2025年新高考數(shù)學(xué)突破新定義壓軸題綜合講義專題08 高等背景下概率論的新定義（七大題型）（教師版）

專題08高等背景下概率論的新定義【題型歸納目錄】題型一：切比雪夫不等式題型二：馬爾科夫鏈題型三：卡特蘭數(shù)題型四：概率密度函數(shù)題型五：二維離散型隨機(jī)變量題型六：多項(xiàng)式擬合函數(shù)題型七：最大似然估算【典型例題】題型一：切比雪夫不等式【典例1-1】(2024·浙江·二模)某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：測(cè)試指標(biāo)元件數(shù)(件)121836304(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；(2)關(guān)于隨機(jī)變量，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對(duì)任意正數(shù)，均有成立.(i)若，證明：；(ii)利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機(jī)變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請(qǐng)結(jié)合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合格率是否可信？(注：當(dāng)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率小于0.05時(shí)，可稱事件A為小概率事件)【解析】(1)記事件為抽到一件合格品，事件為抽到兩個(gè)合格品，(2)(i)由題：若，則又所以或由切比雪夫不等式可知，所以；(ii)設(shè)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為，假設(shè)廠家關(guān)于產(chǎn)品合格率為的說法成立，則，所以，由切比雪夫不等式知，，即在假設(shè)下100個(gè)元件中合格品為70個(gè)的概率不超過0.0225，此概率極小，由小概率原理可知，一般來說在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的，據(jù)此我們有理由推斷工廠的合格率不可信.【典例1-2】(2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè))概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個(gè)當(dāng)屬由兩位俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：設(shè)為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對(duì)任意，均有，馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當(dāng)為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：設(shè)的分布列為其中，則對(duì)任意，，其中符號(hào)表示對(duì)所有滿足的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的求和．切比雪夫不等式的形式如下：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對(duì)離散型隨機(jī)變量成立．(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對(duì)治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機(jī)選擇了100名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式通過計(jì)算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信．【解析】(1)法一：對(duì)非負(fù)離散型隨機(jī)變量及正數(shù)使用馬爾科夫不等式，有．法二：設(shè)的分布列為其中，記，則對(duì)任意，.(2)設(shè)在100名患者中治愈的人數(shù)為．假設(shè)藥企關(guān)于此新藥有效率的宣傳內(nèi)容是客觀真實(shí)的，那么在此假設(shè)下，．由切比雪夫不等式，有．即在假設(shè)下，100名患者中治愈人數(shù)不超過60人的概率不超過0.04，此概率很小，據(jù)此我們有理由推斷藥廠的宣傳內(nèi)容不可信．【變式1-1】(2024·高三·湖北·階段練習(xí))隨機(jī)變量的概念是俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫在十九世紀(jì)中葉建立和提倡使用的.切比雪夫在數(shù)論?概率論?函數(shù)逼近論?積分學(xué)等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè)為離散型隨機(jī)變量，則，其中為任意大于0的實(shí)數(shù).切比雪夫不等式可以使人們?cè)陔S機(jī)變量的分布未知的情況下，對(duì)事件的概率作出估計(jì).(1)證明離散型切比雪夫不等式；(2)應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問題：已知正整數(shù).在一次抽獎(jiǎng)游戲中，有個(gè)不透明的箱子依次編號(hào)為，編號(hào)為的箱子中裝有編號(hào)為的個(gè)大小?質(zhì)地均相同的小球.主持人邀請(qǐng)位嘉賓從每個(gè)箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，記從編號(hào)為的箱子中抽取的小球號(hào)碼為，并記.對(duì)任意的，是否總能保證(假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多)？并證明你的結(jié)論.附：可能用到的公式(數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì))：對(duì)于離散型隨機(jī)變量滿足，則有.【解析】(1)設(shè)的所有可能取值為取的概率為.則，

(2)(2)由參考公式，.，用到而，故.當(dāng)時(shí)，，因此，不能保證.題型二：馬爾科夫鏈【典例2-1】(2024·高三·全國·專題練習(xí))馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程．該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無關(guān)．甲、乙兩口袋中各裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)黑球的概率為．(1)求的值；(2)求的值(用表示)；(3)求證：的數(shù)學(xué)期望為定值．【解析】(1)設(shè)恰有2個(gè)黑球的概率為，則恰有0個(gè)黑球的概率為．由題意知，，所以．(2)因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以，．(3)因?yàn)棰伲冢寓佗?，得．又因?yàn)?，所以．所以．所以的概率分布列為?12p所以．所以的數(shù)學(xué)期望為定值1．【典例2-2】(2024·高三·貴州黔西·階段練習(xí))馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，因俄國數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無關(guān)，即.已知甲盒子中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙盒子中裝有2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，重復(fù)次這樣的操作.記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有1個(gè)黑球的概率為.(1)求，和，；(2)證明：為等比數(shù)列(且)；(3)求的期望(用表示，且).【解析】(1)若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，乙盒為2白，概率為，所以，①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時(shí)：若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，若甲盒取黑，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時(shí)：若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，綜上可知：，.(2)經(jīng)過次這樣的操作.記甲盒子恰有2個(gè)黑1白的概率為，恰有1黑2白的概率為，3白的概率為，①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時(shí)：若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，若甲盒取黑，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時(shí)：若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，③當(dāng)甲盒中3白，乙盒2黑，概率為，此時(shí)：若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，故.，因此，因此為等比數(shù)列，且公比為.(3)由(2)知為等比數(shù)列，且公比為，首項(xiàng)為，故，所以，.【變式2-1】(2024·浙江杭州·二模)馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．假如一名賭徒進(jìn)入賭場(chǎng)參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿椋屹€輸就要輸?shù)?元．賭徒會(huì)一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會(huì)結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數(shù)軸所示．當(dāng)賭徒手中有n元(，)時(shí)，最終輸光的概率為，請(qǐng)回答下列問題：(1)請(qǐng)直接寫出與的數(shù)值．(2)證明是一個(gè)等差數(shù)列，并寫出公差d．(3)當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算，時(shí)，的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)時(shí)，的統(tǒng)計(jì)含義．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，賭徒已經(jīng)輸光了，因此.當(dāng)時(shí)，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.(2)記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元上一場(chǎng)贏的事件,,即，所以，所以是一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)，則，累加得，故，得，(3)，由得,即,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此可知久賭無贏家，即便是一個(gè)這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會(huì)的概率輸光．題型三：卡特蘭數(shù)【典例3-1】(2024·湖北·二模)五一小長(zhǎng)假到來，多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點(diǎn)都推出了種種新奇活動(dòng)以吸引游客，小明去成都某熊貓基地游玩時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)趣味游戲，游戲規(guī)則為：在一個(gè)足夠長(zhǎng)的直線軌道的中心處有一個(gè)會(huì)走路的機(jī)器人，游客可以設(shè)定機(jī)器人總共行走的步數(shù)，機(jī)器人每一步會(huì)隨機(jī)選擇向前行走或向后行走，且每一步的距離均相等，若機(jī)器人走完這些步數(shù)后，恰好回到初始位置，則視為勝利.(1)若小明設(shè)定機(jī)器人一共行走4步，記機(jī)器人的最終位置與初始位置的距離為步，求的分布列和期望；(2)記為設(shè)定機(jī)器人一共行走步時(shí)游戲勝利的概率，求，并判斷當(dāng)為何值時(shí)，游戲勝利的概率最大；(3)該基地臨時(shí)修改了游戲規(guī)則，要求機(jī)器人走完設(shè)定的步數(shù)后，恰好第一次回到初始位置，才視為勝利.小明發(fā)現(xiàn)，利用現(xiàn)有的知識(shí)無法推斷設(shè)定多少步時(shí)獲得勝利的概率最大，于是求助正在讀大學(xué)的哥哥，哥哥告訴他，“卡特蘭數(shù)”可以幫助他解決上面的疑惑：將個(gè)0和個(gè)1排成一排，若對(duì)任意的，在前個(gè)數(shù)中，0的個(gè)數(shù)都不少于1的個(gè)數(shù)，則滿足條件的排列方式共有種，其中，的結(jié)果被稱為卡特蘭數(shù).若記為設(shè)定機(jī)器人行走步時(shí)恰好第一次回到初始位置的概率，證明：對(duì)(2)中的，有【解析】(1)依題可知，的可能取值為.，，，所以，的分布列如下：024所以，．(2)依題可知，時(shí)，，所以時(shí)勝利的概率最大.(3)記事件“機(jī)器人行走步時(shí)恰好第一次回到初始位置”，“機(jī)器人第一步向前行走”，則“機(jī)器人第一步向后行走”.下面我們對(duì)事件進(jìn)行分析.發(fā)生時(shí)，假設(shè)機(jī)器人第步是向前行走，則之前的步機(jī)器人向前走的步數(shù)比向后走少一步，而因?yàn)闄C(jī)器人第一步為向前行走，這說明存在使得機(jī)器人走了步時(shí)回到了初始位置，這與的發(fā)生矛盾，所以假設(shè)不成立.即機(jī)器人第步為向后行走，從而機(jī)器人第2步到第步向前和向后行走的步數(shù)均為，且從第2步開始，到第步的這步，任意時(shí)刻機(jī)器人向前走的步數(shù)均不少于向后走的步數(shù)(否則在這過程中機(jī)器人會(huì)回到初始位置).根據(jù)卡特蘭數(shù)，從第2步到第步共有種行走方式.通過上述分析知，，所以．由于，，故等式成立．【典例3-2】(2024·全國·模擬預(yù)測(cè))卡特蘭數(shù)是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)常在各種計(jì)數(shù)問題中出現(xiàn)的數(shù)列．以比利時(shí)的數(shù)學(xué)家歐仁·查理·卡特蘭(1814-1894)命名．歷史上，清代數(shù)學(xué)家明安圖(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特蘭數(shù)”，遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于卡塔蘭．有中國學(xué)者建議將此數(shù)命名為“明安圖數(shù)”或“明安圖-卡特蘭數(shù)”．卡特蘭數(shù)是符合以下公式的一個(gè)數(shù)列：且．如果能把公式化成上面這種形式的數(shù)，就是卡特蘭數(shù)．卡特蘭數(shù)是一個(gè)十分常見的數(shù)學(xué)規(guī)律，于是我們常常用各種例子來理解卡特蘭數(shù)．比如：在一個(gè)無窮網(wǎng)格上，你最開始在上，你每個(gè)單位時(shí)間可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一個(gè)時(shí)刻，你往右走的次數(shù)都不能少于往上走的次數(shù)，問走到，0≤n有多少種不同的合法路徑．記合法路徑的總數(shù)為(1)證明是卡特蘭數(shù)；(2)求的通項(xiàng)公式．【解析】(1)若先走到則合法路徑，若先走到且不走到，相當(dāng)于走到后向右走到再走到，合法路徑若先走到且不走到，相當(dāng)于走到后再從走到，合法路徑，于是，即為卡特蘭數(shù).(2)記直線，則所有不合法路線都會(huì)與直線有交點(diǎn)，記第一個(gè)交點(diǎn)為，將之后的路徑都沿著對(duì)稱，那么這條不合法路徑的終點(diǎn)成為了，于是總路線為，不合法路線為，合法路徑為，即.題型四：概率密度函數(shù)【典例4-1】(2024·高二·湖南·課后作業(yè))李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間(樣本數(shù)據(jù))，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到如下結(jié)果：坐公交車：平均用時(shí)30min，方差為36騎自行車：平均用時(shí)34min，方差為4(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，李明平時(shí)選擇哪種交通方式更穩(wěn)妥？試說明理由.(2)分別用X和Y表示坐公交車和騎自行車上學(xué)所用的時(shí)間，X和Y的概率密度曲線如圖(a)所示，如果某天有38min可用，你應(yīng)選擇哪種交通方式？如果僅有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通方式？試說明理由.(提示：(2)中X和Y的概率密度曲線分別反映的是X和Y的取值落在某個(gè)區(qū)間的隨機(jī)事件的概率，例如，圖(b)中陰影部分的面積表示的就是X取值不大于38min時(shí)的概率.)【解析】(1)李明平時(shí)選擇騎自行車更穩(wěn)妥，由已知得坐公交車平均用時(shí)30min，騎自行車平均用時(shí)34min，差距不大；但是坐公交車的方差為36，騎自行車的方差為4，由于方差越小，取值越集中，穩(wěn)定性越高，波動(dòng)性越小，則坐公交車所花費(fèi)的時(shí)間不穩(wěn)定，即李明平時(shí)選擇騎自行車更穩(wěn)妥.(2)由圖(a)中可知，X和Y的概率密度曲線可知，由此可知，如果某天有38min可用，那么李明坐公交車遲到的概率大于騎自行車遲到的概率，應(yīng)選騎自行車；由圖(a)中可知，X和Y的概率密度曲線可知，由此可知，如果某天有34min可用，那么李明坐公交車遲到的概率小于騎自行車遲到的概率，應(yīng)選坐公交車.【典例4-2】(2024·高二·安徽·期末)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，則，若對(duì)X的進(jìn)行三次獨(dú)立的觀測(cè)，事件至少發(fā)生一次的概率為；(1)對(duì)X做n次獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè)，若使得事件A至少發(fā)生一次的概率超過95%，求n的最小值．(，)(2)為滿足廣大人民群眾對(duì)接種疫苗的需求，某地區(qū)衛(wèi)生防疫部門為所轄的甲、乙、丙三區(qū)提供了批號(hào)分別為1、2、3、4、5的五批次新冠疫苗以供選擇，要求每個(gè)區(qū)只能從中選擇一個(gè)批號(hào)的疫苗接種．由于某些原因甲區(qū)不能選擇1、2、4號(hào)疫苗，且這三區(qū)所選批號(hào)互不影響．記“甲區(qū)選擇3號(hào)疫苗”為事件B，且；①求三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)互不相同的概率；②記甲、乙、丙三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)最大數(shù)為K，求K的分布列．【解析】(1)所以解得，所以用Y表示對(duì)X的n次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件A發(fā)生的次數(shù)，則，，則，即解得，對(duì)X至少做11次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)；(2)①記“三個(gè)區(qū)選擇疫苗批號(hào)互不相同”為事件C，②依題意的可能取值為，則，，所以分布列如下：K345P題型五：二維離散型隨機(jī)變量【典例5-1】(2024·高三·湖北·階段練習(xí))設(shè)的所有可能取值為，稱()為二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列，用表格表示為：YX…………1仿照條件概率的定義，有如下離散隨機(jī)變量的條件分布列：定義，對(duì)于固定的，若，則稱為給定條件下的條件分布列．離散隨機(jī)變量的條件分布的數(shù)學(xué)期望(若存在)定義如下：．(1)設(shè)二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為YX12310.10.30.20.620．050.20.150.40.150.50.351求給定條件下的條件分布列；(2)設(shè)為二維離散隨機(jī)變量，且存在，證明：；(3)某人被困在有三個(gè)門的迷宮里，第一個(gè)門通向離開迷宮的道，沿此道走30分鐘可走出迷宮；第二個(gè)門通一條迷道，沿此迷道走50分鐘又回到原處；第三個(gè)門通一條迷道，沿此迷道走70分鐘也回到原處．假定此人總是等可能地在三個(gè)門中選擇一個(gè)，試求他平均要用多少時(shí)間才能走出迷宮．【解析】(1)因?yàn)?，所以用第一行各元素分別除以0．6，可得給定條件下的條件分布列：123(2)二維離散隨機(jī)變量的概率為，有由，．于是，．由，有．(3)由(2)知，對(duì)于二維離散隨機(jī)變量，．設(shè)他需要小時(shí)離開迷宮，記表示第一次所選的門，事件表示選第個(gè)門，由題設(shè)有．因?yàn)檫x第一個(gè)門后30分鐘可離開迷宮，所以．又因?yàn)檫x第二個(gè)門后50分鐘回到原處，所以．又因?yàn)檫x第三個(gè)門后70分鐘也回到原處，所以．所以．解得，即他平均要150分鐘才能離開迷宮．【典例5-2】(2024·山東濰坊·一模)若，是樣本空間上的兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，則稱是上的二維離散型隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量．設(shè)的一切可能取值為，，記表示在中出現(xiàn)的概率，其中．(1)將三個(gè)相同的小球等可能地放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，記1號(hào)盒子中的小球個(gè)數(shù)為，2號(hào)盒子中的小球個(gè)數(shù)為，則是一個(gè)二維隨機(jī)變量．①寫出該二維離散型隨機(jī)變量的所有可能取值；②若是①中的值，求(結(jié)果用，表示)；(2)稱為二維離散型隨機(jī)變量關(guān)于的邊緣分布律或邊際分布律，求證：．【解析】(1)①該二維離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為：.②依題意，，，顯然，則，所以.(2)由定義及全概率公式知，.【變式5-1】(2024·江蘇常州·一模)設(shè)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為，其中，令，稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列，與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式；現(xiàn)有個(gè)球等可能的放入編號(hào)為的三個(gè)盒子中，記落入第1號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為，落入第2號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為．(1)當(dāng)時(shí)，求的聯(lián)合分布列，并寫成分布表的形式；(2)設(shè)且，求的值．(參考公式：若，則)【解析】(1)若，的取值為0，1，2，的取值為0，1，2，則，，，，，，，故的聯(lián)合分布列為(2)當(dāng)時(shí)，，故所以，由二項(xiàng)分布的期望公式可得．題型六：多項(xiàng)式擬合函數(shù)【典例6-1】(2024·甘肅·一模)下表是2017年至2021年連續(xù)5年全國研究生在學(xué)人數(shù)的統(tǒng)計(jì)表：年份序號(hào)12345人數(shù)(萬人)263273286314334(1)現(xiàn)用模型作為回歸方程對(duì)變量與的關(guān)系進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)該模型的擬合度很高.請(qǐng)計(jì)算該模型所表示的回歸方程(與精確到0.01)；(2)已知2021年全國碩士研究生在學(xué)人數(shù)約為267.2萬人，某地區(qū)在學(xué)碩士研究生人數(shù)占該地在學(xué)研究生的頻率值與全國的數(shù)據(jù)近似.當(dāng)年該地區(qū)要在本地區(qū)在學(xué)研究生中進(jìn)行一項(xiàng)網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位在學(xué)研究生均可進(jìn)行問卷填寫.某天某時(shí)段內(nèi)有4名在學(xué)研究生填寫了問卷，X表示填寫問卷的這4人中碩士研究生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：對(duì)于回歸方程【解析】(1)可令，則與成線性回歸關(guān)系，則的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖：49162536263273286314334根據(jù)公式可得，則，，則,,所以，，則.(2)可求得該地區(qū)碩士研究生在學(xué)生數(shù)占總在學(xué)研究生人數(shù)的頻率值為，可知，因此隨機(jī)變量的分布列如下：01234(人).【典例6-2】(2024·安徽·一模)碳中和，是指企業(yè)、團(tuán)體或個(gè)人測(cè)算在一定時(shí)間內(nèi)，直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放，實(shí)現(xiàn)二氧化碳的“零排放”.碳達(dá)峰，是指碳排放進(jìn)入平臺(tái)期后，進(jìn)入平穩(wěn)下降階段.簡(jiǎn)單地說就是讓二氧化碳排放量“收支相抵”.中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會(huì)上提出：“中國將提高國家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.”減少碳排放，實(shí)現(xiàn)碳中和，人人都可出一份力．某中學(xué)數(shù)學(xué)教師組織開展了題為“家庭燃?xì)庠钚o的最佳角度”的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).實(shí)驗(yàn)假設(shè)：①燒開一壺水有諸多因素，本建模的變量設(shè)定為燃?xì)庥昧颗c旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度，其他因素假設(shè)一樣；②由生活常識(shí)知，旋轉(zhuǎn)角度很小或很大，一壺水甚至不能燒開或造成燃?xì)饫速M(fèi)，因此旋轉(zhuǎn)角度設(shè)定在10°到90°間，建模實(shí)驗(yàn)中選取5個(gè)代表性數(shù)據(jù)：18°，36°，54°，72°，90°．某支數(shù)學(xué)建模隊(duì)收集了“燒開一壺水”的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如下表：項(xiàng)目旋轉(zhuǎn)角度開始燒水時(shí)燃?xì)獗碛?jì)數(shù)/dm3水燒開時(shí)燃?xì)獗碛?jì)數(shù)/dm318°9080921036°8958908054°8819895872°8670881990°84988670以x表示旋轉(zhuǎn)角度，y表示燃?xì)庥昧?(1)用列表法整理數(shù)據(jù)(x，y)；x(旋轉(zhuǎn)角度：度)1836547290y(燃?xì)庥昧浚篸m3)(2)假定x，y線性相關(guān)，試求回歸直線方程(注：計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)(3)有隊(duì)員用二次函數(shù)進(jìn)行模擬，得到的函數(shù)關(guān)系為．求在該模型中，燒開一壺水燃?xì)庥昧孔钌贂r(shí)的旋轉(zhuǎn)角度．請(qǐng)用相關(guān)指數(shù)R2分析二次函數(shù)模型與線性回歸模型哪種擬合效果更好？(注：計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后一位)參考數(shù)據(jù)：，，，，線性回歸模型，二次函數(shù)模型．參考公式：，，．【解析】(1)整理數(shù)據(jù)如圖：x(旋轉(zhuǎn)角度：度)1836547290y(燃?xì)庥昧浚篸m3)130122139149172(2)，，，，故回歸直線方程為；(3)，即旋轉(zhuǎn)角約為38.7時(shí)，燒開一壺水燃?xì)庥昧孔钌?回歸直線與二次函數(shù)擬合兩者關(guān)系時(shí)，相關(guān)指數(shù)分別為，，則，.因?yàn)?，所以二次函?shù)擬合效果更好.題型七：最大似然估算【典例7-1】(2024·河南·模擬預(yù)測(cè))為落實(shí)食品安全的“兩個(gè)責(zé)任”，某市的食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門在市人民代表大會(huì)召開之際特別邀請(qǐng)相關(guān)代表建言獻(xiàn)策．為保證政策制定的公平合理性，兩個(gè)部門將首先征求相關(guān)專家的意見和建議，已知專家?guī)熘泄灿?位成員，兩個(gè)部門分別獨(dú)立地發(fā)出邀請(qǐng)，邀請(qǐng)的名單從專家?guī)熘须S機(jī)產(chǎn)生，兩個(gè)部門均邀請(qǐng)2位專家，收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請(qǐng)后，專家如約參加會(huì)議．(1)用1，2，3，4代表專家?guī)熘械?位專家，甲、乙分別代表食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門，將兩個(gè)部門邀請(qǐng)的專家及參會(huì)的專家人數(shù)的所有情況繪制成一個(gè)表格，請(qǐng)完成如下表格．

(2)最大似然估計(jì)即最大概率估計(jì)，即當(dāng)時(shí)，概率取得最大值，則X的估計(jì)值為k(，，，…，)，其中為X所有可能取值的最大值．請(qǐng)用最大似然估計(jì)法估計(jì)參加會(huì)議的專家人數(shù)．【解析】(1)完成的表格如下：(2)記X為參加會(huì)議的專家人數(shù)，(，3，4)的概率記為．由(1)中的表格可知出現(xiàn)的次數(shù)為6，出現(xiàn)的次數(shù)為24，出現(xiàn)的次數(shù)為6，則，，，則，，根據(jù)最大似然估計(jì)法，可以估計(jì)出參加會(huì)議的專家人數(shù)為3．【典例7-2】(2024·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè))為落實(shí)食品安全的“兩個(gè)責(zé)任”，某市的食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門在市人民代表大會(huì)召開之際特別邀請(qǐng)相關(guān)代表建言獻(xiàn)策.為保證政策制定的公平合理性，兩個(gè)部門將首先征求相關(guān)專家的意見和建議，已知專家?guī)熘泄灿?位成員，兩個(gè)部門分別獨(dú)立地發(fā)出批建邀請(qǐng)的名單從專家?guī)熘须S機(jī)產(chǎn)生，兩個(gè)部門均邀請(qǐng)2位專家，收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請(qǐng)后，專家如約參加會(huì)議.(1)設(shè)參加會(huì)議的專家代表共X名，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(2)為增強(qiáng)政策的普適性及可行性，在征求專家建議后，這兩個(gè)部門從網(wǎng)絡(luò)評(píng)選出的100位熱心市民中抽取部分市民作為群眾代表開展座談會(huì)，以便為政策提供支持和補(bǔ)充意見.已知這兩個(gè)部門的邀請(qǐng)相互獨(dú)立，邀請(qǐng)的名單從這100名熱心市民中隨機(jī)產(chǎn)生，食品藥品監(jiān)督管理部門邀請(qǐng)了名代表，衛(wèi)生監(jiān)督管理部門邀請(qǐng)了名代表，假設(shè)收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請(qǐng)后，群眾代表如約參加座談會(huì)，且，請(qǐng)利用最大似然估計(jì)法估計(jì)參加會(huì)議的群眾代表的人數(shù).(備注:最大似然估計(jì)即最大概率估計(jì)，即當(dāng)P(X=k)取值最大時(shí)，X的估計(jì)值為k)【解析】(1)X的可能取值為2，3，4，則，，，則X的分布列為X234P0.10.60.3(2)設(shè)食品藥品監(jiān)督管理部門邀請(qǐng)的代表記為集合A，人數(shù)為，衛(wèi)生監(jiān)督管理部門邀請(qǐng)的代表為集合B，人數(shù)為，則收到兩個(gè)部門邀請(qǐng)的代表的集合為A∪B.人數(shù)為Card(A∪B).設(shè)參加會(huì)議的群眾代表的人數(shù)為Y，則.若，則，則，，，令，得，解得，以代替k，得，令，得，解得，所以，若為整數(shù)，則當(dāng)或時(shí)，取得最大值，所以估計(jì)參加會(huì)議的群眾代表的人數(shù)為或，若不是整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以估計(jì)參加會(huì)議的群眾代表的人數(shù)為，其中，表示不超過的最大整數(shù).【變式7-1】(2024·高三·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí))統(tǒng)計(jì)與概率主要研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象，通過對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、描述及對(duì)事件發(fā)生的可能性刻畫，來幫助人們作出合理的決策.(1)現(xiàn)有池塘甲，已知池塘甲里有50條魚，其中A種魚7條，若從池塘甲中捉了2條魚.用表示其中A種魚的條數(shù)，請(qǐng)寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望;(2)另有池塘乙，為估計(jì)池塘乙中的魚數(shù)，某同學(xué)先從中捉了50條魚，做好記號(hào)后放回池塘，再從中捉了20條魚，發(fā)現(xiàn)有記號(hào)的有5條.(ⅰ)請(qǐng)從分層抽樣的角度估計(jì)池塘乙中的魚數(shù).(ⅱ)統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一種重要而普遍的求估計(jì)量的方法─最大似然估計(jì)，其原理是使用概率模型尋找能夠以較高概率產(chǎn)生觀察數(shù)據(jù)的系統(tǒng)發(fā)生樹，即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事件.請(qǐng)從條件概率的角度，采用最大似然估計(jì)法估計(jì)池塘乙中的魚數(shù).【解析】(1),故分布列為：012.(2)(i)設(shè)池塘乙中魚數(shù)為,則,解得,故池塘乙中的魚數(shù)為200.(ii)設(shè)池塘乙中魚數(shù)為,令事件“再捉20條魚,5條有記號(hào)”,事件“池塘乙中魚數(shù)為”則,由最大似然估計(jì)法,即求最大時(shí)的值,其中,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以池塘乙中的魚數(shù)為199或200.【過關(guān)測(cè)試】1．(2024·河南·模擬預(yù)測(cè))甲?乙?丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙．初始時(shí)，球在甲手中．(1)設(shè)前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，求證：．【解析】(1)由題意知，．所以隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.(2)由于投擲次骰子后球不在乙手中的概率為，此時(shí)無論球在甲手中還是球在丙手中，均有的概率傳給乙，故有．變形為．又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．(3)由(2)可得，則，所以．又因?yàn)?，所以．綜上，．2．(2024·高三·云南保山·期末)現(xiàn)有甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃練習(xí)，甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為.(1)為了增加投籃練習(xí)的趣味性，甲、乙兩人約定進(jìn)行如下游戲：甲、乙兩人同時(shí)投一次籃為一局比賽，若甲投進(jìn)且乙未投進(jìn)，則認(rèn)定甲此局獲勝；若甲未投進(jìn)乙投進(jìn)，則認(rèn)定乙此局獲勝；其它情況認(rèn)定為平局，獲勝者此局得1分，其它情況均不得分，當(dāng)一人得分比另一人得分多3分時(shí)，游戲結(jié)束，且得分多者取得游戲的勝利.求甲恰在第五局結(jié)束時(shí)取得游戲勝利的概率.(2)投籃練習(xí)規(guī)定如下規(guī)則：甲、乙兩人輪流投籃，若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則對(duì)方投籃，第一次投籃由甲完成，設(shè)為第次投籃由甲完成的概率.(i)求，，的值；(ii)求與的關(guān)系式，并求出.【解析】(1)由題意可知，在一局比賽中，甲獲得1分的概率是，乙獲得1分的概率是，甲、乙均不得分的概率是，甲恰在第五局結(jié)束時(shí)取得游戲勝利的比分是3∶0或4∶1，當(dāng)比分是3∶0時(shí)，甲獲勝的概率為；當(dāng)比分是4∶1時(shí)，甲獲勝的概率為所以甲恰在第五局結(jié)束后取得游戲勝利的概率為.(2)(ⅰ)由題意知：，，.(ⅱ)由題意知：當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列；所以.3．(2024·高三·浙江·開學(xué)考試)一般地，元有序?qū)崝?shù)對(duì)稱為維向量.對(duì)于兩個(gè)維向量，定義：兩點(diǎn)間距離，利用維向量的運(yùn)算可以解決許多統(tǒng)計(jì)學(xué)問題.其中，依據(jù)“距離”分類是一種常用的分類方法：計(jì)算向量與每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離，與哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離最近就歸為哪類.某公司對(duì)應(yīng)聘員工的不同方面能力進(jìn)行測(cè)試，得到業(yè)務(wù)能力分值?管理能力分值?計(jì)算機(jī)能力分值?溝通能力分值(分值代表要求度，1分最低，5分最高)并形成測(cè)試報(bào)告.不同崗位的具體要求見下表：崗位業(yè)務(wù)能力分值管理能力分值計(jì)算機(jī)能力分值溝通能力分值合計(jì)分值會(huì)計(jì)(1)215412業(yè)務(wù)員(2)523515后勤(3)235313管理員(4)454417對(duì)應(yīng)聘者的能力報(bào)告進(jìn)行四維距離計(jì)算，可得到其最適合的崗位.設(shè)四種能力分值分別對(duì)應(yīng)四維向量的四個(gè)坐標(biāo).(1)將這四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到一組數(shù)據(jù)，直接寫出這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)；(2)小剛與小明到該公司應(yīng)聘，已知：只有四個(gè)崗位的擬合距離的平方均小于20的應(yīng)聘者才能被招錄.(i)小剛測(cè)試報(bào)告上的四種能力分值為，將這組數(shù)據(jù)看成四維向量中的一個(gè)點(diǎn)，將四種職業(yè)的分值要求看成樣本點(diǎn)，分析小剛最適合哪個(gè)崗位；(ii)小明已經(jīng)被該公司招錄，其測(cè)試報(bào)告經(jīng)公司計(jì)算得到四種職業(yè)的推薦率分別為，試求小明的各項(xiàng)能力分值.【解析】(1)將四個(gè)崗位合計(jì)分值從小到大排列得到數(shù)據(jù)，又，所以這