專題12點(diǎn)直線平面之間位置關(guān)系的綜合問題（原卷版）

點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的綜合問題專題點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的綜合問題專題體系搭建體系搭建要點(diǎn)一：平面基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．作用：是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)．公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．作用：提供確定平面最基本的依據(jù)．公理3：如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的公共直線．作用：是判定兩個(gè)平面交線位置的依據(jù)．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．作用：是判定空間直線之間平行的依據(jù)．要點(diǎn)二：空間的平行與垂直關(guān)系（1）空間中的平行關(guān)系如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行．如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．（2）空間中的垂直關(guān)系如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直．如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線，則兩個(gè)平面互相垂直．如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．解決空間問題的重要思想方法：等價(jià)轉(zhuǎn)化——化空間問題為平面問題．空間平行、垂直關(guān)系證明的基本思想方法——轉(zhuǎn)化與聯(lián)系，如圖所示．要點(diǎn)三、直線與平面所成的角1．直線與平面所成角的定義一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線.過斜線上斜足外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.要點(diǎn)詮釋：(1)直線與平面平行，直線在平面上的射影是一條直線.(2)直線與平面垂直時(shí)射影是點(diǎn).(3)斜線上任一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上.2．直線與平面所成的角的范圍：直線和平面相交直線和平面相交不垂直時(shí)，0°＜＜90°垂直時(shí)，=90°直線和平面平行或直線在平面內(nèi)，=0°。．直線和平面所成角的范圍是0°≤≤90°．3．求斜線與平面所成角的一般步驟：(1)確定斜線與平面的交點(diǎn)即斜足；(2)經(jīng)過斜線上除斜足外任一點(diǎn)作平面的垂線，確定垂足，進(jìn)而確定斜線在平面內(nèi)的射影；(3)解由垂線、斜線及其射影構(gòu)成的直角三角形，求出線面角．要點(diǎn)四、二面角1.二面角定義平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.表示方法：棱為、面分別為的二面角記作二面角.有時(shí)為了方便，也可在內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)，將這個(gè)二面角記作二面角.如果棱記作，那么這個(gè)二面角記作二面角或.2.二面角的平面角(1)二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(2)二面角的平面角的范圍：0°≤≤180°．當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，=0°；當(dāng)兩個(gè)半平面相交時(shí)，0°＜＜180°；當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，=180°．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(3)二面角與平面角的對(duì)比角二面角圖形定義從半面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線（半直線）所組成的圖形從空間內(nèi)二直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形表示法由射線、點(diǎn)（頂點(diǎn)）、射線構(gòu)成，表示為∠AOB由半平面、線（棱）、半平面構(gòu)成，表示為二面角(4)二面角的平面角的確定方法方法1：（定義法）在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如右圖，在二面角的棱a上任取一點(diǎn)O，在平面內(nèi)過點(diǎn)O作OA⊥a，在平面內(nèi)過點(diǎn)O作BO⊥a，則∠AOB為二面角的平面角．方法2：（垂面法）過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如下圖（左），已知二面角，過棱上一點(diǎn)O作一平面，使，且，。∴，，且⊥OA，⊥OB，∴∠AOB為二面角的平面角．方法3：（垂線法）過二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角，此種方法通常用于求二面角的所有題目，具體步驟：一找，二證，三求．如上圖（右），已知二面角ABCD，求作其平面角．過點(diǎn)A作AE⊥平面BCD于E，過E在平面BCD中作EF⊥BC于F，連接AF．∵AE⊥平面BCD，BC平面BCD，∴AE⊥BC．又EF⊥BC，AE∩EF=E，∴BC⊥平面AEF，∴BC⊥AF由垂面法可知，∠AFE為二面角ABCD的平面角。例題分析例題分析考點(diǎn)1空間點(diǎn)、線、面之間的垂直、平行、異面關(guān)系【例1】．已知α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是兩條不同的直線，給出下列命題：①若m⊥α，m?β，則α⊥β；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n與α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β．其中正確的命題是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④變式訓(xùn)練【變11】．設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則能得出a⊥b的是（）A．a(chǎn)⊥α，b∥β，α⊥β B．a(chǎn)⊥α，b⊥β，α∥β C．a(chǎn)?α，b⊥β，α∥β D．a(chǎn)?α，b∥β，α⊥β【變12】．若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（）A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交 C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交【變13】．在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BM∥平面PAD；（Ⅱ）平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)2幾何體體積、空間距離問題【例2】．如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥面ABCD，（Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，且△AEC的面積為3，求三棱錐D﹣AEC的體積．變式訓(xùn)練【變21】．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD＝60°，AB＝2AD，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)．（1）求證：PA∥平面BMD；（2）求證：AD⊥PB；（3）若AB＝PD＝2，求點(diǎn)A到平面BMD的距離．【變22】．如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC＝CD＝SD＝AD＝2AB＝2，M，N分別為SA，SB的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，過M，N作平面MNPQ分別與交BC，AD于點(diǎn)P，Q．（Ⅰ）當(dāng)Q為AD中點(diǎn)時(shí)，求證：平面SAE⊥平面MNPQ；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求三棱錐Q﹣BCN的體積．【變23】．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖2所示．（1）求證：DA⊥BC；（2）在CD上找一點(diǎn)F，使AD∥平面EFB；（3）求點(diǎn)A到平面BCD的距離．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．若直線l不平行于平面α，則下列結(jié)論成立的是（）A．α內(nèi)的所有直線都與l異面 B．α內(nèi)不存在與l平行的直線 C．α內(nèi)的所有直線都與l相交 D．直線l與平面α有公共點(diǎn)2．已知不重合的直線l，m，n和不重合的平面α，β，下列說法中正確的是（）A．若m?α，n?β，m⊥n，則α⊥β B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β C．若α⊥β，l⊥β，則l∥α D．若α∩β＝l，m?α，n?β，m∥n，則m∥l3．如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線MN∥平面ABC的是（）A． B． C． D．4．在氣象觀測中，用降水量表示下雨天氣中雨量的大小．降水量的測量方法是從天空降落到地面上的雨水，在未蒸發(fā)、滲透、流失的情況下，在水平面上積聚的雨水深度．降水量以mm為單位，一般取一位小數(shù)．現(xiàn)某地10分鐘的降雨量為13.1mm，小王在此地此時(shí)間段內(nèi)用底面半徑為5cm的圓柱型量筒收集的雨水體積約為（其中π≈3.14）（）A．1.02×103mm3 B．1.03×103mm3 C．1.02×105mm3 D．1.03×105mm35．“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”．若該多面體的棱長為，則其體積為（）A． B．5 C． D．6．甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若，則＝（）A． B． C． D．7．如圖，圓錐的軸截面為正三角形，點(diǎn)P為頂點(diǎn)，點(diǎn)O為底面圓心，過軸PO的三等分點(diǎn)O1（靠近點(diǎn)P）作平行底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，此圓柱的下底面在圓錐的底面上，則所得圓柱的體積與原圓錐的體積之比為（）A．1：9 B．2：9 C．1：27 D．2：278．已知正三棱柱的側(cè)棱長為l，底面邊長為a，若該正三棱柱的外接球體積為，當(dāng)l+a最大時(shí)，該正三棱柱的體積為（）A． B． C． D．9．轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)采用三角轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來控制壓縮和排放．如圖，三角轉(zhuǎn)子的外形是有三條側(cè)棱的曲面棱柱，且側(cè)棱垂直于底面，底面是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓構(gòu)成的曲面三角形，正三角形的頂點(diǎn)稱為曲面三角形的頂點(diǎn)，側(cè)棱長為曲面棱柱的高，記該曲面棱柱的底面積為S，高為h，已知曲面棱柱的體積V＝Sh，若，h＝1，則曲面棱柱的體積為（）A． B． C． D．10．中國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖暅父子總結(jié)了魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高．詳細(xì)點(diǎn)說就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．上述原理在中國被稱為祖暅原理．一個(gè)上底面邊長為1，下底面邊長為2高為2的正六棱臺(tái)與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）A．16 B．16 C．18 D．2111．如圖，在三棱錐A﹣PBC中，已知，，PA⊥AC，PB⊥BC，平面PAC⊥平面PBC，三棱錐A﹣PBC的體積為，若點(diǎn)P，A，B，C都在球O的球面上，則球O的表面積為．12．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)（不包括邊界），若B1P∥平面A1BM，則C1P的最小值是．13．如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不成立的是．①EF與BB1垂直；②EF與BD垂直；③EF與CD異面；④EF與A1C1異面．14．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠ABC＝60°，AC＝2，側(cè)棱長為，點(diǎn)P是側(cè)面ACC1A1內(nèi)一點(diǎn)．當(dāng)|AB|+|BC|最大時(shí)，過B、B1、P三點(diǎn)的截面面積的最小值為．15．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，當(dāng)“陽馬”即四棱錐B﹣A1ACC1，體積最大時(shí)，“塹堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面積為．16．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論序號(hào)是．①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③異面直線AE，BF所成的角為定值；④直線AB與平面BEF所成的角為定值；⑤ABEF為頂點(diǎn)的四面體的體積不隨EF位置的變化而變化．17．已知四面體A﹣BCD中，AB＝2，AC＝3，AD＝4，G為底面△BCD的重心，且∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°．（1）求線段AG的長；（2）求三棱錐A﹣BCD的體積VA﹣BCD．18．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AA1＝1，，，P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)P為線段BC1上的中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐B﹣PAC的體積；（2）當(dāng)P在線段BC1