專(zhuān)題06復(fù)數(shù)綜合（原卷版）

專(zhuān)題06復(fù)數(shù)綜合知識(shí)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1、定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，實(shí)部是eq\a\vs4\al(a)，虛部是eq\a\vs4\al(b).復(fù)數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R)．2、虛數(shù)單位：把平方等于－1的數(shù)用符號(hào)i表示，規(guī)定i2＝－1，我們把i叫作虛數(shù)單位．3、復(fù)數(shù)集：①定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合．②表示：通常用大寫(xiě)字母C表示．【注意】復(fù)數(shù)概念說(shuō)明：（1）復(fù)數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個(gè)數(shù)都可以寫(xiě)成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.（2）復(fù)數(shù)的實(shí)部是a，虛部是實(shí)數(shù)b而非bi.（3）復(fù)數(shù)z＝a＋bi只有在a，b∈R時(shí)才是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，否則不是代數(shù)形式．4、復(fù)數(shù)的分類(lèi)：對(duì)于復(fù)數(shù)a＋bi，（1）當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；（3）當(dāng)b≠0時(shí)，叫做虛數(shù)；（4）當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，叫做純虛數(shù)．這樣，復(fù)數(shù)z＝a＋bi可以分類(lèi)如下：復(fù)數(shù)=【注意】復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系5、復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋bi|a，b∈R))中任取兩個(gè)數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.6、共軛復(fù)數(shù)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq\x\to(z)表示，即當(dāng)z＝a＋bi(a，b∈R)時(shí)，eq\x\to(z)＝a－bi.示例：z＝2＋3i的共軛復(fù)數(shù)是eq\x\to(z)＝2－3i.【注意】（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z＝a＋bi的虛部b＝0時(shí)，有z＝eq\x\to(z)，也就是，任一實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身；（2）在復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，并且它們的模相等．知識(shí)點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)平面：當(dāng)用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)時(shí)，稱(chēng)這個(gè)直角坐標(biāo)系為復(fù)平面，x軸為實(shí)軸，y軸為虛軸．2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）任一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)是一一對(duì)應(yīng)的．（2）一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的向量OZ=(a,b)【注意】實(shí)軸、虛軸上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0，0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實(shí)數(shù)．3、復(fù)數(shù)的模（1）定義：向量OZ的eq\a\vs4\al(模)r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對(duì)值（2）記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．知識(shí)點(diǎn)3復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算法則與運(yùn)算律（1）加法法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，規(guī)定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.即兩個(gè)復(fù)數(shù)相加，就是實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加，顯然兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是復(fù)數(shù)．注意：對(duì)于復(fù)數(shù)的加法可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，則z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.（2）復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算律：復(fù)數(shù)的加法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任意的z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2、復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算法則（1）相反數(shù)：已知復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，根據(jù)復(fù)數(shù)加法的定義，存在唯一的復(fù)數(shù)－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反數(shù)．（2）減法法則：規(guī)定兩個(gè)復(fù)數(shù)的減法法則，設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.即兩個(gè)復(fù)數(shù)相減，就是實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相減，顯然兩個(gè)復(fù)數(shù)的差仍是一個(gè)復(fù)數(shù)．3、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則和運(yùn)算律（1）乘法運(yùn)算法則：兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算來(lái)進(jìn)行，只是把i2換成－1，并把最后結(jié)果寫(xiě)成a＋bi(a、b∈R)的形式．設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，則z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.顯然兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍是復(fù)數(shù)．（2）復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律：對(duì)于任意z1、z2、z3∈C，有z1·z2＝z2·z1(交換律)；(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(結(jié)合律)；z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．4、復(fù)數(shù)的乘方與虛數(shù)單位的乘方（1）復(fù)數(shù)的乘方：復(fù)數(shù)的乘方也就是相同復(fù)數(shù)的乘積，根據(jù)乘法的運(yùn)算律，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立．即對(duì)復(fù)數(shù)z1、z2、z和自然數(shù)m、n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝zeq\o\al(n,1)·zeq\o\al(n,2)，z0＝1；z－m＝eq\f(1,zm)(z≠0)．【注意】實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的乘方公式、運(yùn)算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立．（2）虛數(shù)單位i的乘方計(jì)算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，in有如下性質(zhì)：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，從而對(duì)于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.這就是說(shuō)，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.由此可進(jìn)一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i.5、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算規(guī)定兩個(gè)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）a+b在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫(xiě)成eq\f(a＋bi,c＋di)的形式，再把分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)c－di，把分母變?yōu)閷?shí)數(shù)，化簡(jiǎn)后就可得到所求結(jié)果．【注意】（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商仍是一個(gè)復(fù)數(shù)．（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·eq\x\to(z)＝a2＋b2是復(fù)數(shù)除法運(yùn)算中實(shí)現(xiàn)分母“實(shí)數(shù)化”的一個(gè)手段．6、復(fù)數(shù)方程的解在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程ax（1）求根公式法：=1\*GB3①當(dāng)?≥0時(shí)，x=-b±b2-4ac2a=2\*GB3②（2）利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為x=m+ni(將此代入方程ax知識(shí)點(diǎn)4復(fù)數(shù)的三角形式1、輔角的定義：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi的對(duì)應(yīng)向量為OZ，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在的射線(xiàn)（射線(xiàn)OZ）為終邊的角θ，叫做復(fù)數(shù)z的輔角2、輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)輔角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差2π的整數(shù)倍.規(guī)定：其中在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輔角θ的值為輔角的主值，通常記作arg【注意】因?yàn)閺?fù)數(shù)0對(duì)應(yīng)零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輔角是任意的。3、復(fù)數(shù)的三角形式：任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是復(fù)數(shù)的模，θ是復(fù)數(shù)【注意】復(fù)數(shù)的三角形式必須滿(mǎn)足：模非負(fù)，角相同，余正弦，加號(hào)連。4、復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式互化將復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中當(dāng)a=0，b>0時(shí)，argz=每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輔角的主值分別相等?？键c(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念與分類(lèi)【例1】（2023春·陜西西安·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A．B．C．D．【變式11】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則B．實(shí)部為零的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)C．可能是實(shí)數(shù)D．復(fù)數(shù)的虛部是【變式12】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．0C．1D．0或1【變式13】（2023春·新疆喀什·高一?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），求適合下列條件的實(shí)數(shù)m的值；（1）z為實(shí)數(shù)；（2）z為虛數(shù)；（3）z為純虛數(shù).【變式14】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，討論實(shí)數(shù)m取何值時(shí)：（1）；（2）．【變式15】（2023春·陜西西安·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，.（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求的取值范圍.考點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義【例2】（2023春·新疆喀什·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，若向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則z表示的復(fù)數(shù)為（）A．B．C．D．【變式21】（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（）A．B．C．D．（）【變式22】（2023春·浙江·高一湖州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能在（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【變式23】（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)在復(fù)平面上分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)，則、兩點(diǎn)間的距離是______．考點(diǎn)3復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【例3】（2023春·天津?yàn)I海新·高一大港一中校考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．B．C．D．【變式31】（2023春·湖南·高一衡陽(yáng)市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（）A．B．C．D．【變式32】（2023春·福建·高一三明一中校考階段練習(xí)）設(shè)，則______.【變式33】（2021春·廣東東莞·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知z是復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位）．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）求的模．【變式34】（2023春·福建三明·高一?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù).（1）若，求的值；（2），，求.考點(diǎn)4復(fù)數(shù)的高次方運(yùn)算【例4】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【變式41】（2022春·福建三明·高一福建省寧化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）棣莫弗公式（其中為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667﹣1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【變式42】（2023春·天津·高一?？茧A段練習(xí)）若為虛數(shù)單位，且，則______.【變式43】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的值為_(kāi)_____．【變式44】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）．（3）i＋2i2＋3i3＋…＋2020i2020＋2021i2021.【變式45】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算．（1）；（2）．（3）；（4）；（5）.考點(diǎn)5與復(fù)數(shù)模有關(guān)的最值【例5】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）滿(mǎn)足，則的最小值為（）A．2B．1C．D．4【變式51】（2023·高一單元測(cè)試）若，則的最大值與最小值的和為_(kāi)__________.【變式52】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（是虛數(shù)單位），則的最大值為_(kāi)_________.【變式53】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（）A．B．C．D．【變式54】（2022春·云南玉溪·高一峨山彝族自治縣第一中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）下列關(guān)于復(fù)數(shù)說(shuō)法正確的是（）A．若，則的最小值為2B．若，則的最小值為2C．若，則的最小值為D．若，則的最小值為考點(diǎn)6復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程【例6】（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，，為虛數(shù)單位，若是關(guān)于的二次方程的一個(gè)虛根，則______．【變式61】（2022春·上?！じ咭坏谌又袑W(xué)?？计谀┰趶?fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式_____．【變式62】（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為、．（1）若為虛數(shù)，求的取值范圍；（2）若，求的值．【變式63】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）滿(mǎn)足．（1）求；（2）若關(guān)于的方程有實(shí)根，求的所有可能值．【變式64】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位．（1）若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求的值；（2）若為實(shí)數(shù)，求的值．考點(diǎn)7復(fù)數(shù)的三角形式【例7】（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：．【變式71】（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）.【變式72】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則復(fù)數(shù)的輻角主值為（）A．B．C．D．【變式73】（2022春·廣東廣州·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知復(fù)數(shù)，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的結(jié)論中正確的是（）A．B．C．復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根D．復(fù)數(shù)的輻角主值為1．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則（）A．3B．4C．D．102．（2022春·山東臨沂·高一?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．（2022春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）的值為（）A．1B．－1C．D．4．（2022春·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知虛數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，且，則（）A．1B．2C．4D．55．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．的虛部為B．的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限C．的實(shí)部為1D．的共軛復(fù)數(shù)的模為16．（2022春·湖北·高一統(tǒng)考期末）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別是，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限7．（2022春·湖北咸寧·高一統(tǒng)考期末）歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.若復(fù)數(shù)，則（）A．B．C．D．8．（2022春·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．9．（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．的共軛復(fù)數(shù)是B．的虛部是C．D．若復(fù)數(shù)