《機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ) 》課件第6章

第6章扭轉(zhuǎn)變形6.1扭矩和扭矩圖

6.2扭轉(zhuǎn)變形的應(yīng)力分析

6.3圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計(jì)算思考與練習(xí)題

6.1.1扭轉(zhuǎn)的概念

工程上有許多構(gòu)件承受扭轉(zhuǎn)變形，如汽車方向盤的轉(zhuǎn)向軸(如圖6-1所示)、絲錐(如圖6-2所示)等。這些構(gòu)件的受力情況能抽象為一個共同的力學(xué)模型，如圖6-3所示。從圖6-3可以看出構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時的受力特點(diǎn)是：構(gòu)件兩端受一對力偶作用，兩力偶的力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相反，且力偶的作用面均垂直于桿的軸線。其變形特點(diǎn)是：桿件的任意兩個橫截面繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。這種變形形式稱為扭轉(zhuǎn)。6.1扭矩和扭矩圖

圖6-1轉(zhuǎn)向軸受力圖6-2絲錐受力情況

圖6-3扭轉(zhuǎn)變形應(yīng)該注意的是，有許多構(gòu)件在發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的同時，還伴隨有其它形式的變形，如彎曲變形等。本章主要討論的是構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)變形。由于發(fā)生扭轉(zhuǎn)的構(gòu)件絕大多數(shù)是圓形截面的構(gòu)件，因此，本章主要研究圓形截面構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)問題。工程中一般將主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)的構(gòu)件稱為軸。6.1.2外力偶矩的計(jì)算

工程上作用于軸上的外力偶矩很少直接給出，往往給出軸的轉(zhuǎn)速n和軸所傳遞的功率P，通過功率的有關(guān)公式推導(dǎo)，可以得出下列計(jì)算外力矩(又稱轉(zhuǎn)矩)的公式：

(6-1)

式中:P為軸所傳遞的功率，單位為kW；

n為軸的轉(zhuǎn)速，單位為r/min；

M為作用于軸上的力偶矩，單位為N·m。6.1.3扭矩和扭矩圖

當(dāng)求出作用于軸上的外力偶矩以后，即可用截面法計(jì)算截面上的內(nèi)力。

設(shè)一軸在一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶作用下產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖6-4(a)所示。在軸的任意截面n—n處將軸假想截開(如圖6-4(b)和(c)所示)。由于整個軸是平衡的，因此每一段軸都處于平衡狀態(tài)，這就使得n—n截面上的分布內(nèi)力必然構(gòu)成一個力偶，并以橫截面為其作用面，這個力偶矩稱為扭矩，以Mn表示。

圖6-4截面法求扭矩根據(jù)左段或右段的平衡條件，均可得n—n截面上的扭矩為Mn＝M。但由左、右兩段所求得扭矩的轉(zhuǎn)向相反，這是因?yàn)樗鼈兪亲饔门c反作用的關(guān)系。

為使無論取左段還是右段所求得的扭矩不但在數(shù)值上相等而且符號也一樣，對扭矩符號作如下規(guī)定：用右手螺旋法則，即以右手四指沿著扭矩的轉(zhuǎn)向，若拇指的指向離開截面則扭矩為正，反之為負(fù)，如圖6-5所示。

圖6-5扭矩符號規(guī)定當(dāng)軸上作用有多個外力偶時，須按外力偶作用的截面將軸劃分為幾個自然段，逐段求出其扭矩。為了確定軸上最大扭矩的位置，找出危險截面，常用一種圖形表示各截面內(nèi)的扭矩隨截面位置不同而產(chǎn)生的變化規(guī)律，這種圖形稱為扭矩圖。作圖時，以平行于軸線的坐標(biāo)表示各橫截面的位置，垂直于軸線的坐標(biāo)表示扭矩的大小。如圖6-4(d)所示，即為AB軸的扭矩圖。

例6-1

傳動軸如圖6-6(a)所示。其轉(zhuǎn)速為n＝300r/min,主動輪A上輸入的功率為PA＝221kW，從動輪B和C上輸出的功率分別為PB＝148kW，PC＝73kW。試求軸上各截面的扭矩，并畫出軸的扭矩圖。

圖6-6傳動軸

解

(1)計(jì)算外力偶矩。由式(6-1)可知，作用在A、B、C上的外力偶矩分別為

(2)計(jì)算扭矩。在軸AC段的任意截面1—1處將軸截開，取左段為研究對象(如圖66(b)所示)，以Mn1表示截面的扭矩，并假設(shè)其轉(zhuǎn)向?yàn)檎颍鶕?jù)平衡條件得

同理，在AB段的任意截面2—2將軸截開，以Mn2表示截面的扭矩，假設(shè)其轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，取右段為研究對?如圖6-6(c)所示)，由平衡條件得(3)畫扭矩圖。根據(jù)所得的扭矩作扭矩圖(如圖6-6(d)所示)，可見

|Mn|max＝4711N·m

6.2.1橫截面上的應(yīng)力

圓軸扭轉(zhuǎn)時，在確定了橫截面上的扭矩后，還應(yīng)進(jìn)一步研究橫截面上內(nèi)力分布規(guī)律，以便求得橫截面上的應(yīng)力。

為了研究應(yīng)力，先來觀察扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)的現(xiàn)象。試驗(yàn)前在如圖6-7(a)所示圓軸的表面上，畫出許多等距的圓周線和縱向線，形成許多小方格。然后將軸一端固定，在另一端施加外力偶M，使其產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。變形后的圓軸如圖6-7(b)所示。此時可看出如下現(xiàn)象：6.2扭轉(zhuǎn)變形的應(yīng)力分析

(1)各圓周線的形狀、大小和相鄰兩圓周線之間的距離均未改變，只是相對地繞軸線轉(zhuǎn)過了一個角度。

(2)各縱向線傾斜了一個角度γ，使圓軸表面的每一小方格均變?yōu)榱庑?小方格的直角改變量γ即為剪應(yīng)變)。

根據(jù)上述試驗(yàn)現(xiàn)象，可以對圓軸的內(nèi)部變形作如下假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)變形前的橫截面變形后仍保持為平面，而且相互的軸向距離不變，只是繞軸線相對轉(zhuǎn)了一個角度。因此可做出以下推論：圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上只有垂直于半徑方向上的剪應(yīng)力，而沒有正應(yīng)力。

圖6-7圓軸扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)時的現(xiàn)象由此平面假設(shè)可知，圓軸扭轉(zhuǎn)時，其橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離ρ成正比。根據(jù)剪切虎克定律τ＝Gγ可知：橫截面上的剪應(yīng)力沿半徑按線性分布，即τρ＝kρ，其方向垂直于半徑指向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致。在距圓心等距的各點(diǎn)處剪應(yīng)力的大小相等，如圖6-8(a)所示。上述分析也完全適用于空心圓截面，如圖6-8(b)所示。

圖6-8橫截面的剪應(yīng)力

圖6-9剪應(yīng)力與扭矩的關(guān)系在如圖6-9所示的截面上，在距離圓心為ρ處取一微面積dA，則tρdA為作用在微面積上的微剪力，它對圓心的微力矩為rtrdA，整個截面上所有微力矩之和應(yīng)等于該截面上的扭矩Mn，因此

(6-2)

將τρ＝kρ代入上式，得

(6-3)式(6-3)中， 為只與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，稱為橫截面對圓心的極慣性矩，以IP表示，即

，其單位為mm4或cm4。

將k＝τρ/ρ代入式(6-3)，得

(6-4)

式(6-4)為圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任意一點(diǎn)的剪應(yīng)力計(jì)算公式，式中Mn為欲求應(yīng)力的點(diǎn)所在橫截面上的扭矩；ρ為欲求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離；IP為橫截面對圓心的極慣性矩。

由式(6-4)可知，當(dāng)ρ＝ρmax＝R時，τρ＝τmax，即在橫截面最外邊緣處，剪應(yīng)力的值最大，即

若令 ，則

(6-5)

式中:WP為圓截面的抗扭截面模量，單位為mm3。6.2.2極慣性矩和抗扭截面模量的計(jì)算

在如圖6-10所示的直徑為d的實(shí)心圓截面中，在距圓心為ρ處，取厚度為dr的微分圓環(huán)，其面積dA＝2pr·dr，從而可得圓截面的極慣性矩為

(6-6)

圖6-10圓截面極慣性矩的計(jì)算

其抗扭截面模量為

(6-7)

用類似的方法可以計(jì)算出內(nèi)徑為d，外徑為D的空心圓截面的極慣性矩IP和抗扭截面模量WP分別為

(6-8)

(6-9)

式中，α＝d/D為空心圓軸內(nèi)、外徑之比。

為了保證圓軸扭轉(zhuǎn)時具有足夠的強(qiáng)度而不被破壞，必須限制軸內(nèi)所受的最大剪應(yīng)力不得超過材料的許用剪應(yīng)力。對于等截面軸，其最大剪應(yīng)力發(fā)生在扭矩值最大的截面(稱為危險截面)的外緣處，故圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為

(6-10)6.3圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計(jì)算式中，扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力［τ］，是根據(jù)扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)，并考慮安全系數(shù)確定的。在靜載荷條件下，它與許用拉應(yīng)力［σ］有如下關(guān)系：

塑性材料 ［τ］＝(0.5~0.6)［σ］

脆性材料 ［τ］＝(0.8~1.0)［σ］

與拉壓問題相似，式(6-10)可以解決強(qiáng)度校核、截面尺寸設(shè)計(jì)和確定最大許可載荷等三類扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度問題。

例6-2

實(shí)心軸和空心軸通過牙嵌式離合器聯(lián)接，如圖6-11所示。已知軸的轉(zhuǎn)速n＝1000r/min，傳遞的功率P＝8kW，材料的許用剪應(yīng)力［τ］＝40MPa。試設(shè)計(jì)實(shí)心軸的直徑d和空心軸的內(nèi)、外徑(設(shè)α＝0.7)。

解

(1)計(jì)算該軸承受的外力偶矩。

圖6-11實(shí)心軸和空心軸通過牙嵌式離合器聯(lián)接

(2)計(jì)算橫截面上的扭矩。Mn＝M＝76.4N·m

(3)設(shè)計(jì)實(shí)心軸的直徑。

(4)設(shè)計(jì)空心軸的的外徑。

則其內(nèi)徑為d1＝0.7D＝16.4mm。

例6-3

一階梯圓軸如圖6-12(a)所示，已知圓軸扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力［τ］＝60MPa，求許用外力偶矩M。

解

(1)作階梯軸的扭矩圖。如圖6-12(b)所示，AB段軸的扭矩比BC段軸的扭矩大，但其直徑也比BC段軸的直徑大，因而兩段軸的強(qiáng)度都要考慮。

(2)確定許用外力偶矩M。考慮AB段的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度，根據(jù)式(6-10)

圖6-12階梯圓軸則有

考慮BC段的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度，根據(jù)式(6-10)

則有

所以軸的許用外力偶矩［M］＝62.7N·m。

6-1兩根軸的直徑d和長度l相同，而材料不同，在相同的扭矩作用下，它的最大剪應(yīng)力是否相同？為什么？

6-2軸的橫截面上扭矩為Mn，如圖6-13所示。試畫出圖示各橫截面上剪應(yīng)力的分布圖。思考與練習(xí)題

圖6-136-3當(dāng)傳遞的功率P不變時增加軸的轉(zhuǎn)速，軸的強(qiáng)度將()。

A.有所提高 B.有所削弱

C.沒有變化 D.無法判定

6-4實(shí)心軸的直徑與空心軸的外徑相同時，抗扭截面模量大的是()。

A.空心軸 B.實(shí)心軸

C.一樣大 D.無法判定

6-5如圖6-14所示。求各軸Ⅰ—Ⅰ、Ⅱ—Ⅱ、Ⅲ—Ⅲ截面上的扭矩，并畫出扭矩圖。

圖6-14

6-6如圖6-15所示，一端固定一端自由的軸，已知軸的直徑d＝80mm，每段長度l＝500mm，外力偶矩M1＝7kN·m，M2＝5kN·m，試畫軸的扭矩圖。

6-7如圖6-16所示，軸上