專題12定比點差法及其應用微點1定比點差法及其應用初步（學生版）

專題12定比點差法及其應用微點1定比點差法及其應用初步專題12定比點差法及其應用微點1定比點差法及其應用初步【微點綜述】在處理解析幾何“中點弦”問題時，我們常用的方法是“點差法”，該法模式化強，計算量小，學生易于掌握，其實在面臨“非中點弦”問題時，我們依然可以使用“點差法”，只是在處理非中點問題時，需要根據(jù)線段所分得的比值做代數(shù)處理，一般把這種方法叫做“定比點差法”．相比于傳統(tǒng)的點差法，定比點差在處理三點共線、相交弦、定點定值、比例問題、調和點列等問題均具有優(yōu)勢．本文在定比分點的基礎上，分別以橢圓、雙曲線、拋物線為例介紹該法的由來，并例舉該法在幾類解析幾何問題中的初步應用，全面系統(tǒng)地介紹了“定比點差法”．在講定比點差法前，我們先引出定比分點的概念．一、定比分點若，則稱點為點的定比分點．若，點在線段上，此時稱點為內分點；若，點在線段的延長線上，此時稱點為外分點．①點在線段上（）②點在線段的延長線上（）③點在線段的反向延長線上（）補充定義：當時，對應的定比分點可以認為是無窮遠點.二、定比點差法原理1．線段定比分點向量公式及坐標公式已知，設，則．證明：證法一：設，.證法二：設，則，利用對應坐標相等即可推出．2．“定比點差法”的由來（1）若點在橢圓上，且點滿足，則于是有，整理得，即①（和定比分點坐標公式形式保持一致）．（2）若點在雙曲線上，且點滿足，則于是有，整理得，即②．（3）若點在拋物線上，且點滿足，則于是有，變形得，即③．說明：1.上述表達式①、②、③的推導方法就叫“定比點差法”，由推導過程可以看出，該法是“點差法”的更一般的推廣而已，當時，“定比點差法”即為“點差法”．2.上述表達式①、②、③的形式與的形式是一致的，因此和極點極線有關的題目都可以嘗試利用定比點差法進行處理.三、定比點差對稱軸軸上點公式對于過軸上的定點或直線和圓錐曲線相交，一般可以都可以嘗試利用定比點差法進行求解，而且會比常規(guī)的韋達定理法要簡潔很多！下面給出常用的幾個公式.過定點的直線與橢圓相交于兩點，設，，則有①截距對偶公式：；②坐標公式：；③拓展公式之：四、定比點差法的應用（一）應用定比點差法求點的坐標例1．已知分別是橢圓的左右焦點，點在橢圓上，且，則點的坐標是．【答案】【解析】如圖，延長交橢圓于點，由對稱性得，則．設，則，又，由點在橢圓上，則于是有，即，聯(lián)立，解得，則．【評注】由向量數(shù)乘的幾何意義知//且，考慮到橢圓的中心對稱性，可以延長交橢圓于點，得到，從而得到三點共線，且，于是定點為焦點弦的定比分點，自然想到使用定比點差法．（二）應用定比點差法求離心率例2．已知橢圓內有一點，過的兩條直線、分別與橢圓交于和兩點，且滿足，（其中且），若變化時直線的斜率總為，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設，由可得：，據(jù)此可得：，同理可得：，則：，將點A，B的坐標代入橢圓方程做差可得：，即：，同理可得：，兩式相加可得，故：，據(jù)此可得：．【評注】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝a2－c2轉化為a，c的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）．例3．已知橢圓，過其左焦點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，若，求橢圓的離心率．【解析】設，由得，由得由點在橢圓上，則兩式作差得，，聯(lián)立，得，又，于是有，整理得，兩邊都除以，得，解得或，又．【評注】處理焦點弦問題時，相較于聯(lián)立直線與曲線方程法，定比點差法運算量小，過程簡潔．（三）應用定比點差法求直線方程例4．已知橢圓的左、右焦點分別為，焦距為，過點作直線與橢圓相交于兩點，且△的周長為．（1）求橢圓的標準方程；（2）若，求直線的方程．【解析】（1）由已知可得，又，解得所求的橢圓的標準方程為．（2）由，得．設，得，又，由點在橢圓上，得兩式作差得，聯(lián)立，解得，又，解得直線的方程為或．【評注】由平面向量共線定理及向量數(shù)乘的幾何意義，得，自然考慮定比點差法（四）應用定比點差法求弦長例5．已知斜率為的直線與拋物線的交于兩點，與軸交于點，若，求．【解析】設，由，得，則由點在拋物線上，則于是有，則，聯(lián)立，得，又，則，由．【評注】由已知條件可知該題可使用定比點差法，得到點的橫坐標，再利用，得到，利用拋物線方程得到，求出，最后由得出答案．例6．（2022·上海徐匯·三模）已知橢圓：焦距為，過點，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點?．（1）求橢圓的方程；（2）若，的最大值；（3）設，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為．若?和點共線，求實數(shù)的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）待定系數(shù)法求解橢圓方程；（2）設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，利用弦長公式得到，結合的取值范圍，求出最大值；（3）設出直線方程，表達出兩點坐標，由??三點共線得到方程，化簡后得到．【解析】（1）由題意得：焦距為，得，點坐標代入橢圓方程得：，，解得：，，所以橢圓的標準方程為．（2）設直線的方程為，由消去可得，則，即，設，，則，，則，易得當時，，故的最大值為．（3）設，，，，則①，②，又，所以可設，直線的方程為，由消去可得，則，即，由，及①，代入可得，又，所以，所以，同理可得．故，，因為??三點共線，所以．將點，的坐標代入，通分化簡得，即．【評注】處理圓錐曲線問題，通常要設出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再利用弦長公式或題干中條件，求出取值范圍或得到方程，求出參數(shù)．例7.（2022·山西太原·三模）已知橢圓過點離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）當過點M（4，1）的動直線與橢圓C相交于不同的兩點A，B時，在線段AB上取點N，滿足求線段PN長的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由橢圓的幾何性質列方程組求解；（2）由定比分點公式化簡得點軌跡方程，由點到直線距離公式求解.【解析】（1）根據(jù)題意，解得，橢圓C的方程為.（2）設A（，），B（，），N（x，y），由，得，∴，又，∴，∴點N在直線上，∴．【總結】定比點差法，實際上是直線參數(shù)方程的變異形式，核心思想是“設而不求”．它是利用圓錐曲線上兩點坐標之間的聯(lián)系與差異，代點、擴乘、作差，解決相應的圓錐曲線問題，尤其是遇到定點、成比例等條件時，定比點差法有獨特的優(yōu)勢．【針對訓練】（2018年高考浙江卷）1．已知點P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點A，B滿足=2，則當m=___________時，點B橫坐標的絕對值最大．2．已知橢圓，點為橢圓外一點，斜率為的直線與橢圓交于，兩點，過點作直線，分別交橢圓于，兩點．當直線的斜率為時，此橢圓的離心率為______．3．已知橢圓，過橢圓的左焦點F且斜率為的直線l與橢圓交于A、B兩點（A點在B點的上方），若有，求橢圓的離心率．（2022·吉林市教育學院模擬預測）4．已知拋物線的焦點F到其準線的距離為4，橢圓經過拋物線的焦點F．(1)求拋物線的方程及a；(2)已知O為坐標原點，過點的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若，點N滿足，且最小值為，求橢圓的離心率．（2022·山東濟南·二模）5．已知橢圓C的焦點坐標為和，且橢圓經過點.(1)求橢圓C的方程；(2)若，橢圓C上四點M，N，P，Q滿足，，求直線MN的斜率.（2022·重慶南開中學模擬預測）6．已知，直線過橢圓的右焦點F且與橢圓交于A、B兩點，l與雙曲線的兩條漸近線、分別交于M、N兩點．(1)若，且當軸時，△MON的面積為，求雙曲線的方程；(2)如圖所示，若橢圓的離心率，且，求實數(shù)的值．（2022云南紅河·模擬預測）7．在平面直角坐標系中，點是以原點為圓心，半徑為的圓上的一個動點.以原點為圓心，半徑為的圓與線段交于點，作軸于點，作于點.(1)令，若，，，求點的坐標；(2)若點的軌跡為曲線，求曲線的方程；(3)設（2）中的曲線與軸的正半軸交于點，與軸的正負半軸分別交于點，，若點?分別滿足，，證明直線和的交點在曲線上.（2022重慶·模擬預測）8．已知橢圓：的右焦點為，點，是橢圓上關于原點對