第10講函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性（原卷版）-2022年高三數(shù)學講義

第10講函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性（原卷版）學習目標：1．掌握函數(shù)的奇偶性和圖像的性質(zhì)；能判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性；能判斷分段函數(shù)、抽象函數(shù)的奇偶性；2．會運用函數(shù)的奇偶性求有關函數(shù)的值和解析式；3．會運用函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)的其他性質(zhì)；4．掌握函數(shù)的單調(diào)性的相關概念，熟練應用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；5．掌握奇偶性與單調(diào)性的聯(lián)系以及復合函數(shù)單調(diào)性法則，并會靈活應用教學內(nèi)容 1.給出下列函數(shù):（1）；（2）；（3）；（4）（5）其中不存在反函數(shù)的是__________________.2.求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）；（2）；3.若既在的圖象上，又在它反函數(shù)圖象上，求的值知識點一：函數(shù)奇偶性知識梳理1．偶函數(shù)和奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)定義條件如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)結(jié)論函數(shù)f(x)叫作偶函數(shù)函數(shù)f(x)叫作奇函數(shù)圖象特征圖象關于y軸對稱圖象關于原點對稱2．奇偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．(2)在公共定義域內(nèi)①兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)．②兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)都是偶函數(shù)．③一個奇函數(shù)、一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)．即：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；（記憶竅門：奇(－)偶(＋)）(3)若f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則f(0)＝0.(4)若g(x)是偶函數(shù)函數(shù)，那么y=f(g(x))一定是偶函數(shù).（復合函數(shù)奇偶性口訣：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外）3．判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法注：①對于較復雜的解析式，可先對其進行化簡，再利用定義進行判斷，同時應注意化簡前后的等價性．②所給函數(shù)的定義域若不關于原點對稱，則這個函數(shù)一定不具有奇偶性．(2)圖象法(3)性質(zhì)法：①設，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；②若某奇函數(shù)若存在反函數(shù)，則其反函數(shù)必是奇函數(shù)例題精講一、函數(shù)的奇偶性 （一）判斷函數(shù)奇偶性【例1】設是上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是（） A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù) C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【例2】判斷函數(shù)的奇偶性：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．【例3】是非奇非偶函數(shù)，證明如下：，這種證法正確嗎？若正確，說明理由；若不正確，請給出正確的證法．【例4】如圖，在直角坐標平面內(nèi)有一個邊長為、中心在原點的正六邊形，.直線與正六邊形交于M、N兩點，記的面積為，則函數(shù)的奇偶性為（ )xLNMOFExLNMOFEDCBAy C．不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) D．奇偶性與有關[來【例5】已知函數(shù)，其中.根據(jù)的不同取值，討論的奇偶性，并說明理由．【例6】若函數(shù)為偶函數(shù)且非奇函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為_____．【例7】已知函數(shù)對一切，都有．求證：為奇函數(shù)．（二）利用函數(shù)奇偶性【例8】定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，則常數(shù)___,____【例9】、設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是定義在上的函數(shù)，SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為偶函數(shù)”是“SKIPIF1<0為偶函數(shù)”___的條件。充分而不必要【例9】（1）已知是奇函數(shù),且.若,則_______.（2）已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，若，則x0y123y=f(x)y=g(x)13、已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，它們的定義域均為[x0y123y=f(x)y=g(x)【例10】設為定義在上的奇函數(shù),且時,,則函數(shù)在上的零點個數(shù)為（）A． B． C． D．【例11】已知函數(shù)()，如果（），那么的值是（） A． B．3C．5D．【例12】設是函數(shù)的圖象上一點，向量，，且.數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，則_____．【例13】設為實常數(shù),是定義在R上的奇函數(shù),當時,,若對一切成立,則的取值范圍為___________．【例14】已知定義在上的函數(shù)(為實常數(shù))，（1）當時，證明：不是奇函數(shù)；（2）設是奇函數(shù)，求與的值；（3）當是奇函數(shù)時，證明對任何實數(shù)，都有成立．鞏固練習1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）（2）（3）2、函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是___________3、為上的奇函數(shù)，當時，，則當時,=。4．設函數(shù)，其中、（，）為已知實常數(shù)，.下列關于函數(shù)的性質(zhì)判斷正確的命題的序號是_______________．①若，則對任意實數(shù)恒成立；②若，則函數(shù)為奇函數(shù)；③若，則函數(shù)為偶函數(shù)；5．已知，，且，，則=_____．6．設函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，，，求的值．7．已知函數(shù)，，，且與的圖像在軸上的截距相等．（1）求的值；（2）若，，試討論函數(shù)的奇偶性．8．已知函數(shù)，（為正常數(shù)），且函數(shù)與的圖像在軸上的截距相等．（1）求的值；（2）若（為常數(shù)），試討論函數(shù)的奇偶性．知識點二：函數(shù)單調(diào)性知識梳理1．單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的2．函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(1)若f(x)，g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；(2)若k>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反；(3)函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的單調(diào)性相反；(4)函數(shù)y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定義域內(nèi)與y＝eq\r(f（x）)的單調(diào)性相同；(5)奇函數(shù)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反．(6)對于任意的，都有，表示單調(diào)遞增；對于任意的，都有，表示單調(diào)遞減．3．判斷函數(shù)單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)的常用方法(1)定義法：先求定義域，再根據(jù)取值、作差、變形、定號的順序得結(jié)論．(切記：高考中對函數(shù)單調(diào)性的證明，只能使用定義法)(2)圖象法：若函數(shù)是以圖象形式給出的，或者函數(shù)的圖象可作出，可由圖象的升、降寫出它的單調(diào)性(區(qū)間)．(3)復合函數(shù)法：適用于形如y＝f(φ(x))的復合函數(shù)，具體規(guī)則如下表：函數(shù)增減情況內(nèi)函數(shù)t＝φ(x)增增減減外函數(shù)y＝f(t)增減增減y＝f(φ(x))增減減增y＝f(φ(x))的單調(diào)性可以利用口訣——“同增異減”來判斷，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)；單調(diào)性不同時為減函數(shù)．(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)單調(diào)性的有關結(jié)論，確定簡單的初等函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)與減函數(shù)定義：一般地，設函數(shù)的定義域為，如果對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間內(nèi)的任意兩個自變量，，當時，都有（），那么就說在區(qū)間上是增（減）函數(shù)．注：①函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，在討論函數(shù)的單調(diào)性的基礎上不要忽略函數(shù)定義域的要求；②一個函數(shù)有多個單調(diào)遞增或遞減區(qū)間時不能用“”連接；如的單調(diào)遞減區(qū)間時和而不能寫成。利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟【步驟】①任取，且；②作差（偶有做商比較大小的）；③變形（通常是通分、因式分解和配方）；④定號（即判斷差的正負）；⑤下結(jié)論（即指出函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)性）；單調(diào)性的其它等價形式①對于任意的，都有，表示單調(diào)遞增；對于任意的，都有，表示單調(diào)遞減.②對于任意的，都有，表示單調(diào)遞增；對于任意的，都有，表示單調(diào)遞減.③若是奇函數(shù)，且對定義域內(nèi)的任意（）都有恒成立，則在定義域內(nèi)遞增；恒成立，則在定義域內(nèi)遞減.例題精講（一）單調(diào)性概念【例15】下列命題中正確的命題是（）A．若存在，當時，有，則說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；B．若存在（，當時，有，則說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；C．函數(shù)的定義域為，若對任意的，都有，則函數(shù)在上一定是減函數(shù)；D．若對任意，當時，有，則說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．【例17】已知函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為_____．【例18】，證明是上的遞增函數(shù)．【例19】判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性?！纠?0】已知，當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍【例21】定義在上的偶函數(shù)在上是增函數(shù)，且對一切,恒有成立，試判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．【例22】已知滿足對任意都有成立，那么的取值范圍是_____．【例23】2、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為____________（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！纠?4】設,函數(shù)在單調(diào)遞減,則（） A．在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減 C．在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減【例25】設x∈R，若函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，且對任意實數(shù)x，都有（e是自然對數(shù)的底數(shù)），則的值等于_____．【例26】動點在圓上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周．已知時間時，點的坐標是，則當時，動點的縱坐標關于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A． B． C． D．和【例27】設、、是定義域為的三個函數(shù)，對于命題：=1\*GB3①若、、均為增函數(shù)，則、、中至少有一個增函數(shù)；=2\*GB3②若、、均是以為周期的函數(shù)，則、、均是以為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是（ ） A．=1\*GB3①和=2\*GB3②均為真命題 B．=1\*GB3①和=2\*GB3②均為假命題 C．=1\*GB3①為真命題，=2\*GB3②為假命題 D．=1\*GB3①為假命題，=2\*GB3②為真命題【例28】已知函數(shù)，，．（1）若，試判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，求證函數(shù)存在反函數(shù)．【例29】在定義域上滿足任意， （1）若在上遞增，判斷在定義域上單調(diào)性，并說明理由； （2）若在上遞增，判斷在定義域上單調(diào)性，并說明理由．鞏固練習1．函數(shù)的增區(qū)間是，則的遞區(qū)間是_____．2、的遞增區(qū)間是__________，遞減區(qū)間是__________。3、求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間4、．證明在定義域上為減函數(shù).5、求的單調(diào)遞增區(qū)間6、已知函數(shù)，函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？7、已知函數(shù)，令，問是否存在實數(shù)，使在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．8．設為奇函數(shù)，為常數(shù)．（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由；（3）若對于區(qū)間上的每一個值，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．知識點三：奇偶性單調(diào)性綜合知識梳理奇偶性單調(diào)性綜合應用例題精講（二）利用函數(shù)單調(diào)性【例30】，在定義域上為增函數(shù)，則的取值范圍．【例31】已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是_____．【例32】已知定義域為的奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且，求的取值范圍．【例33】問題“求方程的解”有如下的思路：方程可變?yōu)?，考察函?shù)可知，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴原方程有唯一解．仿照此解法可得到不等式：的解是_____．【例34】，（1）在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間是，求的取值范圍．【例35】對于定義域為的函數(shù)，若有常數(shù)，使得對于任意的,存在唯一的滿足等式，則稱為函數(shù)的“均值”．（1）判斷1是否為函數(shù)的“均值”，請說明理由；（2）若函數(shù)存在“均值”，求實數(shù)的取值范圍．【鞏固訓練】1．是否存在實數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)？如此存在，說明可取哪些值；如果不存在，說明理由．2．已知函數(shù)，若在是增函數(shù)，求實數(shù)的范圍.3、已知函數(shù).（1）用定義證明：當時，函數(shù)在上是增函數(shù)； （2）若函數(shù)在上有最小值，求實數(shù)的值．三、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性綜合應用【例36】下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)為．（寫出符合要求的所有函數(shù)的序號）【例37】【2012年嘉定區(qū)一模理科第12題】已知函數(shù)，，則滿足的的取值范圍是________________．【例38】（黃浦區(qū)2013屆高三一模理科17）若是上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論：①是偶函數(shù)；②對任意的都有；③在上單調(diào)遞增；④在上單調(diào)遞增．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ） A．1B．2C．3D．4【例39】（青浦區(qū)2013屆高三一模18）已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值（ ） A．恒為正數(shù) B．恒為負數(shù) C．恒為0 D．可正可負【例40】已知是單調(diào)減函數(shù)，若將方程與的解分別稱為函數(shù)的不動點與穩(wěn)定點．則“是的不動點”是“是的穩(wěn)定點”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【例41】已知集合是滿足下列兩個條件的函數(shù)的全體：①在定義域上是單調(diào)函數(shù)；②在的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間，使在上的值域為．若函數(shù)，，則實數(shù)的取值范圍是________________．【例42】已知函數(shù)的定義域是且，,當時,．(1)求證:是奇函數(shù)；(2)求在區(qū)間)上的解析式；(3)是否存在正整數(shù)，使得當x∈時,不等式有解?證明你的結(jié)論．【例43】已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（1）如果函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，求的值；（2）設常數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值；（3）當是正整數(shù)時，研究函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由．鞏固練習1．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減的是() A． B． C． D．2．定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有恒成立.則當時，有（ ）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，，若對任意的，均有，則實數(shù)的取值范圍是．4．設函數(shù)，.（1）解方程：；（2）令，，求證：；（3）若是實數(shù)集上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．5．對于函數(shù)，若存在實數(shù)，使成立，則稱為函數(shù)的不動點．⑴已知函數(shù)．①若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求實數(shù)的取值范圍；②在①的條件下，若的圖像上兩點的橫坐標都是函數(shù)的不動點，且兩點關于直線對稱，求實數(shù)的最小值．⑵命題“若定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)存在有限個相異的不動點，則不動點的個數(shù)是奇數(shù)個”是否正確？若正確則加以證明，若不正確請舉一反例加以說明．1、已知，，則的單調(diào)遞增區(qū)間.2、如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是3、若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍。4.已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是5、已知函數(shù),滿足對任意,都有成立,則的取值范圍是__________.6、已知在定義域上是減函數(shù)，且，求的取值范圍．7、已知函數(shù)式定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且，求滿足的的取值范圍。8、已知是定義在上的奇函數(shù)，且它在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，求實數(shù)的取值范圍。9、“求方程的解”有如下的思路：方程可變?yōu)?，考察函?shù)可知，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴原方程有唯一解．仿照此解法可得到不等式：的解是．10、已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足的取值范圍是。11、已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，并且，求實數(shù)的取值范圍．12、下列命題中正確的命題是………………（）（