數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)不等式的基本性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析一，不等式的性質(zhì)【例1】適當(dāng)增加不等式條件，使下列各命題成立.(1）若a>b,則ac≤bc.（2）若ac2>bc2，則a2>b2。（3）若a〉b，則lg(a+1)〉lg(b+1).（4）若a>b，c〉d,則.思路分析：對照不等式性質(zhì)找出缺少的條件。解：(1)原命題改為:若a>b且c≤0,則ac≤bc,即增加條件“c≤0”。(2)由“ac2>bc2"可得a>b，但只有b≥0時才有a2>b2,即增加條件“b≥0”（3）由a>b可得a+1〉b+1,但作為真數(shù)，應(yīng)有b+1〉0,故應(yīng)增加條件“b〉—1”。(4）成立的條件有多種(如a〉0>b,c>d〉0）與不等式的性質(zhì)4推論①相關(guān)的一個是a>b>0,c〉d〉0,因此,可增加條件“b>0,d〉0”。溫馨提示掌握不等式性質(zhì)定理的條件與應(yīng)用是本節(jié)的難點.學(xué)習(xí)時,要緊緊抓住不等式性質(zhì)的條件,認(rèn)真分析它們的相同點和不同點。二、比較兩個數(shù)的大小【例2】（1）若x〈y<0，試比較（x2+y2)(x—y)與(x2-y2）（x+y)的大小;（2）設(shè)a>b〉0，試比較aabb與abba的大小.思路分析:采用作差或作商法比較大小。解:（1)根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點,可考慮用作差比較法.（x2+y2)（x—y）-（x2-y2)（x+y）=（x-y）［（x2+y2）—（x+y）2]=-2xy（x-y）?！選〈y〈0,∴xy〉0,x—y<0。∴-2xy（x—y)>0?！?x2+y2）（x—y）>（x2—y2)(x+y).(2)根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則,可考慮用作商比較法.=aa—b·bb-a=（)a—b.當(dāng)a〉b>0時，〉1，a-b〉0,則()a—b〉1,于是aabb〉abba。溫馨提示實數(shù)大小的比較問題常常利用不等式的基本性質(zhì)或“〉1且b>0a〉b”來解決.比較法的關(guān)鍵是第二步的變形,一般來說，變形越徹底,越有利于下一步的判斷。三，不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3】設(shè)f(x）=ax2+bx,且1≤f(—1）≤2,2≤f（1）≤4，求f(—2)的取值范圍.思路分析：嚴(yán)格根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和運算法則,將f（—2）用含f（—1)和f（1）的式子表示。解：設(shè)f（—2)=mf(—1）+nf（1)（m,n為待定系數(shù))，則4a-2b=m(a—b）+n(a+b）,即4a—2b=（m+n）a-(m-n)于是，得解得∴f(-2)=3f(-1）+f∵1≤f（-1)≤2,∴2≤f(1）≤4.∴5≤3f(-1）+f(1)≤10，故5≤f以上解題過程簡化如下:由得∴f(—2）=4a-2b=3f（-1）+溫馨提示不等式的性質(zhì)及其證明方法是學(xué)習(xí)不等式證明的基礎(chǔ),是本節(jié)的重點.各個擊破類題演練1已知a>b，c<d,求證:a-c〉b—d.證明：∵c<d,∴-c>—d。又a>b，∴a-c>b—d.變式提升1使a+b〉2cA。a〉c或b〈cB。a〉c且b<cC。a>c且b〉cD.a>c或b<c解析:使a+b〉2c成立的充分條件就是使a+b〉2c成立的一個條件即a>c且b>答案:C類題演練2設(shè)a〉0,b>0，求證：。證法一:（差比法）()+（）-(a+b)=+-—=≥0，故.證法二：(商比法)=∵a+>0，∴。變式提升2已知a，b，c>0且b<c,比較ab與ac+bc的大小.解析：ab—(ac+bc）=a（b-c）—bc,∵b〈c,∴b-c<0。又a〉0，∴a(b—c）〈0.又0〈b<c,∴—bc〈0.∴a(b—c）—bc<0，即ab-（ac+bc）〈0.∴ab<ac+bc。類題演練3已知，求,的取值范圍.解析：∵-，∴—≤〈，-〈≤.∴—<<。又—≤-<,∴-≤〈.又∵α—β〈0,∴-≤<0。變式提升3如果30〈x<42,16<y<24,求x—2y及的取值