專題93橢圓（真題測試）-2023年高考數(shù)學一輪復習知識點講解真題測試（新教材新高考）

專題9.3橢圓（真題測試）一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習（文））已知橢圓的一個焦點為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程可知值，根據(jù)焦點坐標得到值，即可求出代入離心率公式求解.【詳解】由已知可得，，則，所以，則離心率．故選：C.2．（2017·浙江·高考真題）橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知，，，求出，即可求出橢圓的離心率．【詳解】因為橢圓中，，所以，得，故選：B．3．（全國·高考真題（文））已知橢圓C：的左右焦點為F1,F2離心率為，過F2的直線l交C與A,B兩點，若△AF1B的周長為，則C的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】若△AF1B的周長為4,由橢圓的定義可知,,,,，所以方程為，故選A.4．（2020·山東·高考真題）已知橢圓的長軸長為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長等于（

）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】根據(jù)橢圓中的關系即可求解.【詳解】橢圓的長軸長為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長，故選：B.5．（2019·北京·高考真題（理））已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則（）A．a(chǎn)2=2b2 B．3a2=4b2 C．a(chǎn)=2b D．3a=4b【答案】B【分析】由題意利用離心率的定義和的關系可得滿足題意的等式.【詳解】橢圓的離心率,化簡得,故選B.6.（2018·全國·高考真題（文））已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：設，則根據(jù)平面幾何知識可求，再結(jié)合橢圓定義可求離心率.詳解：在中，設，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選D.7．（2018·全國·高考真題（理））已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關系，即得離心率.詳解：因為為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，故選D.8．（2021·全國·高考真題（理））設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設，由，因為，，所以，因為，當，即時，，即，符合題意，由可得，即；當，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）設圓錐曲線C的兩個焦點分別為，若曲線C上存在點P滿足，則曲線C的離心率可以是（

）A． B． C． D．2【答案】AC【分析】結(jié)合橢圓和雙曲線的定義和離心率的求法，即可求得結(jié)果．【詳解】若曲線是橢圓則其離心率為；若曲線是雙曲線則其離心率為；故選：AC10.（2022·廣東·高三開學考試）已知橢圓：，、是橢圓的兩個焦點，、是橢圓上兩點，且、分別在軸兩側(cè)，則（

）A．若直線經(jīng)過原點，則四邊形為矩形B．四邊形的周長為20C．的面積的最大值為12D．若直線經(jīng)過，則到直線的最大距離為8【答案】BC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的對稱性，焦點三角形的性質(zhì)依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：選項A：若直線經(jīng)過原點，易知四邊形為平行四邊形，因為不一定與相等，所以不一定是矩形，故不正確；選項B：四邊形的周長為，故正確；選項C：的面積的最大值為，故正確；選項D：若直線MN經(jīng)過，則到直線的最大距離為，故不正確．故選：BC．11．（2022·江蘇南通·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點，點A，B是橢圓C上異于長軸端點的兩點，且滿足，則（

）A．△ABF2的周長為定值 B．AB的長度最小值為1C．若AB⊥AF2，則λ=3 D．λ的取值范圍是[1，5]【答案】AC【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合橢圓中焦點弦的幾何意義，可判斷A、B兩項，設直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理求解參數(shù)的值或取值范圍，即可判斷C、D項.【詳解】因為，則三點共線，周長是定值，A對．，B錯．∵，則，A在上、下頂點處，不妨設，則解得或，，，，C對．令消x可得，時，時，∴，D錯．故選：AC.12．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）設，F(xiàn)為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上的動點，且橢圓上至少有17個不同的點，，，，…組成公差為d的遞增等差數(shù)列，則（

）A．的最大值為B．的面積最大時，C．d的取值范圍為D．橢圓上存在點P，使【答案】ABC【分析】由題知，易判A正確；當P離橫軸的距離最大時，的面積最大，計算正切值即可；將的最大值、最小值代入公式即可判斷C選項；寫出余弦定理公式并配方，得，由均值不等式知,當且僅當時，此時最大，此時，易得D不正確.【詳解】由橢圓方程知，.選項A：因為P為橢圓上的動點，所以，所以的最大值為，故A正確；選項B：當點P為短軸頂點時，的高最大，所以的面積最大，此時，所以B正確；選項C：設，，，…組成公差為d的等差數(shù)列為，所以，，，故C正確；選項D：因為，又，所以，而，當且僅當時取等號.此時，故此時最大.此時故D不成立.故選：ABC．三、填空題13．（2021·山東高考真題）已知橢圓的中心在坐標原點，右焦點與圓的圓心重合，長軸長等于圓的直徑，那么短軸長等于______．【答案】【分析】由于是圓，可得，通過圓心和半徑計算，即得解【詳解】由于是圓，即：圓其中圓心為，半徑為4那么橢圓的長軸長為8，即，，，那么短軸長為故答案為：14．（2022·全國·南寧二中高三期末（文））橢圓C：（a>b>0)的焦距為2c，O為坐標原點，A為橢圓的右頂點，以OA為直徑的圓與圓交于P，Q兩點，若|PQ|=|OA|，則橢圓C的離心率為______.【答案】##【分析】根據(jù)條件求出方程為，進而求出y，則可表示出|PQ|，再結(jié)合|PQ|=|OA|，即可求出離心率.【詳解】以為直徑的圓方程為：，由，整理得，聯(lián)立，解得，根據(jù)|PQ|=|OA|可知，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為：15．（2019·全國·高考真題（理））設為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標為___________.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出，設出的坐標，結(jié)合三角形面積可求出的坐標.【詳解】由已知可得，又為上一點且在第一象限,為等腰三角形，．∴．設點的坐標為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標為．16．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進而利用直線的垂直關系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.四、解答題17.（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓，過橢圓的左焦點F且斜率為的直線l與橢圓交于A、B兩點（A點在B點的上方），若有，求橢圓的離心率．【答案】【分析】利用點差法，設、，代入橢圓方程中，變形后作差，由可得，，從而可得，求出點的坐標代入橢圓方程中化簡可求出離心率【詳解】因為，設、，①②得：，，，則，得，∵，∴，將A代入橢圓方程整理得：，所以或（舍）故．18.（陜西·高考真題（理））已知橢圓（）的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點，的直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點，求橢圓的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【詳解】試題分析：（1）依題意，由點到直線的距離公式可得，又有，聯(lián)立可求離心率；（2）由（1）設橢圓方程，再設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得，令，可得，即得橢圓方程.試題解析：（Ⅰ）過點的直線方程為，則原點到直線的距離，由，得，解得離心率.（Ⅱ）由（1）知，橢圓的方程為.依題意，圓心是線段的中點，且.易知，不與軸垂直.設其直線方程為，代入（1）得.設，則，.由，得，解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.19.（2019·天津·高考真題（理））設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.【分析】(Ⅰ)由題意得到關于a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程；(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定點P的坐標，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達式，最后利用直線垂直的充分必要條件得到關于斜率的方程，解方程可得直線的斜率.【詳解】(Ⅰ)設橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，b=2，c=1.所以，橢圓方程為.(Ⅱ)由題意，設.設直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，可得，代入得，進而直線的斜率，在中，令，得.由題意得，所以直線的斜率為.由，得，化簡得，從而.所以，直線的斜率為或.20.（2019·江蘇·高考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點B，連結(jié)BF2交橢圓C于點E，連結(jié)DF1．已知DF1=．（1）求橢圓C的標準方程；（2）求點E的坐標．【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)解法一：由題意首先確定直線的方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，確定點B的坐標，聯(lián)立直線BF2與橢圓的方程即可確定點E的坐標；解法二：由題意利用幾何關系確定點E的縱坐標，然后代入橢圓方程可得點E的坐標.【詳解】（1）設橢圓C的焦距為2c.因為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因為DF1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2c2，得b2=3.因此，橢圓C的標準方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程(x1)2+y2=16，解得y=±4.因為點A在x軸上方，所以A(1，4).又F1(1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.將代入，得.因此.解法二：由（1）知，橢圓C：.如圖，連結(jié)EF1.因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，從而∠BF1E=∠B.因為F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A.因為AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.因為F1(1，0)，由，得.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.因此.21．（2021·天津·高考真題）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，離心率為，且．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有唯一的公共點，與軸的正半軸交于點，過與垂直的直線交軸于點．若，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的值，結(jié)合的值可得出的值，進而可得出橢圓的方程；（2）設點，分析出直線的方程為，求出點的坐標，根據(jù)可得出，求出、的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）易知點、，故，因為橢圓的離心率為，故，，因此，橢圓的方程為；（2）設點為橢圓上一點，先證明直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，因此，橢圓在點處的切線方程為.在直線的方程中，令，可得，由題意可知，即點，直線的斜率為，所以，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點，因為，則，即，整理可得，所以，，因為，，故，，所以，直線的方程為，即.22.（2018·天津·高考真題（文））設橢圓的右頂點為A，上頂點為B．已知橢圓的離心率為，．（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于，兩點，與直線交于點M，且點P，M均在第四象限．若的面積是面積的2倍，求