專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型例題題型歸類練)

專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型例題+題型歸類練)一、必備秘籍類型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差類型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比類型三：插入新數(shù)混合二、典型例題類型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差例題1．（2022·湖北十堰·三模）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記這個(gè)等差數(shù)列的公差為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：,根據(jù)題意在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，可通過構(gòu)造新數(shù)列來求解構(gòu)造新數(shù)列通過對比可知：，，，另這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，公差記為，所以：（插入個(gè)數(shù)）求這樣符合錯(cuò)位相減法模型作差得：【答案】(1)(2)(1)解：因?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，②①②得.所以.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，上式也成立，所以的通項(xiàng)公式為.(2)解：由題可知，得，則，③，④③④得，解得.類型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比例題2．（2022·山東聊城·高二期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入一項(xiàng)，使，，成等比數(shù)列，且公比為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：,根據(jù)題意在與之間插入一項(xiàng)，，使，，成等比數(shù)列，且公比為,可求出表達(dá)式.由：，，從而：根據(jù)題意：在與之間插入一項(xiàng)，使，，成等比數(shù)列：，將代入，得到：，兩邊同時(shí)取自然對數(shù)：，從而得：（符合裂項(xiàng)相消的特征）【答案】(1)(2)(1)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：則有：可得：又，則有：故是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列則有：即的通項(xiàng)公式為：(2)因?yàn)?，，成等比?shù)列，且公比為，所以因?yàn)椋?，即因?yàn)?，則有：可得：化簡可得：所以數(shù)列的前項(xiàng)和：類型三：插入新數(shù)混合例題3．（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測）己知數(shù)列滿足，在之間插入個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為（

）A．178 B．191 C．206 D．216由題意可知求混合數(shù)列由題意可知求混合數(shù)列與插入的新數(shù)1，混合后，新數(shù)列的前100項(xiàng)和，其突破口在于：在這100項(xiàng)中，數(shù)列提供了多少項(xiàng)？解決了這個(gè)問題，剩余的都是插入進(jìn)來的.通過上表，比如：提供了從到，這樣新插入的數(shù)的個(gè)數(shù)為：，這樣總共才10+45=55項(xiàng)；按此方式多次試探，比如：從到，這樣新插入的數(shù)的個(gè)數(shù)為：，這樣總共13+78=91，也就意味著這到之間只要再取9個(gè)1，即100項(xiàng)，這樣提供了13項(xiàng).個(gè)數(shù)：123456789101213試探法尋找提供的項(xiàng)數(shù)試探法尋找提供的項(xiàng)數(shù)求和【答案】A解：數(shù)列滿足，在，之間插入個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列，1，，1，1，，1，1，1，，所以共有個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于，所以．例題4．（2022·廣東汕頭·三模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前50項(xiàng)的和．由（1）知由（1）知，，根據(jù)題意：在與之間依次插入數(shù)列中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列中前50項(xiàng)的和，難點(diǎn)在于數(shù)列提供了多少項(xiàng)？通過上表，比如：提供了從到，這樣新插入的數(shù)的個(gè)數(shù)為：，這樣總共才28+8=36項(xiàng)；按此方式繼續(xù)試探，比如：從到，這樣新插入的數(shù)的個(gè)數(shù)為：，這樣總共9+36=45，也就意味著這到之間只要再取5項(xiàng)，即50項(xiàng)，這樣提供了9項(xiàng)，提供了41項(xiàng).插入個(gè)數(shù)：123456789試探法尋找提供的項(xiàng)數(shù)試探法尋找提供的項(xiàng)數(shù)求和【答案】(1)，(2)11522(1)由得：∵是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列∴又當(dāng)時(shí)，得當(dāng)，由…①…②由①－②整理得：，∵，∴，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故；(2)依題意知：新數(shù)列中，（含）前面共有：項(xiàng)．由，（）得：，∴新數(shù)列中含有數(shù)列的前9項(xiàng)：，，……，，含有數(shù)列的前41項(xiàng)：，，，……，；∴．三、題型歸類練1．（2021·重慶市第十一中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求證：是等比數(shù)列；（2）在和之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，記插入的n個(gè)數(shù)的和為，求.【答案】(1)證明見解析；(2)解：(1)當(dāng)時(shí)，，，——①，——②由②①得：，，是一個(gè)以公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列.(2)由(1)可得且，記在和之間插入的這個(gè)數(shù)為：，又成等差數(shù)列，2．（2022·福建·廈門一中高二階段練習(xí)）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的最大項(xiàng).【答案】(1)證明見解析，（）(2)(1)因?yàn)?，所以，即，?設(shè)，則.因?yàn)?，則，所以，所以是首項(xiàng)和公比均為﹣1為等比數(shù)列，即數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為﹣1為等比數(shù)列，所以，所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）.(2)依題意，因?yàn)椋ǎ裕?所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，，所以數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成一個(gè)遞減數(shù)列（即），因此，數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)中的最大項(xiàng)為；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，，所以數(shù)列的所有偶數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成一個(gè)遞減數(shù)列（即），因此，數(shù)列的所有偶數(shù)項(xiàng)中的最大項(xiàng)為；因?yàn)?，所以?shù)列的最大項(xiàng)為.3．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，數(shù)列中第，，，…，…項(xiàng)構(gòu)成新的數(shù)列，且數(shù)列為等比數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)(1)∵，∴，∴.∴，∴當(dāng)時(shí)，.即.又，∴，∴，∴.(2)由（1）知數(shù)列中第，項(xiàng)為，，即等比數(shù)列為首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，∴，而，∴.∴.4．（2022·貴州·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列為等差數(shù)列，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列是由數(shù)列的項(xiàng)刪去數(shù)列的項(xiàng)后按從小到大的順序排列構(gòu)成的新數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)和.【答案】(1)，.(2)3066.(1)因?yàn)棰?，所以②，由②①得，即，?dāng)時(shí)，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，設(shè)數(shù)列的公差為d，，，所以，所以，.(2)因?yàn)?，，所以?shù)列的前50項(xiàng)即為數(shù)列的前56項(xiàng)刪去數(shù)列中的前6項(xiàng)，故所求數(shù)列的前50項(xiàng)和.所以.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列依次為：，2、，，，，，，，，，，，，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)的和.【答案】(1)；(2)(1)，解得（舍去），由得時(shí)，，兩式相減得，，因?yàn)?，所以，是等差?shù)列，公差為2，所以；(2)由于，，，因此數(shù)列的前50項(xiàng)中含有的前9項(xiàng)，含有中的前41項(xiàng)，所求和為．6．（2022·江蘇·南京市第五高級中學(xué)一模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列中的和之間插入i個(gè)數(shù)，，，…，，使，，，，…，，成等差數(shù)列，這樣得到一個(gè)新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】(1)；(2).(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,∵，，∴，即，∴，即，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)因?yàn)樵跀?shù)列中的和之間插入i個(gè)數(shù)，則在列的前21項(xiàng)中，就是在到每兩項(xiàng)之間各插入一組數(shù)，共插入五組，數(shù)列的前21項(xiàng)為∴.7．（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在和中插入個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).(1)當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，由得：，兩式作比可得：，整理可得：，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，；(2)設(shè)和插入的個(gè)數(shù)構(gòu)成一組數(shù)，則前組共有個(gè)數(shù)，令，又，解得：；當(dāng)時(shí)，，的前項(xiàng)中包含前組數(shù)和第組數(shù)的前個(gè)，.8．（2022·山東棗莊·高二期末）已知數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)在和中插入k個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項(xiàng)和公差都為2的等差數(shù)列.求數(shù)列的前50項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析；(2)2735.(1)依題意，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，則有，而，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公式的等比數(shù)列.(2)由(1)知，，即，插入的所有項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，，數(shù)列中前插入數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為：，而前插入數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為45，因此，數(shù)列的前50項(xiàng)中包含數(shù)列前9項(xiàng)，數(shù)列前41項(xiàng)，所以.9．（2022·重慶·三模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)求；(2)若集合，將中的所有元素按從小到大順序排列，構(gòu)成數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)846(1)等差數(shù)列中，，∴，，∴.(2)因?yàn)?，，A，B中沒有共同的元素，所以的前33項(xiàng)中，有5項(xiàng)B中的元素，28項(xiàng)A中的元素，故.10．（2022·重慶·高二期末）已知等差數(shù)列滿足：成