基本積分公式(24個)

基本積分公式（24個）1.常數(shù)積分公式$$\intadx=ax+C$$其中$a$是常數(shù)，$C$是積分常數(shù)。2.冪函數(shù)積分公式$$\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$其中$n$是實數(shù)，$C$是積分常數(shù)。3.指數(shù)函數(shù)積分公式$$\inte^xdx=e^x+C$$其中$C$是積分常數(shù)。4.對數(shù)函數(shù)積分公式$$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$其中$C$是積分常數(shù)。5.三角函數(shù)積分公式$$\int\sinxdx=\cosx+C$$$$\int\cosxdx=\sinx+C$$$$\int\tanxdx=\ln|\cosx|+C$$其中$C$是積分常數(shù)。6.反三角函數(shù)積分公式$$\int\arcsinxdx=x\arcsinx+\sqrt{1x^2}+C$$$$\int\arccosxdx=x\arccosx\sqrt{1x^2}+C$$$$\int\arctanxdx=x\arctanx\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$$其中$C$是積分常數(shù)。7.有理函數(shù)積分公式$$\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$$$$\int\frac{1}{x^2a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{xa}{x+a}\right|+C$$$$\int\frac{1}{x^3a^3}dx=\frac{1}{3a^2}\left(\frac{x}{a}\frac{a}{x}\right)+C$$其中$a$是常數(shù)，$C$是積分常數(shù)。8.球坐標積分公式$$\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^rr^2\sin\thetadrd\thetad\phi=\frac{4}{3}\pir^3$$其中$r$是半徑，$\theta$和$\phi$是球坐標中的角度。9.柱坐標積分公式$$\int_0^{2\pi}\int_0^r\int_0^{\sqrt{r^2z^2}}rzdzdrd\phi=\frac{1}{2}\pir^3$$其中$r$是半徑，$z$是高度，$\phi$是柱坐標中的角度。10.梯度積分公式$$\int\nablaf\cdotd\mathbf{r}=f(\mathbf{r})f(\mathbf{r}_0)$$其中$f$是標量函數(shù)，$\mathbf{r}$是位置向量，$\mathbf{r}_0$是初始位置向量。11.散度積分公式$$\int\nabla\cdot\mathbf{F}dV=\oint_S\mathbf{F}\cdotd\mathbf{A}$$其中$\mathbf{F}$是向量場，$dV$是體積元素，$S$是閉合曲面，$d\mathbf{A}$是曲面元素。12.斯托克斯積分公式$$\oint_C\mathbf{F}\cdotd\mathbf{r}=\iint_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdotd\mathbf{A}$$其中$\mathbf{F}$是向量場，$C$是閉合曲線，$S$是以$C$為邊界的曲面，$d\mathbf{A}$是曲面元素。13.高斯積分公式$$\int_{\infty}^{\infty}e^{x^2}dx=\sqrt{\pi}$$其中$x$是變量。14.貝塞爾函數(shù)積分公式$$\int_0^\inftyJ_0(x)dx=1$$其中$J_0$是零階貝塞爾函數(shù)。15.橢圓積分公式$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1x^2}dx=\frac{\pi}{4}$$其中$x$是變量。16.拉普拉斯變換積分公式$$\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^\inftye^{st}f(t)dt$$其中$f(t)$是時間函數(shù)，$s$是復數(shù)。17.傅里葉變換積分公式$$\mathcal{F}\{f(x)\}=\int_{\infty}^{\infty}e^{i\omegax}f(x)dx$$其中$f(x)$是空間函數(shù)，$\omega$是角頻率。18.矩陣積分公式$$\int\exp(\mathbf{A}x)d\mathbf{x}=\exp(\mathbf{A}x)$$其中$\mathbf{A}$是矩陣，$x$是向量。19.概率密度函數(shù)積分公式$$\int_{\infty}^{\infty}f(x)dx=1$$其中$f(x)$是概率密度函數(shù)。20.期望值積分公式$$E(X)=\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx$$其中$X$是隨機變量，$f(x)$是概率密度函數(shù)。21.方差積分公式$$Var(X)=\int_{\infty}^{\infty}(xE(X))^2f(x)dx$$其中$X$是隨機變量，$E(X)$是期望值，$f(x)$是概率密度函數(shù)。22.矩積分公式$$\int_{\infty}^{\infty}x^nf(x)dx$$其中$n$是非負整數(shù)，$f(x)$是概率密度函數(shù)。23.拉普拉斯分布積分公式$$\int_{\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{\frac{(x\mu)^2}{2\sigma^2}}dx=1$$其中$\mu$是均值，$\sigma^2$是方差。24.指數(shù)分布積分公式$$\int_0^\infty\lambdae^{\lambdax}dx=1$$其中$\lambda$是參數(shù)。25.正態(tài)分布積分公式$$\int_{\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{\frac{(x\mu)^2}{2\sigma^2}}dx=1$$其中$\mu$是均值，$\sigma^2$是方差。這個公式描述了正態(tài)分布的總面積為1，即所有可能的概率加起來等于1。26.雙曲函數(shù)積分公式$$\int\sinhxdx=\coshx+C$$$$\int\coshxdx=\sinhx+C$$$$\int\tanhxdx=\ln|\coshx|+C$$其中$C$是積分常數(shù)。這些公式涉及到雙曲正弦、雙曲余弦和雙曲正切函數(shù)的積分。27.反雙曲函數(shù)積分公式$$\int\text{arcsinh}xdx=x\text{arcsinh}x+\sqrt{x^2+1}+C$$$$\int\text{arccosh}xdx=x\text{arccosh}x\sqrt{x^21}+C$$$$\int\text{arctanh}xdx=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1x}\right)+C$$其中$C$是積分常數(shù)。這些公式涉及到反雙曲正弦、反雙曲余弦和反雙曲正切函數(shù)的積分。28.分部積分公式$$\intudv=uv\intvdu$$其中$u$和$v$是函數(shù)，$du$和$dv$是它們的微分。這個公式用于求解兩個函數(shù)乘積的積分。29.換元積分公式如果$x=g(t)$，那么$$\intf(x)dx=\intf(g(t))g'(t)dt$$其中$f(x)$是原函數(shù)，$g(t)$是換元函數(shù)，$g'(t)$是換元函數(shù)的導數(shù)。這個公式用于通過換元簡化積分。30.歐拉公式$$\inte^{ix}dx=\frac{e^{ix}}{i}+C$$其中$C$是積分常數(shù)。這個公式涉及到復指數(shù)函數(shù)的積分。31.梯度場的積分公式對于保守場（梯度場）$\mathbf{F}=\nablaf$，有$$\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf}\mathbf{F}\cdotd\mathbf{r}=f(\mathbf)f(\mathbf{a})$$其中$\mathbf{a}$和$\mathbf$是路徑的起點和終點，$f$是勢函數(shù)。32.散度場的積分公式對于任意向量場$\mathbf{F}$，有$$\int_V(\nabla\cdot\mathbf{F})dV=\oint_S\mathbf{F}\cdotd\mathbf{A}$$其中$V$是體積，$S$是體積的邊界曲面，$d\mathbf{A}$是曲面元素。33.斯托克斯定理的積分公式對于向量場$\mathbf{F}$和曲面$S$，有$$\oint_{\partialS}\mathbf{F}\cdotd\mathbf{r}=\iint_S(\nabla\times\mathbf{F})\cdotd\mathbf{A}$$其中$\partialS$是曲面$S$的邊界曲線。34.高斯定理的積分公式對于向量場$\mathbf{F}$和閉合曲面$S$，有$$\oint_S\mathbf{F}\cdotd\mathbf{A}=\int_V(\nabla\cdot\mathbf{F})dV$$其中$V$是閉合曲面$S$所包圍的體積。35.矩陣指數(shù)的積分公式對于矩陣$\mathbf{A}$，有$$\inte^{\mathbf{A}t}d\mathbf{t}=e^{\mathbf{A}t}$$其中$t$是時間變量。36.概率論中的積分公式對于連續(xù)隨機變量$X$，有$$P(a\leqX\leqb)=\int_a^bf(x)dx$$其中$f(x)$是概率密度函數(shù)，$a$和$b$是隨機變量的取值范圍。37.概率論中的期望積分公式對于連續(xù)隨機變量$X$，有$$E(X)=\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx$$其中$f(x)$是概率密度函數(shù)。38.概率論中的方差積分公式對于連續(xù)隨機變量$X$，有$$Var(X)=\int_{\infty}^{\infty}(xE(X))^2f(x)dx$$其中$E(X)$是期望值，$f(x)$是概率密度函數(shù)。這些公式涵蓋了從基礎微積分到高級數(shù)學的各個領域，包括代數(shù)、幾何、分析、概率論和物理等。它們是解決各種數(shù)學和科學問題的基石。當然，讓我們繼續(xù)擴展積分公式的列表，涵蓋更多領域和應用。39.梯形法則梯形法則是一種數(shù)值積分方法，用于近似計算定積分。對于函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的積分，梯形法則給出近似值為：$$\int_a^bf(x)dx\approx\frac{ba}{2}[f(a)+f(b)]$$這個公式通過連接區(qū)間兩端的點來形成一個梯形，其面積近似于曲線下的面積。40.辛普森法則辛普森法則是一種更精確的數(shù)值積分方法，它通過在區(qū)間內插入更多的點來提高準確性。對于函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的積分，辛普森法則給出近似值為：$$\int_a^bf(x)dx\approx\frac{ba}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]$$這個公式通過在區(qū)間內插入中點來形成一個拋物線，其下的面積近似于曲線下的面積。41.拉格朗日中值定理對于在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)且在開區(qū)間$(a,b)$內可導的函數(shù)$f(x)$，存在至少一個點$c\in(a,b)$使得：$$f'(c)=\frac{f(b)f(a)}{ba}$$這個定理表明，函數(shù)的平均變化率等于其導數(shù)在某一點的值。42.羅比塔法則當極限$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$形式為$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$時，可以使用羅比塔法則求解。羅比塔法則指出：$$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\toa}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$只要右側的極限存在。43.泰勒級數(shù)展開函數(shù)$f(x)$在點$a$處的泰勒級數(shù)展開為：$$f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+\frac{f''(a)}{2!}(xa)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(xa)^3+\cdots$$這個級數(shù)可以用于近似函數(shù)在某一點的值。44.拉普拉斯變換的逆變換拉普拉斯變換的逆變換用于將拉普拉斯域中的函數(shù)轉換回時間域。對于函數(shù)$F(s)$，其逆變換為：$$f(t)=\mathcal{L}^{1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pii}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}e^{st}F(s)ds$$其中$c$是實數(shù)，$s$是復數(shù)。45.傅里葉變換的逆變換傅里葉變換的逆變換用于將