湖南省常德芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第六次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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湖南省常德芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第六次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知甲、乙兩人獨(dú)立出行,各租用共享單車(chē)一次(假定費(fèi)用只可能為、、元).甲、乙租車(chē)費(fèi)用為元的概率分別是、,甲、乙租車(chē)費(fèi)用為元的概率分別是、,則甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同的概率為()A. B. C. D.2.已知x,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.定義運(yùn)算,則函數(shù)的圖象是().A. B.C. D.4.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),則f(x)的最小值為()A. B. C. D.5.已知,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.6.存在點(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)M在第一象限,使得過(guò)點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是()A. B. C. D.7.設(shè),均為非零的平面向量,則“存在負(fù)數(shù),使得”是“”的A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件8.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.9.若的展開(kāi)式中的系數(shù)之和為,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.110.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若依次成等差數(shù)列,則()A.依次成等差數(shù)列 B.依次成等差數(shù)列C.依次成等差數(shù)列 D.依次成等差數(shù)列11.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的體積為()A. B. C. D.12.下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.正四面體的各個(gè)點(diǎn)在平面同側(cè),各點(diǎn)到平面的距離分別為1,2,3,4,則正四面體的棱長(zhǎng)為_(kāi)_________.14.已知,若的展開(kāi)式中的系數(shù)比x的系數(shù)大30,則______.15.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,若,則的最小值為_(kāi)_______.16.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在如圖所示的四棱錐中,四邊形是等腰梯形,,,平面,,.(1)求證:平面;(2)已知二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函數(shù).(1)若在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的最大值;(2)若,求證:.19.(12分)某工廠,兩條相互獨(dú)立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品,在產(chǎn)量一樣的情況下通過(guò)日常監(jiān)控得知,生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為和.(1)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進(jìn)行返工修復(fù)為合格品,以(1)中確定的作為的值.①已知,生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回?fù)p失元和元.若從兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽檢件產(chǎn)品,以挽回?fù)p失的平均數(shù)為判斷依據(jù),估計(jì)哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多?②若最終的合格品(包括返工修復(fù)后的合格品)按照一、二、三等級(jí)分類(lèi)后,每件分別獲利元、元、元,現(xiàn)從,生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機(jī)抽取件進(jìn)行檢測(cè),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下圖;用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為,求的分布列并估算該廠產(chǎn)量件時(shí)利潤(rùn)的期望值.20.(12分)設(shè)函數(shù)()的最小值為.(1)求的值;(2)若,,為正實(shí)數(shù),且,證明:.21.(12分)交通部門(mén)調(diào)查在高速公路上的平均車(chē)速情況,隨機(jī)抽查了60名家庭轎車(chē)駕駛員,統(tǒng)計(jì)其中有40名男性駕駛員,其中平均車(chē)速超過(guò)的有30人,不超過(guò)的有10人;在其余20名女性駕駛員中,平均車(chē)速超過(guò)的有5人,不超過(guò)的有15人.(1)完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為,家庭轎車(chē)平均車(chē)速超過(guò)與駕駛員的性別有關(guān);平均車(chē)速超過(guò)的人數(shù)平均車(chē)速不超過(guò)的人數(shù)合計(jì)男性駕駛員女性駕駛員合計(jì)(2)根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)總體,隨機(jī)調(diào)查3輛家庭轎車(chē),記這3輛車(chē)中,駕駛員為女性且平均車(chē)速不超過(guò)的人數(shù)為,假定抽取的結(jié)果相互獨(dú)立,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:其中臨界值表:0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)設(shè)函數(shù).(1)若,求函數(shù)的值域;(2)設(shè)為的三個(gè)內(nèi)角,若,求的值;

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同即同為1元,或同為2元,或同為3元,由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.【詳解】由題意甲、乙租車(chē)費(fèi)用為3元的概率分別是,∴甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同的概率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性事件的概率.掌握獨(dú)立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ).2、D【解析】

,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【詳解】因?yàn)閤,,當(dāng)時(shí),不妨取,,故時(shí),不成立,當(dāng)時(shí),不妨取,則不成立,綜上可知,“”是“”的既不充分也不必要條件,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件,必要條件的判定,屬于容易題.3、A【解析】

由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值,因此函數(shù),只有選項(xiàng)中的圖象符合要求,故選A.4、A【解析】

先通過(guò)降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再求最值.【詳解】已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因?yàn)?,所以f(x)的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.5、D【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小,利用作差法,結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系,進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,,所以最??;而由對(duì)數(shù)換底公式化簡(jiǎn)可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,綜上可知,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)變形,對(duì)數(shù)換底公式及基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,作差法比較大小,屬于中檔題.6、D【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?,均為非零的平面向量,存在?fù)數(shù),使得,所以向量,共線且方向相反,所以,即充分性成立;反之,當(dāng)向量,的夾角為鈍角時(shí),滿足,但此時(shí),不共線且反向,所以必要性不成立.所以“存在負(fù)數(shù),使得”是“”的充分不必要條件.故選B.【點(diǎn)睛】判斷p是q的什么條件,需要從兩方面分析:一是由條件p能否推得條件q;二是由條件q能否推得條件p,定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法,解題時(shí)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確.8、A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗(yàn)證,通過(guò)排除法求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B,為奇函數(shù)可判斷B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),,可判斷C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無(wú)增區(qū)間,故D錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問(wèn)題,通過(guò)函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.9、B【解析】

由,進(jìn)而分別求出展開(kāi)式中的系數(shù)及展開(kāi)式中的系數(shù),令二者之和等于,可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由,則展開(kāi)式中的系數(shù)為,展開(kāi)式中的系數(shù)為,二者的系數(shù)之和為,得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,從而可得結(jié)果.【詳解】依次成等差數(shù)列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差數(shù)列,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義、正弦定理、余弦定理,屬于難題.解三角形時(shí),有時(shí)可用正弦定理,有時(shí)也可用余弦定理,應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷.如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí),則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí),則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.11、B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形,且一側(cè)棱垂直于底面,由此求出四棱錐的體積.【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形,且一側(cè)棱垂直于底面,畫(huà)出四棱錐的直觀圖,如圖所示:則該四棱錐的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.12、C【解析】

分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性,然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,在上為減函數(shù).A選項(xiàng),的定義域?yàn)?,在上為增函?shù),不符合.B選項(xiàng),的定義域?yàn)?,不符?C選項(xiàng),的定義域?yàn)?,在上為減函數(shù),符合.D選項(xiàng),的定義域?yàn)?,不符?故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

不妨設(shè)點(diǎn)A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,平面向下平移兩個(gè)單位,與正四面體相交,過(guò)點(diǎn)D,與AB,AC分別相交于點(diǎn)E,F(xiàn),根據(jù)題意F為中點(diǎn),E為AB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),設(shè)棱長(zhǎng)為a,求得,再用余弦定理求得:,從而求得,再根據(jù)頂點(diǎn)A到面EDF的距離為,得到,然后利用等體積法求解,【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)A,D,C,B到面的距離分別為1,2,3,4,平面向下平移兩個(gè)單位,與正四面體相交,過(guò)點(diǎn)D,與AB,AC分別相交于點(diǎn)E,F(xiàn),如圖所示:由題意得:F為中點(diǎn),E為AB的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),設(shè)棱長(zhǎng)為a,,頂點(diǎn)D到面ABC的距離為所以,由余弦定理得:,所以,所以,又頂點(diǎn)A到面EDF的距離為,所以,因?yàn)?,所以,解得,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的切割問(wèn)題以及等體積法的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象,運(yùn)算求解的能力,屬于難題,14、2【解析】

利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),求得的值.【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)為:且的展開(kāi)式中的系數(shù)比的系數(shù)大,即:解得:(舍去)或本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15、40【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù),可得,因?yàn)椋鶕?jù)均值不等式,即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù),,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取得最小值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求數(shù)列值的最值問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式和靈活使用均值不等式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.16、.【解析】

配方求出頂點(diǎn),作出圖像,求出對(duì)應(yīng)的自變量,結(jié)合函數(shù)圖像,即可求解.【詳解】,頂點(diǎn)為因?yàn)楹瘮?shù)的值域是,令,可得或.又因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸為,且,所以的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)由已知可得,結(jié)合,由直線與平面垂直的判定可得平面;(2)由(1)知,,則,,兩兩互相垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),0,,由二面角的余弦值為求解,再由空間向量求解直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?,,,所?又,所以,因此,,又,且,,平面,所以平面.(2)取的中點(diǎn),連接,,由于,因此,又平面,平面,所以.由于,,平面,所以平面,故,所以為二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因此,又,因?yàn)?,所以,所以以為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè)平面的法向量為所以,即,令,則,,則平面的法向量,,設(shè)直線與平面所成角為,則【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力與思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角,屬于中檔題.18、(1)(2)詳見(jiàn)解析【解析】

(1),在上,因?yàn)槭菧p函數(shù),所以恒成立,即恒成立,只需.令,,則,因?yàn)?,所?所以在上是增函數(shù),所以,所以,解得.所以實(shí)數(shù)的最大值為.(2),.令,則,根據(jù)題意知,所以在上是增函數(shù).又因?yàn)?,?dāng)從正方向趨近于0時(shí),趨近于,趨近于1,所以,所以存在,使,即,,所以對(duì)任意,,即,所以在上是減函數(shù);對(duì)任意,,即,所以在上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為.由于,,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)時(shí),.19、(1)(2)①生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②見(jiàn)解析【解析】

(1)由題意得到關(guān)于的不等式,求解不等式得到的取值范圍即可確定其最小值;(2)①.由題意利用二項(xiàng)分布的期望公式和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)給出結(jié)論即可;②.由題意首先確定X可能的取值,然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列,最后由分布列可得利潤(rùn)的期望值.【詳解】(1)設(shè)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,至少有一件合格為事件,設(shè)從,生產(chǎn)線上抽到合格品分別為事件,,則,互為獨(dú)立事件由已知有,則解得,則的最小值(2)由(1)知,生產(chǎn)線的合格率分別為和,即不合格率分別為和.①設(shè)從,生產(chǎn)線上各抽檢件產(chǎn)品,抽到不合格產(chǎn)品件數(shù)分別為,,則有,,所以,生產(chǎn)線上挽回?fù)p失的平均數(shù)分別為:,所以生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②由已知得的可能取值為,,,用樣本估計(jì)總體,則有,,所以的分布列為所以(元)故估算估算該廠產(chǎn)量件時(shí)利潤(rùn)的期望值為(元)【點(diǎn)睛】本題主要考查概率公式的應(yīng)用,二項(xiàng)分布的性質(zhì)與方差的求解,離散型隨機(jī)變量及其分布列的求解等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20、(1)(2)證明見(jiàn)解析

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