2022·上海閔行·二模)6.已知點(diǎn)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn),直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),直線,垂足分別為點(diǎn).(1)求證:;(2)求證:為定值,并求出該定值;(3)求的最大值.(2022·上海黃浦·二模)7.已知雙曲線:,為左焦點(diǎn),為直線上一動(dòng)點(diǎn),為線段與的交點(diǎn).定義:.(1)若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求的值;(2)設(shè),點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,試將表示成的函數(shù)并求其定義域;(3)證明:存在常數(shù)、,使得.(2022·廣東·華南師大附中三模)8.已知在△ABC中,,,動(dòng)點(diǎn)A滿足,,AC的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程;(2)直線交x軸于D,與曲線E在第一象限的交點(diǎn)為Q,過(guò)點(diǎn)D的直線l與曲線E交于M,N兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn)K,記QM,QN,QK的斜率分別為,,,①求證:是定值.②若直線l的斜率為1,問(wèn)是否存在m的值,使?若存在,求出所有滿足條件的m的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè))9.已知圓M:上動(dòng)點(diǎn)Q,若,線段QN的中垂線與直線QM交點(diǎn)為P.(1)求交點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)若A,B分別軌C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),D為直線上一動(dòng)點(diǎn),DA,DB與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別是E、F、證明:直線EF過(guò)一定點(diǎn).(2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè))10.已知F1(-,0),F(xiàn)2(,0)為雙曲線C的焦點(diǎn),點(diǎn)P(2,-1)在C上.(1)求C的方程;(2)點(diǎn)A,B在C上,直線PA,PB與y軸分別相交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)Q在直線AB上,若+,=0,證明:存在定點(diǎn)T,使得|QT|為定值.11.設(shè)雙曲線1,其虛軸長(zhǎng)為2,且離心率為.(1)求雙曲線C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)P(3,1)的動(dòng)直線與雙曲線的左右兩只曲線分別交于點(diǎn)A?B,在線段AB上取點(diǎn)M使得,證明:點(diǎn)M落在某一定直線上;(3)在(2)的條件下,且點(diǎn)M不在直線OP上,求△OPM面積的取值范圍.(2022·云南師大附中高三月考)12.已知雙曲線:的離心率為2,F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn),(2,3)是雙曲線C上的一個(gè)點(diǎn).(1)求雙曲線C的方程;(2)若過(guò)F且不與漸近線平行的直線(斜率不為0)與雙曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M,N,記雙曲線C在點(diǎn)M,N處的切線分別為,,點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn),試判斷點(diǎn)是否在一條定直線上,若是,求出定直線的方程;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.(注:若雙曲線方程為,則該雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為)(2023·全國(guó)·高三月考)13.已知雙曲線過(guò)點(diǎn),離心率為,直線交軸于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若是線段的中點(diǎn),求直線的方程;(3)設(shè)是直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn),直線與的交點(diǎn)是否在一條直線上?請(qǐng)說(shuō)明你的理由.14.設(shè)雙曲線,其虛軸長(zhǎng)為,且離心率為.(1)求雙曲線的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線的左右兩支曲線分別交于點(diǎn)、,在線段上取點(diǎn)使得,證明:點(diǎn)落在某一定直線上.(2022江蘇·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考)15.某高校的志愿者服務(wù)小組決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如圖所示,A,B兩個(gè)信號(hào)源相距10米,O是AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線l與直線AB的夾角為45°,機(jī)器貓?jiān)谥本€l上運(yùn)動(dòng),機(jī)器鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡始終滿足接收到點(diǎn)A的信號(hào)比接收到點(diǎn)B的信號(hào)晚一秒(注:信號(hào)每秒傳播米).在時(shí),測(cè)得機(jī)器鼠距離點(diǎn)O為4米.(1)以O(shè)為原點(diǎn),直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),求時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo);(2)游戲設(shè)定:機(jī)器鼠在距離直線l不超過(guò)1.5米的區(qū)域運(yùn)動(dòng):時(shí),有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變,是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)?16.已知雙曲線的中心為原點(diǎn),左、右焦點(diǎn)分別為、,離心率為,點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上,且滿足.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)證明:直線與直線的斜率之積是定值;(3)若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)、,在線段上去異于點(diǎn)、的點(diǎn),滿足,證明點(diǎn)恒在一條定直線上.17.在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線及點(diǎn),動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)交拋物線于,兩點(diǎn),當(dāng)垂直于軸時(shí),.(1)求的值;(2)若與軸不垂直,設(shè)線段中點(diǎn)為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于直線,記,相交于點(diǎn),求證:點(diǎn)在定直線上.18.已知圓,拋物線,傾斜角為的直線過(guò)的焦點(diǎn)且與相切.(1)求的值;(2)點(diǎn)在的準(zhǔn)線上,動(dòng)點(diǎn)在上,在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn),設(shè)四邊形為平行四邊形,求證:點(diǎn)在直線上.19.已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn),,且,橢圓離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),且斜率不為的直線交橢圓于,兩點(diǎn),直線,的交于點(diǎn),求證:點(diǎn)在直線上.20.已知橢圓的離心率,為橢圓的右焦點(diǎn),為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),的最大值為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2),分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于,兩點(diǎn),直線、交于點(diǎn),試探究點(diǎn)是否在某條定直線上,若是,請(qǐng)求出該定直線方程,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.21.在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率為,以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大值為.(1)求,的值;
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