安徽省亳州市亳州一中2024-2025學年高二上學期10月月考數(shù)學試題含答案及解析

亳州一中2024-2025學年第一學期高二年級第一次月考測試卷數(shù)學注意事項：1．滿分分值：150分；考試時間：150分鐘．2．考試范圍：選擇性必修一第一章，第二章，第三章3.1橢圓．3．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、班級等信息認真填寫在答題卡上．4．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．5．考試結(jié)束后，只需上交答題卡．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線經(jīng)過點，且法向量，則的方程為（）A. B.C. D.2.在下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則向量共面；④已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數(shù)使得其中正確命題的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.33.如圖，二面角等于，是棱上兩點，分別在半平面內(nèi)，，，且，則長等于（）A. B. C.4 D.24.a=?1是直線與直線(垂直的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.直線與圓交于E，F(xiàn)兩點，則△EOF（O是原點）的面積為A. B. C. D.6.設點?，若直線l過點且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.7.直線的傾斜角的取值范圍是（）A B.C D.8.正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（）A B.C.的長為 D.10.已知點在圓上，點、，則（）A.點到直線的距離小于B.點到直線的距離大于C.當最小時，D.當最大時，11.曲線被稱為“幸運四葉草曲線”（如圖所示）．給出下列四個結(jié)論，正確的有（）A.曲線C關于直線交于不同于原點的Ax1,yB.存在一個以原點為中心、邊長為1的正方形，使得曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）；C.存在一個以原點為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內(nèi)（含邊界）；D.曲線C上存在一個點M，使得點M到兩坐標軸的距離之積大于.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則直線的方程為_______．13.設，是兩個不共線的空間向量，若，，，且，，三點共線，則實數(shù)的值為______.14.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且，過作的垂線交軸于點，若，記橢圓的離心率為，則______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知空間三點，設．（1）若，，求；（2）求與的夾角的余弦值；（3）若與互相垂直，求k．16.已知直線與圓：交于兩點．（1）求線段的垂直平分線的方程；（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，求過點的圓的切線方程．17.已知的三個頂點分別為，，，直線經(jīng)過點.（1）求外接圓的方程；（2）若直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程；（3）若直線與圓相交于，兩點，求面積的最大值，并求出直線的斜率.18.如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點在棱上，當二面角為時，求．19.已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過右焦點的直線（與軸不重合）與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，求實數(shù)的取值范圍.

亳州一中2024-2025學年第一學期高二年級第一次月考測試卷數(shù)學注意事項：1．滿分分值：150分；考試時間：150分鐘．2．考試范圍：選擇性必修一第一章，第二章，第三章3.1橢圓．3．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、班級等信息認真填寫在答題卡上．4．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．5．考試結(jié)束后，只需上交答題卡．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線經(jīng)過點，且法向量，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的法向量求得直線的斜率，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意知直線的法向量是，可得其斜率為，所以直線的方程為，即.故選：C2.在下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則向量共面；④已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數(shù)使得其中正確命題的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線，共面的性質(zhì)逐一分析每個選項.【詳解】對于①，若向量共線，則向量所在的直線平行，也可能共線，故①錯誤；對于②，由于向量可以平移，兩個向量一定共面，故②錯誤；對于③，任意兩個向量自然是兩兩共面，三個向量則不一定共面，例如空間直角坐標系軸所在的向量兩兩共面，但是顯然軸不共面，故③錯誤；對于④，若共線時，顯然共面，于是只能表示和共面的向量，對于空間中的任意向量則不一定成立，故④錯誤.于是四個選項都是錯的.故選：A3.如圖，二面角等于，是棱上兩點，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（）A. B. C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選：C.4.a=?1是直線與直線(垂直的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】按照直線的斜率是否為零和是否存在對分類討論，利用兩條直線相互垂直的直線的充要條件計算分析即可得出．【詳解】當a=?1時，兩條直線分別化為：，，此時兩條直線相互垂直；當時，兩條直線分別化為：，，此時兩條直線不垂直；當、時，兩條直線的斜率分別：，，∵兩條直線相互垂直，∴，解得．綜上可得：a=?1是直線與直線(垂直的充分不必要條件．故選A．5.直線與圓交于E，F(xiàn)兩點，則△EOF（O是原點）面積為A B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：由題意分別求得三角形的底邊和高，然后計算面積即可.詳解：由題意可知原點、圓心到直線的距離分別為：，直線被圓截得的弦長為：，則的面積為.本題選擇D選項.點睛：圓的弦長的常用求法：(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則；(2)代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關系及弦長公式：.6.設點?，若直線l過點且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜率的公式，利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】如圖所示：依題意，，要想直線l過點且與線段AB相交，則或，故選：A7.直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設直線的傾斜角為.由已知，可推得.分兩種情況時以及時，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可得到結(jié)果.【詳解】設直線的傾斜角為.因為，，，所以，.又，則.當時，單調(diào)遞增，解，可得；當時，單調(diào)遞增，解，可得.綜上所述，.故選：B.8.正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別取BC，AD的中點E，F(xiàn)，由題意可得點的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，又，再求出的最值即可求解【詳解】分別取BC，AD的中點E，F(xiàn)，則，所以，故點的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（）A. B.C.的長為 D.【答案】BD【解析】【分析】AB選項，利用空間向量基本定理進行推導即可；C選項，在B選項的基礎上，平方后計算出，從而求出；D選項，利用向量夾角的余弦公式進行計算.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A選項，，A錯誤，對于B選項，，B正確：對于C選項，，則，則，C錯誤：對于，則，D正確.故選：BD.10.已知點在圓上，點、，則（）A.點到直線的距離小于B.點到直線的距離大于C.當最小時，D.當最大時，【答案】ACD【解析】【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.【點睛】結(jié)論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.11.曲線被稱為“幸運四葉草曲線”（如圖所示）．給出下列四個結(jié)論，正確的有（）A.曲線C關于直線交于不同于原點的Ax1,yB.存在一個以原點為中心、邊長為1的正方形，使得曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）；C.存在一個以原點為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內(nèi)（含邊界）；D.曲線C上存在一個點M，使得點M到兩坐標軸的距離之積大于.【答案】AC【解析】【分析】由對稱性判斷A，利用基本不等式求得曲線上的點到原點距離的最大值后可判斷BCD．【詳解】因為由可得，所以曲線關于原點對稱，又直線過原點，所以Ax1,y所以，所以A正確；由，所以，即：①，當取等號，此時，點在曲線上，而，所以不可能在一個以原點為中心、邊長為1的正方形內(nèi)，所以B錯誤，點可以在一個以原點為中心、半徑為1的圓上，故C正確，由①式知，所以D錯誤．故答案為：AC．【點睛】方法點睛：利用方程研究曲線的性質(zhì)，利用基本不等式求曲線上的點到原點距離的最大值．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則直線的方程為_______．【答案】【解析】【分析】由題知、，進而求解方程即可.【詳解】解：方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，所以過點作圓的兩條切線，切點分別為、，所以，所以直線的方程為，即；方法2：設，，則由，可得，同理可得，所以直線方程為.故答案為：13.設，是兩個不共線的空間向量，若，，，且，，三點共線，則實數(shù)的值為______.【答案】##【解析】【分析】由列方程，化簡求得的值.【詳解】∵，，，∴，又∵A，C，D三點共線，∴，∵，不共線，∴，∴，∴.故答案為：14.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且，過作的垂線交軸于點，若，記橢圓的離心率為，則______.【答案】【解析】【分析】由題意可得，從而可求得，根據(jù)勾股定理可求得，利用橢圓離心率的定義即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：因為，，所以，可得，即，可得；又在中，，由橢圓定義可得，即，所以，可得.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知空間三點，設．（1）若，，求；（2）求與的夾角的余弦值；（3）若與互相垂直，求k．【答案】（1）或（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線設出向量的坐標，由模長公式列出方程，求解即可；（2）利用向量的坐標公式和向量的夾角公式即可得出；（3）根據(jù)向量垂直時數(shù)量積為0，結(jié)合向量的平方即為模的平方，計算即可得到k．【小問1詳解】因為，所以，又因為，所以，又因為，所以，因此或；【小問2詳解】因為所以與的夾角的余弦值為；【小問3詳解】因為與互相垂直，所以或.16.已知直線與圓：交于兩點．（1）求線段的垂直平分線的方程；（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，求過點的圓的切線方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】【詳解】試題分析：（1）由題意，線段垂直平分線經(jīng)過圓的圓心，斜率為，可得線段的垂直平分線的方程；（2）利用，求出圓心到直線的距離，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，從而可求的值；（3）設切線方程，利用點到直線距離，建立斜率的方程．試題解析：（1）由題意，線段的垂直平分線經(jīng)過圓的圓心，斜率為，∴方程為，即；（2）圓可化為，∵，∴圓心到直線的距離為，∵圓心到直線的距離為，∴，∴（3）由題意，知點不在圓上．①當所求切線的斜率存在時，設切線方程為，即．由圓心到切線的距離等于半徑，得，解得，所以所求切線的方程為．②當所求切線的斜率不存在時，切線方程為．綜上，所求切線的方程為．考點：直線與圓的位置關系．【易錯點晴】解析幾何中求切線方程是一種重要題型，也是易錯題型，其根源是忽視了直線方程的局限性．直線方程的點斜式（斜截式）都漏掉了一種情況，即斜率不存在的情況，故在利用這種形式的直線方程時，一定要養(yǎng)成優(yōu)先考慮特殊情況的習慣；同樣，直線方程的截距式也存在著不足，不僅要求斜率存在且不能為零，還要求直線不能過原點．17.已知的三個頂點分別為，，，直線經(jīng)過點.（1）求外接圓的方程；（2）若直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程；（3）若直線與圓相交于，兩點，求面積的最大值，并求出直線的斜率.【答案】（1）（2）或（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法可得圓的方程；（2）根據(jù)直線方程，根據(jù)垂徑定理可得圓心到直線的距離，進而可得直線方程；（3）由，可得當時面積最大，即此時為等腰直角三角形，進而可得圓心到直線的距離，根據(jù)點到直線距離公式可得解.【小問1詳解】設圓的方程為，，則，解得，則圓的方程為，即；【小問2詳解】由（1）得圓心，半徑，又，可知圓心到直線的距離，當直線斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線的距離為，成立；當直線斜率存在時，設直線方程為，即，圓心到直線的距離，解得，則直線方程為，即；綜上，直線方程為x=1或.【小問3詳解】由D1,4在圓外，則在中，，，又，則當，即時，取得最大值為，此時等腰直角三角形，即圓心到直線的距離，即，解得18.如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點在棱上，當二面角為時，求．【答案】（1）證明見解析；（2）1【解析】【分析】（1