1322空間兩條直線的位置關(guān)系（四大題型）

13.2.2空間兩條直線的位置關(guān)系【題型歸納目錄】題型一：基本事實4的應(yīng)用題型二：等角定理的應(yīng)用題型三：直線與直線的位置關(guān)系題型四：異面直線所成的角【知識點梳理】知識點一、平行線的傳遞性基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．符號表示：a∥b，b∥c?a∥c．知識點二、等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．知識點三、異面直線1、定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．2、畫法：3、兩異面直線所成角的常用方法平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．知識點四、空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況有無公共點相交在同一平面內(nèi)有且只有一個公共點平行在同一平面內(nèi)沒有公共點異面不同在任何一個平面內(nèi)沒有公共點【典型例題】題型一：基本事實4的應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】（證明兩直線平行的常用方法）（1）利用平面幾何的結(jié)論，如平行四邊形的對邊，三角形的中位線與底邊；（2）定義法：即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點；（3）利用基本事實4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．例1．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點．求證：四邊形是梯形．【解析】證明：如圖所示：連接AC，由正方體的性質(zhì)可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四邊形AA′C′C為平行四邊形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四邊形MNA′C′是梯形．例2．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖，在三棱錐中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱SA，SC，AB，BC的中點，試判斷直線MN與直線EF是否平行．【解析】在三棱錐中，M，N分別為棱SA，SC的中點，則有MN//AC，而E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，則有EF//AC，由平行公理得：MN//EF，所以直線MN與直線EF平行．例3．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中的平面A1C1內(nèi)有一點P，經(jīng)過點P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫?并說明理由.【解析】如圖，在平面A1B1C1D1內(nèi)過P作直線EF∥B1C1，交A1B1于E，交C1D1于F，∴直線EF即為所求.理由如下：由EF∥B1C1，BC∥B1C1，則EF∥BC.題型二：等角定理的應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】（應(yīng)用等角定理的注意事項）空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．注意觀察兩角的方向是否相同，若相同，則兩角相等；若不同，則兩角互補(bǔ)．例4．（2023·高一單元測試）空間兩個角和，若，，，則的大小是______．【答案】或【解析】空間兩個角和，因為，且，則或.故答案為：或.例5．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則_________.【答案】或【解析】利用等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)，故，,則有或,又,所以或，故答案為：或例6．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱，及的中點，，則______【答案】【解析】依題意且，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可得，所以或與互補(bǔ)，顯然與不互補(bǔ)，所以；故答案為：變式1．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）空間兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角_____．【答案】相等或互補(bǔ)【解析】根據(jù)等角定理有：當(dāng)角的兩組對應(yīng)邊同時同向或同時反向時，兩角相等；當(dāng)角的兩組對應(yīng)邊一組同向一組反向時，兩角互補(bǔ)．故答案為：相等或互補(bǔ)．變式2．（2023·高一課時練習(xí)）若角和角的兩邊分別對應(yīng)平行，則當(dāng)時，____________．【答案】或【解析】當(dāng)角和角方向相同時，；當(dāng)角和角方向相反時，，即，解得．故答案為：或題型三：直線與直線的位置關(guān)系【方法技巧與總結(jié)】（判定兩直線異面的常用方法）（1）定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；（2）排除法（反證法）：排除兩直線共面（平行或相交）的情況．例7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，bc，則直線a與c（）A．一定平行 B．一定垂直C．一定是異面直線 D．一定相交【答案】B【解析】∵a⊥b，bc，∴a⊥c.故選：B.例8．（2023·高一單元測試）若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．異面C．相交 D．平行、相交或異面【答案】D【解析】如圖，在長方體中，所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體中的，，.故a和c可以平行、相交或異面．故選：D例9．（2023·高一課時練習(xí)）下列命題中，正確的命題序號是（

）①平行于同一直線的兩直線平行；②垂直于同一直線的兩直線平行；③過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；④與已知直線平行且距離長為定值的直線有兩條．A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【解析】對于①，由平行線的傳遞性可知①對；對于②，垂直于同一直線的兩直線平行、相交或異面，②錯；對于③，若在直線外，若過點存在兩條不同的直線、，使得，，則，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，③對；對于④，設(shè)直線為圓柱的軸所在的直線，如下圖所示：所有與直線平行且到直線的距離為的直線可視為底面半徑為的圓柱的母線所在的直線，故與已知直線平行且距離長為定值的直線有無數(shù)條，④錯.故選：B.變式3．（2023·高一課時練習(xí)）把互相平行的兩條直線稱為“一對”，則正方體的十二條棱中，互相平行直線有（

）A．對 B．對 C．對 D．對【答案】C【解析】在正方體中，，則與、與、與、與、與、與平行，共對，同理，在、、、中，平行的棱有對，在、、、中，平行的棱有對，因此，在正方體的十二條棱中，互相平行直線有對，故選：C.變式4．（2023·高一單元測試）正方體中，與對角線成異面直線的棱有（

）A．3條 B．4條 C．6條 D．8條【答案】C【解析】由圖可知與直線為異面直線的棱分別是、、、、、共條.故選：C變式5．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，長方體中，，P是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線BP異面的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在長方體中，，當(dāng)是與的交點時，平面，與相交，A不是；當(dāng)點與重合時，平面，與相交，B不是；當(dāng)點與重合時，因為長方體的對角面是矩形，此時，C不是；因為平面，平面，而平面，因此與是異面直線，D是.故選：D題型四：異面直線所成的角【方法技巧與總結(jié)】（兩異面直線所成角的常用方法）平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．例10．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=A1A=2,M?N分別是BB1和B1C1的中點,則直線AM與CN所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解:由題知找中點及靠近點的四等分點為,連接,如圖所示:是中點,且,四邊形為平行四邊形,,是中點,,AM與CN所成角即為夾角,因為正三棱柱ABCA1B1C1,AB=A1A=2,,在中由余弦定理可得:,故直線AM與CN所成角的余弦值等于.故選:D例11．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）在長方體中，，，，為的中點，則異面直線與所成角的大小是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點，連接、、、，如下圖所示：因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，因為且，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，所以，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，由勾股定理可得，，，，則，所以，，因為，故.因此，異面直線與所成角的大小是.故選：B.例12．（2023·高一單元測試）在如圖所示的正方體中，異面直線與所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】連接，，如圖，因為正方體中，所以就是與所成的角，在中，.∴.故選：C變式6．（2023·高一課時練習(xí)）空間四邊形的兩對邊，、分別是、上的點，且，，則與所成角大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】作交于，如圖，連接，則，又，所以，所以，所以是與所成的角或其補(bǔ)角，，，所以，，，所以，中，，是三角形內(nèi)角，所以，所以與所成的角是，故選：C．變式7．（2023·高一課時練習(xí)）在棱長為1的正方體中，為的中點，那么直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接交于，取中點為，連接，由正方體可知，，又交于，為中點，所以，即，所以四邊形為平行四邊形，所以則直線與所成角為或其補(bǔ)角，在中，，所以,則直線與所成角的余弦值是.故選：B.變式8．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體中，點E為棱的中點，則異面直線AC與DE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中點F，連接，，，則因為點E，F(xiàn)分別為，的中點，所以，所以，所以或其補(bǔ)角為AC與DE所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，則，所以，故選：C【同步練習(xí)】一、單選題1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考期中）如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，與直線平行的直線是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方體的平面展開圖所對應(yīng)的幾何體，如圖所示，其中點E，F(xiàn)重合，觀察圖形知，直線平面，點平面，，點平面，則與是異面直線，同理與是異面直線，A，D不是；而，平面，平面，則與是異面直線，B不是；，即四邊形是平行四邊形，，C是.故選：C2．（2023·高一單元測試）如圖所示，直三棱柱中，分別是的中點，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點的中點，則，∴為與所成角，由題可知直三棱柱為正棱柱,設(shè)，則，在中，可得,∴與所成角的余弦值為．故選：A．3．（2023·高一課時練習(xí)）正方體的對角線與各個面上與其不共端點的對角線的位置關(guān)系是（

）A．異面垂直 B．異面不垂直 C．可能相交可能異面 D．可能相交、平行或異面【答案】A【解析】如圖，正方體的對角線，與其不共端點的面對角線，連接，則，又因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，且兩直線異面，同理可證明正方體的對角線與各個面上與其不共端點的對角線垂直且異面，綜上：正方體的對角線與各個面上與其不共端點的對角線的位置關(guān)系為異面垂直.故選：A4．（2023·高一課時練習(xí)）已知a與b相交，且b與c是異面直線，那么a與c的位置關(guān)系是（

）A．異面 B．相交 C．平行 D．都有可能【答案】D【解析】如圖所示：令，當(dāng)時，a與c的位置關(guān)系是異面；當(dāng)時，a與c的位置關(guān)系是相交；當(dāng)時，a與c的位置關(guān)系是平行，故選：D5．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，在三棱柱中，是正三角形，E是的中點，則下列敘述中正確的是（

）A．與是異面直線 B．與共面C．與是異面直線 D．與所成的角為【答案】C【解析】對于A，由于與都在平面內(nèi)，故與是共面的，故錯誤對于B，由于在平面內(nèi)，而與平面相交于點，點不在上，故與是異面直線，同理，與是異面直線，所以B錯誤，C正確.對于D，與所成角就是與所成角，且E是的中點，也為正三角形，所以，即與所成的角為，故錯誤.故選:C.6．（2023·高一課時練習(xí)）若，且與的方向相同，則與（

）A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反C．一定不平行 D．不一定平行【答案】D【解析】如圖，若，且與的方向相同，與不一定平行．故選：D．7．（2023春·山東聊城·高一山東聊城一中校考階段練習(xí)）在長方體中，，，，為的中點，則異面直線與所成角的大小是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點，連接、、、，如下圖所示：因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，因為且，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，所以，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，由勾股定理可得，，，，則，所以，，因為，故.因此，異面直線與所成角的大小是.故選：B.8．（2023·高一課時練習(xí)）在正方體上有一只螞蟻，從點出發(fā)沿正方體的棱前進(jìn)，若該螞蟻走的第條棱與第條棱是異面的，則這只螞蟻走過第2022條棱之后的位置是在（

）A．點處 B．點處 C．點處 D．點處【答案】B【解析】不妨設(shè)螞蟻從點先沿走，如圖，結(jié)合正方體的性質(zhì)知與直線異面的直線有，，，，共4條，由題意可知螞蟻走過3條棱的路線是或，即螞蟻走過第3條棱后的位置在點處，同理，螞蟻從點先沿或走，走過第3條棱后的位置一定是在點處，以此類推，螞蟻走過第6條棱后的位置一定在點處，如此走下去，每走過6條棱后都會回到起點，因為，所以這只螞蟻走過第2022條棱之后的位置是在點處.故選：B.二、多選題9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知三棱柱的棱長均相等，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對A：∵，則AB與CF的夾角為，不一定是直角，A錯誤；對B：由題意：為菱形，則，B正確；對C：由題意：，則，C正確；對D：由題意：為菱形，則，即大小無法確定，D錯誤.故選：BC.10．（2023·高一課時練習(xí)）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中正確的是（

）A．直線與直線共面 B．直線與直線異面C．直線與直線共面 D．直線與直線異面【答案】ACD【解析】如圖，點與點重合，則與相交，故A正確；在正方體中，且，故四邊形為平行四邊形，，則、共面，故B錯誤；因為，故、共面，故C正確；由圖可知，、不在同一個平面，且、既不平行也不相交，、為異面直線，故D正確.故選：ACD.11．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線AM與BN是平行直線B．直線BN與MB1是異面直線C．直線MN與AC所成的角為60°D．平面BMN截正方體所得的截面面積為【答案】BCD【解析】對于A，假設(shè)直線與是平行直線，則四邊形為平面圖形，平面平面，且平面平面，平面平面，，則，與矛盾，故A錯誤；對于B，平面，平面，平面，由異面直線的定義可得，直線與是異面直線，故B正確；對于C，連接，，可得，為直線與所成的角，而，可得直線與所成的角為，故C正確；對于D，連接，可知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，棱長為2，，，，等腰梯形的高為，，故D正確．故選：BCD．12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正方體，P是棱的中點，以下說法正確的是（

）A．過點P有且只有一條直線與直線AB，都相交B．過點P有且只有一條直線與直線AB，都平行C．過點P有且只有一條直線與直線AB，都垂直D．過點P有且只有一條直線與直線AB，所成角均為45°【答案】AC【解析】選項A.過點P與直線AB相交的直線必在平面PAB內(nèi)，過點P與直線相交的直線必在平面內(nèi)，故滿足條件的直線必為兩平面的交線，顯然兩平面有唯一交線，A正確；選項B.若存在一條直線與，都平行，則，矛盾，B不正確；C選項.因為，若則，若，則平面，顯然滿足條件的直線唯一，即，C正確；D選項.取，的中點E，F(xiàn)，連PE，PF，則，，若l與直線，所成角為45°，則l與PE，PF所成角為45°，顯然的角平分線及其外角平分線均符合，D不正確.故選：AC三、填空題13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別邊上的中點，則直線EG和FH的位置關(guān)系是______．【答案】相交【解析】∵E、F、G、H分別是四邊上的中點，∴，即，同理可得：，故E、F、G、H四點共面，且為平行四邊形，則直線EG和FH的位置關(guān)系是相交.故答案為：相交.14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在正方體中，、分別是面和的中心，則和所成的角是______________．【答案】【解析】連接、，則點為的中點，如下圖所示：易知點為的中點，又因為為的中點，所以，，所以，和所成的角為.故答案為：.15．（2023·高一單元測試）已知E、F、G、H分別為空間四邊形四條邊AB、BC、CD、DA的中點，若，則______．【答案】36【解析】因為E、F分別為空間四邊形邊AB、BC的中點，所以且，同理且，，所以且，所以四邊形EFGH為平行四邊形，又，由余弦定理得，，因為，所以，所以.故答案為：36.16．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值是_____________.【答案】【解析】，分別是，的中點，取的中點，連接，，則且，所以為平行四邊形，,那么和所成角即為與所成角．設(shè)，，是直三棱柱，，，故答案為：．四、解答題17．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四邊形和都是直角梯形，，，，，，，分別為，的中點.(1)證明：四邊形是平行四邊形.(2)，，，四點是否共面？為什么？【解析】（1）因為分別為的中點，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形；（2）四點共面.理由如下：由，，是中點知，，所以四邊形為平行四邊形，所以，由（1）知，所以，所以與共面，又，所以四點共面.18．（2023·高一課時練習(xí)）在長方體中，，求(1)與所成角的度數(shù)；(2)與所成角的度數(shù)．【解析】（1）因為，所以時與所成角（或補(bǔ)角），因為，所以與所成角是.（2）因