數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)6三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式（二）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、在求最值時(shí),要注意“一正”“二定”“三相等”【例1】一段長(zhǎng)為lm的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的菜園，問(wèn)這個(gè)矩形長(zhǎng)和寬各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大值是多少？錯(cuò)解：設(shè)矩形的寬為xm,長(zhǎng)為(l—2x）m，則S=x(l—2x）≤，當(dāng)且僅當(dāng)x=l-2x時(shí)等號(hào)成立,所以令x=l-2x,解之,得x=.∴S=。此時(shí)，l-2x=，∴當(dāng)長(zhǎng)和寬都為m時(shí)矩形的面積最大，最大面積是m2.正解一：設(shè)矩形的寬為xm，長(zhǎng)為（l-2x)m，則S=x（l-2x）=[)］2=［］2≤,當(dāng)且僅當(dāng)2x=l—2x，即x=時(shí)“=”成立,∴當(dāng)寬為m,長(zhǎng)為m時(shí)面積最大,最大面積為l2m2.正解二：（設(shè)法同解法一）S=x(l—2x)=·2x(l-2x),∵2x+l-2x=l，∴S=·2x·(l-2x)≤·l2=l2,當(dāng)且僅當(dāng)2x=l-2x時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)x=l.∴當(dāng)寬為,長(zhǎng)為時(shí)面積最大,最大面積為m2。類(lèi)題演練1（1）求函數(shù)y=cosx-的最值；(2)求函數(shù)f（x)=2x（x-1)(8-3x)的最大值，其中x∈（1,）。（1）錯(cuò)解：設(shè)cosx-=t,則y=t+?！鄖min=。正確解法:設(shè)cosx-=t，顯然t<0，則y=—(—t+)≤，∴ymax=.(2）錯(cuò)解:∵x∈（1，）,則2x>0，x-1>0，8—3x>0。從而f（x)=［]3≤［]3=,∴f（x）max=.正確解法:f（x)=8［)]3≤8[]3=8，∴當(dāng)x=2時(shí),f（x）max=8。變式提升1求y=（sin2x+)+(cos2x+)的最小值.錯(cuò)解：∵sin2x>0,且有sin2x+≥2，同理可得cos2x+≥2?！鄖=(sin2x+）+(cos2x+）≥4?！鄖min=4。正確解法:y=（sin2x+)+(cos2x+）=1+,∴當(dāng)x=（k∈Z)時(shí)有ymin=5.二、利用均值不等式求最值的典型技巧和方法【例2】設(shè)a、b、x、y∈R+，a、b為常數(shù)，且=1，求x+y的最小值。錯(cuò)解：∵x+y=（x+y)·，∴(x+y)min=。錯(cuò)因分析：x+y≥中等號(hào)成立的條件是x=y,≥中等號(hào)成立的條件是，而=1,∴x=2a,y=2b.此時(shí)a不一定等于b,故上述解法有誤.正解一:(消元法)∵=1,∴y=且x>a.∴x+y=x+=x+=x+b+=x—a++a+b≥+a+b=(+)2。正解二：(妙用“1")x+y=(x+y）()=a++b≥a+b+=(+）2.正解三:（三角代換)令=cos2θ,=sin2θ，則x+y=asec2θ+bcsc2θ=a（1+tan2θ）+b(1+cot2θ）=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+=（)2.上述三種解法均可得出當(dāng)且僅當(dāng)x=+a,y=+b時(shí)取等號(hào)，故(x+y)min=(）2.溫馨提示本例中，在求最值時(shí)用到了多種技巧:把兩個(gè)變量的表達(dá)式通過(guò)消元化為一元函數(shù)；利用“1”的代換;利用三角換元等。類(lèi)題演練2已知m2+n2=a,x2+y2=b,求mx+ny的最大值.錯(cuò)解:∵mx≤，①ny≤,②∴mx+ny≤.③∴mx+ny的最大值為.正解:∵mx=·，①ny=，②∴mx+ny≤③當(dāng)且僅當(dāng)①②中“="同時(shí)成立時(shí),③中“=”成立,即且時(shí)，mx+ny有最大值.變式提升2（經(jīng)典回放)用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制造一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，若所制容器底面一邊比另一邊長(zhǎng)0。5m,那么高為多少時(shí),容器容積最大？解析：設(shè)長(zhǎng)方體底面一邊長(zhǎng)為x，另一邊長(zhǎng)為x+0。5，高為y，則4x+4（x+0.5）+4y=14。8,∴y=3.2-2x,則V=x（x+0。5)(3。2-2x）。引進(jìn)正參數(shù)u1、u2,則V=(u1x)［u2（x+0。5)］+（3.2-2x)，必須滿足u1x+u2(x+0.5)+3.2-2x為常數(shù),即（u1+u2—2）x+0。5u2+3.2是常數(shù)，即u1+u2=2,①且u1x=u2(x+0.5)=3。2—2x。②由①②知u1=1。2,u2=0。8,∴V=×(1。2x)×0。8（x+0.5）×（3。2-2x)≤=1。8。等號(hào)成立時(shí),1.2x=0.8（x+0.5）=3。2-2x,即x=1,此時(shí)高為1.2m,容器容積最大.三、利用均值不等式處理其他問(wèn)題的技巧【例3】求證:sin2αcos2α+.思路分析：左式=sin22α+，若利用均值不等式得左式≥2,必須sin22α=16時(shí)“=”成立，這是不可能的.同時(shí)，由于2<，也達(dá)不到證明的目的.但如果把換成,“=”就能取到，這就找到了“湊式"的思路.證明：左式=sin22α+當(dāng)且僅當(dāng)sin22α=且sin22α=1，即sin2α=±1時(shí),取“=”?！嘣坏仁匠闪?溫馨提示“配項(xiàng)湊式"是利用均值不等式的典型技巧，在求y=x+(a〉0,x∈R+)的最小值時(shí),如果x=R+時(shí)無(wú)法直接用均值不等式求最值,這時(shí)可用本例中的方法或者討論y=x+的單調(diào)性.類(lèi)題演練3已知0〈x<1，求證:≥(a+b）2。證明：∵0<x〈1，∴1—x>0。∴=a2+b2+=a2+b2+2ab=（a+b)2.∴原不等式成立.變式提升3已知x、y、z為正實(shí)數(shù)，且x+y+z=3，=3。求x2+y2+z2的值.解析:由題設(shè)得(x+）+（y+）+(