專題30圓錐曲線三角形面積與四邊形面積題型全歸類

專題30圓錐曲線三角形面積與四邊形面積題型全歸類【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、三角形的面積處理方法（1）底·高（通常選弦長做底，點(diǎn)到直線的距離為高）（2）水平寬·鉛錘高或（3）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)分別為，，，三角形的面積為．2、三角形面積比處理方法（1）對(duì)頂角模型（2）等角、共角模型3、四邊形面積處理方法（1）對(duì)角線垂直（2）一般四邊形（3）分割兩個(gè)三角形4、面積的最值問題或者取值范圍問題一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的一個(gè)函數(shù)，再求解函數(shù)的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性求最值或利用導(dǎo)數(shù)法求最值，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)等等），在算面積的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運(yùn)算，靈活使用割補(bǔ)法計(jì)算面積，盡可能降低計(jì)算量．【題型歸納目錄】題型一：三角形的面積問題之底·高題型二：三角形的面積問題之分割法題型三：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標(biāo)化題型四：三角形的面積比問題之共角、等角模型題型五：三角形的面積比問題之對(duì)頂角模型題型六：四邊形的面積問題之對(duì)角線垂直模型題型七：四邊形的面積問題之一般四邊形【典例例題】題型一：三角形的面積問題之底·高例1．（2022·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求面積最大時(shí)直線的方程．【解析】（1）由題意得：，且，解得：，所以，所以橢圓方程為；（2）聯(lián)立與橢圓方程可得：，由，解得：；設(shè)，則，，由弦長公式可得：，點(diǎn)到直線的距離為，則的面積為，其中，令，，則，由于，所以，,令得：，令得：，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，此時(shí)直線的方程為．例2．（2022·陜西·安康市教學(xué)研究室三模（理））已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若直線被圓截得的弦長為，設(shè)直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【解析】（1），，由橢圓過點(diǎn)得，解得，，∴橢圓的方程為.（2）直線被圓截得的弦長為，則圓心到直線l的距離d滿足，解得，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)：，，，圓心為原點(diǎn)則有，∴.將方程代入橢圓方程中整理得：，∴，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則：，過橢圓的左、右頂點(diǎn)，此時(shí)直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.∴面積的最大值為2.例3．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，且的面積是，求證：．【解析】（1）因橢圓過點(diǎn)，則，又橢圓C的離心率為，則有，解得，所以C的方程為．（2）依題意，，由消去x并整理得：，，設(shè)，則，于是得，點(diǎn)O到l的距離，因此，即，整理得，即，顯然滿足，所以.例4．（2022·陜西·西鄉(xiāng)縣教學(xué)研究室一模（文））已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為且經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）【解析】（1）由橢圓的定義，可知解得，又.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得，，得設(shè)，則，，點(diǎn)到直線的距離，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；面積的最大值為.例5．（2022·黑龍江·鶴崗一中高三開學(xué)考試）如圖，橢圓：的離心率是，短軸長為，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，過橢圓與拋物線的公共焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)記的面積為，的面積為，若，求直線在軸上截距的范圍．【解析】（1）根據(jù)題意得：，解得，，，所以，拋物線焦點(diǎn)，所以，橢圓，拋物線（2）設(shè)，聯(lián)立與橢圓，整理得：，

判別式：弦長公式：點(diǎn)到直線的距離為所以聯(lián)立與拋物線，整理得：，判別式：弦長公式：，點(diǎn)到直線的距離為所以，因?yàn)?，即，解得?所以，直線在軸上截距或，所以，直線在軸上截距取值范例6．（2022·湖南·新邵縣教研室高三期末（文））已知圓，圓，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切.為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若求圓心的軌跡的方程.(2)若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，以及取得最大值時(shí)直線的方程.【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，依題意有，，．所以軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，所以，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，不符合題意，舍去．所以軌跡的方程．（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，所以，，，得，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，此時(shí)直線方程為．題型二：三角形的面積問題之分割法例7．（2022·河北·三河市第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且C的左、右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與x軸交于點(diǎn)M，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P與x軸垂直的直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求面積的最大值．【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為，則，即，所以，即，又C的左，右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，所以，即，綜上解得，所以橢圓C的方程為．（2）易得，設(shè)，則，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，得，則．又，易知與同號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為．例8．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點(diǎn)在橢圓上，右頂點(diǎn)為，且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.【解析】（1）依題可得，，解得，所以橢圓的方程為.所以離心率.（2）易知直線與的斜率同號(hào)，所以直線不垂直于軸，故可設(shè)，由可得，，所以，，而，即，化簡可得，，化簡得，所以或，所以直線或，因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，所以直線經(jīng)過定點(diǎn).設(shè)定點(diǎn)，因?yàn)椋?，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即面積的最大值為.例9．（2022·全國·清華附中朝陽學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.【解析】（1）由已知可得：，解得：，，∴橢圓的方程為：.（2）∵，設(shè)的直線方程為：，，，聯(lián)立方程：，整理得：，∴，，∵，，，即，，，，整理得，解得或（舍去），∴，，∴，令，則，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)最大值為.例10．（2022·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其上一點(diǎn)，且．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)R，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解之得：所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）如圖所示，設(shè)直線，則消去x整理得，設(shè)的面積為S，又，則，令，則，又設(shè)，則，∴在上為增函數(shù)，，∴，所以，存在當(dāng)時(shí)，即直線l的方程為的面積有最大值，其最大值為3．題型三：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標(biāo)化例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)為雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點(diǎn)分別是和.（1）求四邊形的面積；（2）若對(duì)于更一般的雙曲線，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點(diǎn)分別是和.請(qǐng)問四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線，由雙曲線的定義可得，又因?yàn)?，，，因?yàn)?，所以，，軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，，，可得，即點(diǎn)，過點(diǎn)且與漸近線平行的直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離為，且，因此，四邊形的面積為；（2）四邊形的面積為定值，理由如下：設(shè)點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，且，因此，（定值）.例12．（2022·廣西桂林·高三開學(xué)考試（理））已知P為橢圓（）上一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，且橢圓離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，求面積的最大值【解析】（1）由P為橢圓（）上一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，可得，，所以，又，則，所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知過的直線l斜率存在且，可設(shè)其方程為，，，則，由得：，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，面積的最大值為.例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）分別是橢圓于的左、右焦點(diǎn).(1)若Р是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).求四邊形AEBF面積的最大值.【解析】(1)由題意可知，，，，設(shè)，，，由橢圓的性質(zhì)可知，，，故，即.(2)設(shè)，，聯(lián)立消去整理可得，，，，，直線的方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知，點(diǎn)，到直線的距離分別為，，，，四邊形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，上式取等號(hào)，所以的最大值為.例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：＋＝1，過A(2，0)，B(0，1)兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求四邊形ABNM的面積.【解析】(1)由題意知，a＝2，b＝1，所以橢圓C的方程為，因?yàn)閏＝＝，所以橢圓C的離心率.(2)設(shè)P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，則因?yàn)锳(2，0)，B(0，1)，所以直線PA的方程為，令x＝0，得，從而|BM|＝1－yM＝直線PB的方程為y＝x＋1，令y＝0，得xN＝－，從而|AN|＝2－xN＝2＋.所以四邊形ABNM的面積S＝|AN|·|BM|＝·＝＝＝2，所以四邊形ABNM的面積為2.例15．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）橢圓經(jīng)過點(diǎn)且離心率為；直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值.【解析】（1）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，,橢圓的離心率為，則，即,即，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為，則，則不妨取，故，解得，故方程為，直線過中點(diǎn)，即為軸，得，，故；直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立，可得，則①，②，

③，以為直徑的圓過原點(diǎn)即，化簡可得，將②③兩式代入，整理得，即④，將④式代入①式，得恒成立，則，設(shè)線段中點(diǎn)為，由，不妨設(shè)，得，又∵，∴，又由，則點(diǎn)坐標(biāo)為，化簡可得，代回橢圓方程可得即，則，綜上，四邊形面積的最大值為.例16．（2022·浙江·高三競賽）已知直線與橢圓：交于、兩點(diǎn)，直線不經(jīng)過原點(diǎn).（1）求面積的最大值；（2）設(shè)為線段的中點(diǎn)，延長交橢圓于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，求四邊形的面積.【解析】解法一

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性，設(shè)直線方程為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).設(shè)直線：，，，聯(lián)立方程，消去得：，判別式，則，于是.原點(diǎn)到的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).（2）不妨設(shè)，根據(jù)垂徑定理得：，則的方程為.將的方程代入橢圓方程，消去得.注意、在直線的兩側(cè)，所以，.又點(diǎn)在直線上，所以，化簡得：，則.解法二

（1）設(shè)，則，.設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則.（2）要四邊形為平行四邊形，則四邊形為菱形，由（1）知.解法三（1）設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).（2），則，即，移項(xiàng)整理得，則，故.例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，求面積的最大值．【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，即，所以，即，①又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則，②由①②解得，，所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，不符合題意，當(dāng)直線不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)，，，則，聯(lián)立得，則，．又，，易知與同號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為．例18．（2022·河南·上蔡縣衡水實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知橢圓C：（）的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求（O為原點(diǎn)）面積的最大值.【解析】（1）由①由橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，得②，聯(lián)立①②，解得，，∴橢圓C的方程是.（2）由題意可知直線一定存在斜率，設(shè)其方程為，聯(lián)立，消去y，得，則，得，設(shè)，，則，，∴，∵，設(shè)（），則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，符合題意，此時(shí)面積取得最大值.題型四：三角形的面積比問題之共角、等角模型例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線W：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)，右頂點(diǎn)是M，且，．（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線l交雙曲線W的右支于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)（B在A、Q之間），若點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓的外部，試求△AQH與△BQH面積之比λ的取值范圍．【解析】（Ⅰ）由已知，，，，∵，則，∴，∴，解得，，∴雙曲線的方程為．（Ⅱ）直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l:，設(shè)、，由，得，則，解得①，∵點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓的外部，則，，解得②，由①、②得實(shí)數(shù)k的范圍是.由已知，∵B在A、Q之間，則，且，∴，則，∴，則，∵，∴，解得，又，∴．故λ的取值范圍是．例20．（2022·江蘇·泰州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為H，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，．若M，N分別為直線AP，BQ與y軸的交點(diǎn)，記，的面積分別為，，求的值．【解析】（1）由，得（c為半焦距），∵點(diǎn)在橢圓E上，則．又，解得，，．∴橢圓E的方程為．（2）由（1）知．設(shè)直線，，．由消去x，得．顯然．則，．∴．由，，得直線AP的斜率，直線的斜率．又，，，∴．∴．∵．∴．例21．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C的第四象限的圖象上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，連接動(dòng)點(diǎn)M與橢圓C的左頂點(diǎn)A與y的負(fù)半軸交于點(diǎn)E，連接動(dòng)點(diǎn)M與橢圓的上頂點(diǎn)B，與x的正半軸交于點(diǎn)F，記四邊形的面積為，的面積為，，求的取值范圍．【解析】（1）依題意，得，故C的方程為．（2）依題意，，設(shè)，則，所以直線，令，則．直線，令．則，又易知，所以四邊形的面積．由題意可知的直線方程為，再設(shè)橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)M到直線的距離，，化簡得．∵，∴，的面積，∴．∵，∴，即．例22．（2022·上海金山·二模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，設(shè)是第一象限內(nèi)橢圓上一點(diǎn)，的延長線分別交橢圓于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).(1)求的周長；(2)當(dāng)垂直于軸時(shí)，求直線的方程；(3)記與的面積分別為，求的最大值.【解析】(1)由橢圓的定義知，，所以的周長為8.(2)因?yàn)椋?，直線的方程為.聯(lián)立解得或即從而，直線的方程為，即.(3)設(shè).設(shè)直線的方程為，其中.聯(lián)立消去得則.又，即，故.同理，.于是，，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故的最大值為.另令，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即.故的最大值為.例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的短軸長為2，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線（的斜率為正數(shù)）和，直線與以短軸為直徑的圓和橢圓分別相交于點(diǎn)，，直線與圓和橢圓分別相交于點(diǎn)，，且的面積是面積的倍，求直線和的方程．【解析】（1）根據(jù)題意可得解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）圓設(shè)，則設(shè)，，，則，同理可得：，，∵的面積是面積的倍，則代入整理得：聯(lián)立方程，得或，即，同理聯(lián)立方程，得或，即，同理代入可得：，解得或當(dāng)時(shí)，直線，；當(dāng)時(shí)，直線，例24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，拋物線在點(diǎn)處的切線l交橢圓于點(diǎn)M，N，交橢圓的短軸于點(diǎn)C，直線交x軸于點(diǎn)D．(1)若點(diǎn)C是的中點(diǎn)，求p的值；(2)設(shè)與的面積分別為，求的最大值．【解析】（1）設(shè)直線l的方程為，代入，得，由題意，即，∴l(xiāng)的方程為，又∵l過，∴；（2）l的方程化為，設(shè)，則l的方程為，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，則，由，得，解得．設(shè)M，N的縱坐標(biāo)分別為，令，顯然，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以的最大值為．例25．（2022·河北邯鄲·二模）已知點(diǎn)P（2，）為橢圓C：）上一點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)，且△PAB的面積為5．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)Q（1，0）的直線l與C相交于點(diǎn)G，H（點(diǎn)G在x軸上方），AG，BH與y軸分別交于點(diǎn)M，N，記，分別為△AOM，△AON（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積，證明為定值．【解析】(1)因?yàn)椤鱌AB的面積為5，點(diǎn)P（2，）為橢圓C：上一點(diǎn)，所以有；(2)由題意可知直線l的斜率不為零，故設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立為：，設(shè)，因?yàn)?，所以，，直線AG的方程為：，令，得，即，同理可得：，，因?yàn)椋杂?，于是有，因此為定?例26．（2022·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè)（理））已知橢圓，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上．經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓有相同的離心率．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N兩點(diǎn)，設(shè)與的面積分別為，求的取值范圍．【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為，焦距為，橢圓的離心率，則有，解得，所以橢圓的方程為；(2)，設(shè)，則，且，則kAP設(shè)的方程為，則的方程為，聯(lián)立，消得，則，聯(lián)立，消得k2+3x則，所以，同理可得，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，則，所以，即.例27．（2022·江西鷹潭·二模（理））設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓上，過點(diǎn)P作軸的垂線，垂足為Q且.(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程；(2)直線與圓相切，且直線與曲線E相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，點(diǎn)T為線段AB的中點(diǎn).線段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.【解析】(1)設(shè)，則，因，則，又P在圓上，即，所以動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程是.(2)當(dāng)直線的斜率時(shí)，直線與橢圓E相切，不符合題意，因此，設(shè)直線的方程為：，因直線與圓相切，則，即，由消去x并整理得：，，設(shè)，則，而T是線段AB中點(diǎn)，則，令，則，而，當(dāng)，即時(shí)，，于是.題型五：三角形的面積比問題之對(duì)頂角模型例28．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，焦距為2，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)滿足軸，．(1)求橢圓C的方程；(2)過的直線交橢圓C于A，B（異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，直線分別交直線于M，N，記，求的最小值．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，，因?yàn)檩S，焦距為2，所以，，又，所以，，所以橢圓C的方程為；（2）由已知可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組化簡可得，所以，化簡可得，所以，，，又的方程為，與直線聯(lián)立可得，所以，的方程為，與直線聯(lián)立可得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以因，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)且時(shí)，，，，所以，所以的最小值為.例29．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；(2)設(shè)直線與第（1）問的曲線C交于不同的兩點(diǎn)E、F，以線段為直徑作圓D，圓心為D，設(shè)是圓D上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)t變化時(shí)，求的最大值；(3)設(shè)直線和分別與直線交于點(diǎn)M、N，問：是否存在點(diǎn)P使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】(1)設(shè)，依題意有，，即，整理得：或；(2)當(dāng)時(shí)，，即圓D的半徑為，當(dāng)最大時(shí)，必有，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在時(shí)，取最大值=；(3)設(shè)，，當(dāng)時(shí)，有,由弦長公式得，，∴，，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或;綜上，軌跡C的方程為，取最大值=，存在，P或P.例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)P，且的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與y軸正半軸交于點(diǎn)S，與曲線C交于點(diǎn)E，軸，過點(diǎn)S的另一直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，若，求所在的直線方程．【解析】（1）由題意知，，又，∴，，∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）∵軸，∴，設(shè)，則，∴，即，∵，∴，∴，∴，即，設(shè)，，則，，∴.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)∴不符合條件.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得.得，∴，即，解得.故直線的方程為或.例31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，直線PQ過F交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且．(1)求橢圓的長軸和短軸的比值；(2)如圖，線段PQ的垂直平分線與PQ交于點(diǎn)M，與x軸，y軸分別交于D，E兩點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，則，，所以，，所以長軸和短軸的比值為；（2）由（1），設(shè)橢圓方程為，由題意直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為，．由得：，則，所以，所以，因?yàn)椋O(shè)，則，，即，又，所以，所以的取值范圍是．例32．（2022·遼寧鞍山·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并注明x的范圍；(2)設(shè)直線AP與BP分別與直線交于M，N，問是否存在點(diǎn)P使得與面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題意得，化簡得故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為；（2）若存在點(diǎn)P使得與的面積相等，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則因?yàn)椋?，所以即，解得，因?yàn)椋?，故存在點(diǎn)P使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.題型六：四邊形的面積問題之對(duì)角線垂直模型例33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且.求四邊形面積的最小值.【解析】當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)方程為：，聯(lián)立，設(shè),則，由弦長公式可得；因?yàn)?故，進(jìn)而可得所以四邊形的面積為,因?yàn)?，即，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)直線斜率不存在或者為0時(shí)，此時(shí)四邊形的面積為∴四邊形面積的最小值為.例34．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為是上一動(dòng)點(diǎn)，的最大面積為.(1)求的方程；(2)若直線與交于兩點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為.因?yàn)椋?，?dāng)為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，因?yàn)榈淖畲竺娣e為，所以，即，所以，所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立消去得，解得，所以，所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，所以.因?yàn)?，設(shè)四邊形的面積為，所以.設(shè)直線的方程為.聯(lián)立消去得，所以，即，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí).所以四邊形面積的最大值為.例35．（2022·山東青島·高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接交軌跡于點(diǎn).（i）若直線交軸于點(diǎn)，證明：為一個(gè)定點(diǎn)；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，求四邊形面積的最小值.【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心的坐標(biāo)為由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，動(dòng)圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為：，其中從而軌跡的方程為：（2）（i）設(shè)直線的方程為，則由可得：直線的方程為，令可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：為一個(gè)定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（ii）根據(jù)（i）可進(jìn)一步求得：.，則，四邊形面積（法一）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，即時(shí)，（法二）令，則當(dāng)，即時(shí)，題型七：四邊形的面積問題之一般四邊形例36．（2022·浙江嘉興·高三階段練習(xí)）已知橢圓，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)時(shí)，斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（，兩點(diǎn)在直線的異側(cè)），若四邊形的面積為，求直線的方程．【解析】（1）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，消去y得，又，是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，由弦長公式得，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，即，解得．所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得，所以，且，記點(diǎn)，到直線的距離分別為，，又，且，所以，所以，因?yàn)?，所以，整理得，所以滿足條件，綜上所述直線的方程為，即為．例37．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，，．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上有三點(diǎn)，，滿足，證明：四邊形的面積為定值．【解析】（1）依題意，又，所以，所以，所以橢圓方程為.（2）證明：設(shè)，，，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，且，所以，即，又，，所以，若直線的斜率不存在，與左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合，則，所以，所以，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理得，所以，，，所以所以，整理得，又，又原點(diǎn)到的距離，所以，將代入得，所以，綜上可得，四邊形的面積為定值.例38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的內(nèi)接正方形的面積為，且長軸長為4．(1)求C的方程．(2)直線l經(jīng)過點(diǎn)，且斜率大于零．過C的左焦點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為A，過C的右焦點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為B，試問在C內(nèi)是否存在梯形，使得梯形的面積有最