2021年藝術(shù)生高中數(shù)學輔導講義學生版

考點1復數(shù)

［玩前必備］

1.復數(shù)的有關(guān)概念

(1)定義：

形如a+bi(m6￡R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中。叫做實部,b叫做虛部.(i為虛數(shù)單位)

(2)分類：

滿足條件(。，6為實數(shù))

a+加為實數(shù)今6=0

復:數(shù)的分類a+h\為虛數(shù)O6X0

a+b\為純虛數(shù)o。=0且6W0

(3)復數(shù)相等：q+bi=c+diOa=c,b=d(a,b,c,d￡R).

(4)共匏復數(shù)：a+bi與c+di共/b=—d(a,b,e,d￡R).

2.復數(shù)的運算

(1)運算法則：設(shè)zi=a+6i,Z2=c+di,a>b,c,d￡R

a_/zi土22人(。+歷)士(c+di)=@±c)+<b士d)i

/zi.Z27ja+bi)(c+$)=(ac-bf/)H/>c+Mi

江磊…。)

3.復數(shù)的幾何意義

(1)復數(shù)z=a+bi與復平面內(nèi)的點迎及平面向量及=(〃，h)(a,Z)￡R)是一一對應(yīng)關(guān)系.

(2)模：向量易的模叫做復數(shù)彳=〃+方的模，記作地土卻或團，即閔=|"+〃i|=d〃2+〃2g,/>eR).

［玩轉(zhuǎn)典例］

題型一復數(shù)的概念

例1(2018?福建)若復數(shù)(〃-3a+2)+(°-1)，是純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為()

A.IB.2C.1或2D.-1

例2(2019江蘇2)已知發(fā)數(shù)3+2i)(l+i)的實部為0,其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)。的值是

例3(2015?湖北)i為虛數(shù)單位，嚴的共扼復數(shù)為()

A.iB.-iC.1D.-1

例412016高考新課標理數(shù)1】設(shè)（l+i）x=l+yi,其中x,歹是實數(shù)，則上-同|二（）

（A）1.（B）>/2（C）G（D）2

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.（2020屆山東省煙臺市高三模擬）設(shè)j是虛數(shù)單位，若復數(shù)。+工（awR）是純虛數(shù)，則。的值為（）

2+1

A.-3B.3C.1D.-1

2.已知復數(shù)z=（〃，-〃7-2）+（加2-3加+2），是實數(shù)，則實數(shù)加=

3.（2020屆山東省淄博市高三二模）已知復數(shù)z滿足（l+2i）z=4+3i,則z的共瓶復數(shù)是（）

A.2—zB.2+iC.l+2iD.1—2/

題型二復數(shù)的代數(shù)運算

例5（2016?全國）復數(shù)的模為（）

A.1B.2C.45D.5

例6（2020?梅河口市校級模擬）設(shè)i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z（l-i）=2+2i,則復數(shù)z等于（）

A.—2zB.2iC.-1+iD.0

例7【2015高考新課標1,理1】設(shè)復數(shù)z滿足上上="則|z|=（）

1-z

（A）1（B）41（C）y/3（D）2

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.（2020屆山東省濰坊市高三模擬一）如圖,在復平面內(nèi)，復數(shù)zt,z2對應(yīng)的向量分別是次，礪，若4=zz2,

C.」+當D.-1-2/

2222

2.（2020屆山東省濰坊市高三模擬二）設(shè)復數(shù)z=a+b，（a,b￡R）,若一一二一二貝jiz=()

1+i2-i

C.-^4/「3」

5555

題型三復數(shù)的幾何意義

例8(2018仝國卷I)設(shè)z-±二+2i,則|z|二

1+1

A.0B-IC.1D.O

例9（2020?涪城區(qū)校級模擬）若復數(shù)z滿足z（l+21）=10,則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.（2020屆山東省濰坊市高三下學期開學考試）設(shè)復數(shù)z滿足|z-i|=2,z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為（xy）,

則（）

A.(A+l)2+y2=2B.(x-l)2+y2=4

C.x2+(y-l)2=4D.x2+(y+l)2=2

（。屆山東濟寧市兗州區(qū)高三網(wǎng)絡(luò)模擬考）若復數(shù)七

2.22°1（asR）是純虛數(shù)，則復數(shù)2a+2i在復

平面內(nèi)對應(yīng)的點位于)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［玩轉(zhuǎn)練習］

1.（2020?龍巖一模）設(shè)z=i(l—i),則5=()

A.1-zB.l+iC.-1D.—l+i

2.（2020?宜昌模擬）已知純虛數(shù)z滿足（l-2i）z=2+ai,其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)。等于（)

A.-1B.1C.-2D.2

3.（2020?眉山模擬）已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（T,2）,則工=（）

1+z

A."B.-11/D.L當

+C.

22222222

4.（2020?眉山模擬）已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（-1,2）,則下列結(jié)論正確的是（)

A.z?Z=2—ZB.復數(shù)z的共枕復數(shù)是1-2；

D.—=1+-/

C.|z|=5

l+i22

5.（2。20?內(nèi)蒙古模擬）設(shè)復數(shù)z的共枕復數(shù)為3i為虛數(shù)單位，若z=l-i,則（3+24=（)

A.-2-5ZB.-2+5/C.2+5/D.2-5Z

6.（2020?南海區(qū)模擬）復數(shù)滿足z+|z|=4+8i,則復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.(2020?番禺區(qū)模擬)設(shè)(2+/)(3-3)=3+(y+5?"為虛數(shù)單位)，其中r,y是實數(shù)，貝〃等于(

)

A.5B.13C.22D.2

8.(2020?臨汾模擬)已知i是虛數(shù)單位，z=2■-3嚴7,且z的共規(guī)復數(shù)為5,則z?5=()

1+/

A.>/3B.75C.5D.3

9.(2。20?臨汾模擬)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z=l+i,則5+z?=()

A.1+ZB.\-iC.-l-iD.-1+z

10.(2020?芮城縣模擬)已知復數(shù)z滿足z+2ieR,z的共扼復數(shù)為5,則z-5=()

A.0B.4iC.-4iD.-4

11.(2020?黃岡模擬)已知i是虛數(shù)單位，設(shè)復數(shù)z=l+2i,馬=2-i,則|幺|=()

z2

A.2>/5B.x/5C.73D.1

12.(2020?福清市一模)已知復數(shù)z滿足+其中i為虛數(shù)單位，則在復平面內(nèi)，彳對應(yīng)的點

位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

13.(2020?肇慶二模)設(shè)復數(shù)z滿足|z-l|=l,則z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,y),則()

A.(x+l)2+y2=lB.(x-l)2+/=lC.x2+(y-l)2=lD.x2+(y+l)2=l

14.(2020?來賓模擬)已知復數(shù)z滿足z(2-i)=|3+4”(i為虛數(shù)單位)，則在復平面內(nèi)復數(shù)z對應(yīng)的點的坐

標為()

A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,-2)D.(-2,-1)

15.(2020?東湖區(qū)校級模擬)已知i為虛數(shù)單位，z--=l-i,則關(guān)于復數(shù)￡的說法正確的是()

1-Z

A.|z|=l

B.z對應(yīng)復平面內(nèi)的點在第三象限

C.z的虛部為T

D.z+z=2

16.(2020?洛陽一模)已知復數(shù)z在復平面中對應(yīng)的點(％y)滿足(x-l)2+y2=i,則|z-l|=()

A.oB.1c.D.2

考點2集合的概念與運算

1.集合與元素

(1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系,用符號呈或?qū)W表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、Yenn圖法.

(4)常見數(shù)集的記法

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN+（或N*）ZQR

2.集合間的基本關(guān)系

關(guān)系自然語言符號語言Venn圖

集合A中所有元素都在集合B中(即若X

子集

(或

\

集合4是集合8的子集，且集合8中至少4B\

真子集

有一個元素不在集合力中（或8用]:■-:

\\

集合力,8中元素完全相同或集合48互

集合相等A=B

為子集

子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：一個集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.

3.集合的運算

(1)如果一個集合包含了我們所要研究的各個集合的全部元素，這樣的集合就稱為上巨，全集通常用字母，

表示；

集合的并集集合的交集集合的補集

圖形HL./?L

符號4n8=仃&￡力，且=且比m

［玩轉(zhuǎn)典例］

題型一集合的基本概念

例1(2020?濟南模擬)設(shè)集合A={1,2,3),B={4,5},M=(x\x=a+hfaeA,b《B),則M中元

素的個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

例2(2018全國卷H)已知集合A={(x,y)|d+,2忘3,z,yeZ},則A中元素的個數(shù)為

A.9B.8C.5D.4

例3已知集合力={〃?+2,2〃產(chǎn)+加},若3￡4,則m的值為.

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.（2020?德州模擬）已知集合力={1,2,3,4,5）,8={（x,y）\x^A,y^A,x-y^A},則3中所含元素

的個數(shù)為（）

A3B.6C.8D.10

2.集合4={1,2,3,4,5},5={1,2,3},C={N|Z=D/￡4且y仁陽,則集合C中的元素個數(shù)為（）

A.3B.8C.llD.12

題型二集合間的基本關(guān)系

例4（2015?全國）設(shè)集合Aq{l,2,3,4）,若A至少有3個元素，則這樣的A共有（）

A.2個B.4個C.5個D.7個

例5（2020?青島模擬）已知集合人={月9—2x>0},B={X|-75<X<X/5},則（）

A.明8=0B.久8=冗C.BqAD.AaB

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.（2020屆山東省高考模擬）已知集合4={-1,2},B={x\ax=l}t若BqA,則由實數(shù)。的所有可能

的取值組成的集合為（）

C.?0，1二,D.?-1,0,-^?

22

2.設(shè)M為非空的數(shù)集，M7{1,2,3},且M中至少含有一個奇數(shù)元素，則這樣的集合M共有（）

A.6個B.5個C.4個D.3個

3.定義集合力一5=任打￡4且遙8},若集合M={1,2,3,4,5},集合N={A#=2%—1次￡Z},則集合M—N的子集

個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.無數(shù)個

題型三集合的基本運算

例6（2017?山東）設(shè)函數(shù)），=,4-產(chǎn)的定義域為A,函數(shù)丁=加（1一勸的定義域為8,則A0|B=（）

A.（1,2）B.（1,2］C.（-2J）D.［-2,1）

x

例7（2017?新課標I）已知集合4={x[/<1},B={x]3<l]f則（）

A.AQfi={x|x<0）B.A\jB=RC.A|JB={X|X>1}D.=0

例8（2016?全國）設(shè)集合A=B={x\T<2},則哨5=（）

A.{x|O<x<l}B.{x|0<x<2)C.{x\x<2]D.0

例9(2020?梅河口巾校級模擬)已知集合A=*|y=，—2%2+x+3},7?={x|log2x>1},則全集U=R,則

下列結(jié)論正確的是()

A.=AB.AU8=8C.@4)門8=0D.8c

例10(2020?銀川模擬)若集合力={川-1W2X+1W3},4={WW卜則力A8=()

A.{.v|-1Wx〈0}B.{x|O<r<1}

C.?|04W2}D.{x|0WxW1}

例11(2017?新課標HD已知集合4={(西力|/+、2=]),8={(x,y)|y=x},則中元素的個數(shù)為(

)

A.3B.2C.1D.0

[玩轉(zhuǎn)跟蹤]

1.(2020屆山東省濟寧市高三3月月考)已知集合A={劃％2一1—2>()},集合8={%|丁="二},則

AP|8二()

A.[2,+co)B.(2,+oo)C.[1,+co)D.(l,+<?)

2.(2020屆山東省濰坊市高三模擬一)已知4={./一INO},B=[y\y=ex],則AC|B=()

A.(0,+8)B.(-00,1]C.[1,+co)D.(-00,-1]0[1?+00)

r4-7

3.(2020屆山東省荷澤一中高三2月月考)已知集合A=(-1,3],B=ix--<0k則4口8=()

x-1

A.[-2,1)B.(—1,1]C.(—1,1)D.[—2,3]

2

4.(2D20?山東高三下學期開學)設(shè)集合A={H0?log3X?2},B=^xy=ylx-3x-1^t則4nB=

()

A.[1,3]B.[-3,6]c.[3,9]D,[6,9]

[玩轉(zhuǎn)練習]

1.(2019全國I理)已知集合加={吊-4<工<2},7V={X|X2-X-6<0},則Mp|N=

A.{x|-4<x<3)B.{x|-4<JV<-2}c.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}

2.(2019全國n理)設(shè)集合A={xX-5x+6>0},8={x|x-l<0},則Ac8=

A.(-00,1)B.(-2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+8)

3.(2019全國HI理)已知集合4={T,0,1,2},B={X\X2<\},則Ap|8=

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

4.(2019江蘇)已知集合A={_1,0,1,6)，B={x\x>^xeR}f則=-----

5.(2019浙江)已知全集U={T,0,L2,3},集合A={04,2},B={-1,0,1},則

A.{-1}B.{0,1}"c.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3)

6.(2D20春?五華區(qū)月考)已知集合A={x|log2xv"，集合3={xeN||x|<2},則從川=()

A.{x|0<x<l}B.{x|0?x<2}C.{x|-2<x<2}D.{0,1)

7.(2020?眉山模擬)集合人={x[%+l>0},B={X|X2-3X+2>0},則明轉(zhuǎn)=()

A.(-1,1)B.(1,2)

C.[1,2]D.(-1,1)51，+8)

8.(2020?宜昌模擬)已知集合”=口|10打。一1)<1}，集合N={X|X2+X_6<0},則M|JN=()

A.{x|-3<x<3)B.{.v11<x<2}C.{x|x<3}D.{x|-2<x<3|

9.(2020春?桃城區(qū)校級月考)已知全集U=R，集合A={y|y=Y+2,xeR},集合8={x|y=/g(x-l)}，

A.[1,2]B.(1,2)C.(1,2]D.[1,2)

10.(2020春?漳州月考)已知集合4={x|k)g|(l-2x)>l),則今4=()

1I1

AX?

^X(eT-

4B.2

D.4

001,111

cT[,T

-^,

4>42

II.（2020?咸陽二模）集合M={x|y=x/T3},N={-1,0,1,2},則M0|N=（）

A.{0,1）B.{-I,0,1）C.{1,-1}D.{0,1,2）

12.（2020?內(nèi)蒙古模擬）已知集合”={%|爐一21-3<0},N={x|x2-/nr<0},若="|0vx<1},

則機的值為（）

A.1B.-1C.±1D.2

13.（2020?全國一模）已知集合4={刈/-2》-3<0},3=卜|：>1},則5（A|j8）=（）

A.（-oo,-l）kJ（3?+oc）B.（-oo,-1]|J[3?+oo）

C.[3,-B?）D.（-oo,,+oo）

14.（2020?重慶模擬）設(shè)集合A={x|V<9},B={-3,-2,-1,0,1,2},則A0|8=（）

A.{0,1,2|B.{-1,0,1,2}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-2,-1,0）

2

15.（2020春?武昌區(qū)校級月考）設(shè)集合4={x|—lvx<l},B={y\y=xtxwA},貝ljAC（5B）=（）

A.{x|0<x<l）B.{x|-l<x<0}C.{x|0<x<l}D.{x|-l<x<l）

16.（2020?金安區(qū)校級模擬）已知集合"={劃工一2<0},N={yeZ\y=-x2+4,xeR},則的

子集有（）

A.2個B.4個C.8個D.16個

考點3命題和充分必要條件

［玩前必備］

i.命題的概念

在數(shù)學中把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判面為夏的語句叫真命題,

判斷為假的語句叫假命題.

2.充分條件與必要條件

（1）如果p=夕，則。是。的充分條件,i是。的必要條件;

（2）如果夕今夕，q=p,則。是。的充要條件.

3.全稱量詞和存在量詞

量詞名稱常見量詞表示符號

全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個、任給等V

存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、某個、有些、某些等3

4.全稱命題和特稱命題

命題名稱命題結(jié)構(gòu)命題簡記

全稱命題對M中任意一個x,有p（x）成立

特稱命題存在A/中的一個xo，使p（xo）成立M(xo)

5.含有一個量詞的命題的否定

命題命題的否定

YxWM,p(x)E]〃(xo)

p(xo)YxRM,㈱Mx)

［玩轉(zhuǎn)典例］

題型一充分條件與必要條件的判定

例1（2019?天津）設(shè)xeR,則-5x<0”是“|工一1|<1"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例2（2019?上海）已知a、beR,則“/>〃”是“|。|>|加”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

例3（2018?天津）設(shè)xeR,則是“dvl”的（）

22

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例4（北京高考）設(shè)“a=0”是“復數(shù)a+歷是純虛數(shù)〃的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.（2020屆山東省濟寧市高三3月月考）是“l(fā)n（x+l）>ln（y+l）”成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,即不充分也不必要條件

2.（2020屆山東省泰安市肥城市一模）若集合「={1，2,3,4},Q={x\0<x<5,xeR},則“xw尸"是"xeQ〃

的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也非不必要條件

3.（2015?湖南,2）設(shè)4,5是兩個集合,則“408=4"是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

題型二含一個■詞的命題的否定和真假命題

例5（2020?四川模擬）設(shè)xeZ,集合A是奇數(shù)集，集合8是偶數(shù)集.若命題2xwB,則（

）

A.—I/?:VXGA,ZX^BB.-ip:Vx￡A,2X^8

C.走A,2xeBD.->p:BxeA>2x^B

x

例6已知命題p：3x0eR,log2(3°+l)<0,貝女)

x

A.p是假命題；糠p：VxGR,log2(3+l)<0

v

B.p是假命題；㈱p：VxGR,log2(3+l)>0

v

C.0是真命題;Cp：VxeR,log2(3+l)^0

x

D.p是真命題；㈱p：VxGR,log2(3+l)>0

例7(1)(2020?沈陽模擬)下列四個命題中真命題是()

A.VwER,〃22n

B.3no^R,V〃？￡R,nrno=m

C.mi<n

D.n2<n

（2）下列命題中的假命題是（）

A.VxeR,2v-I>0B.VxeN*,(x-l)2>o

C.3x0^R?lgxo<lD.3xoeR?tanxo=2

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.（2020屆山東省淄博市部分學校高三3月檢測）命題“3%￡（0,+8）,皿%=%-1"的否定是（）

A.3x0e（0,+oo）,Inx0*x0-1B.3xQ^（0,+<?）,lnx0=x0-l

C.Vxe（0,+oo）,lnx^x-1D.Vxfg（0,-K?）,lnx=x-l

2.（2020屆山東省濰坊市高三模擬二）已知命題P：有的三角形是等邊三角形，則

A.「P：有的三角形不是等邊三角形

B.「P：有的三角形是不等邊三角形

C.「P：所有的三角形都是等邊三角形

D.「P：所有的三角形都不是等邊三角形

［玩轉(zhuǎn)練習］

1.（2020天津模擬）設(shè)｛為｝是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為“，則"4<0〃是“對任意的正整數(shù)，，

的（)

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

2.（2。20安徽模擬）設(shè)p：1<X<2,q：2A>1,則，是夕成立的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.(2020重慶模擬)“x>l”是“l(fā)og|a+2)〈0”的

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.（2320天津模擬）設(shè)XER,則“k一2|<1"是"f+x—Z.O”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2320浙江模擬）命題“D〃￡N、/（72）￡N”且/（〃）<〃的否定形式是

A.J5)史N"且/(〃)>〃

B.V"￡N"J(〃)￡N?或/(〃)>〃

c.m〃o￡N",/(〃o)eN.且/(%)>/

D.三/￡1^,/(%)它1<>或/(〃0)>〃0

6.（2020福建模擬）命題“VxE[0,y）f+X20”的否定是

A.VXG（0,+CO）J?+X<0B.VXG(-CO,0)J?+X>0

3

c.迎q（）,+oo）./3+%<0D.3x0G[0,+oo).x0+>0

7.（2D20浙江模擬）己知，是虛數(shù)單位,(ia=b=iff是“(4+6i)2=2i”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.（2D20?德陽模擬）若a,,則“/十廿工。，，是“入b全不為零”的（）

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.必要不充分條件D.充分不必要條件

9.（2Q20?武漢模擬）已知a,bwR,則“a>b>0”是“必+1|>|。+1|”的什么條件（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

io.（2020?九江一模）已知非零向量1,5滿足|町=|B|,則“|乙+潺|=|25-5|”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.（2020?山東高三下學期開學）“Inmcln〃”是"療<〃2〃的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.（2020屆山東省六地市部分學校高三3月線考）己設(shè)a泊都是正數(shù)，則“及8。3</沖匕3〃是“3">3〃>3"

的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

考點4等差數(shù)列

［玩前必備］

i.數(shù)列的定義

按一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項.

2.數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列｛?。牡凇椗c序號〃之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子表示成“”=/(〃)，那么這個式子叫作這個數(shù)

列的通項公式.

3.已知數(shù)列｛為｝的前〃項和S“，

8(〃=1)

則an=

Sn~Sn-\(〃22)

4.等差數(shù)列的定義

如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差是同一個常數(shù)，我們稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列，這個常數(shù)

叫作等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.

5.等差數(shù)列的通項公式

如果等差數(shù)列｛?。氖醉棡閙，公差為d,那么它的通項公式是?！?0+5-1)&

說明：等差數(shù)列｛為｝的通項公式可以化為斯=〃〃+式其中p,g為常數(shù))的形式，即等差數(shù)列的通項公式是關(guān)

于〃的一次表達式，反之，若某數(shù)列的通項公式為關(guān)于〃的一次表達式，則該數(shù)列為等差數(shù)列.

6.等差數(shù)列的前〃項和公式

設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,其前〃項和義，則&=幽抖=〃勿十曲嚴江

說明：數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列B為常數(shù)).這表明存1時，等差數(shù)列的前〃項和公式是關(guān)于

〃的二次表達式，并且沒有常數(shù)項.

7.等差中項

如果4=守，那么4叫作。與6的等差中項.

8.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項公式的推廣：斯=的+(〃一

(2)若｛〃”｝為等差數(shù)列，且女+/=〃?+〃(左，/,〃￡N+),則四+〃/=%?+a”.

［玩轉(zhuǎn)典例］

題型一數(shù)列的概念

例1根據(jù)下面數(shù)列｛為｝的通項公式，寫出它的前5項：

2_?

(l)an=2n_1；(2)an=n(n+2).

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1+（—1）"I

1.已知數(shù)列S〃｝的通項公式為為=―，則該數(shù)列的前4項依次為（）

A.1,0,1,0B.0,1,0」

舄，0,/0D.2,0,2,0

2.已知數(shù)列缶”｝的通項公式為小=而%（〃￡N+）,那么號是這個數(shù)列的第項.

3.已知數(shù)列｛為｝的通項公式為?！?〃2—〃一50,則一8是該數(shù)列的（）

A.第5項B.第6項

C.第7項D.非任何一項

Si(n=l)

題型二己知Sn，求

Sn-Sn-1(心2)

例2（江西，17）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和￡=——,

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式;

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

21

1.（湖南，16）已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和〃￡N'.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項公式；

2.己知數(shù)列｛呢｝的前n項和S〃=31—2〃十1,則共通項公式為.

題型三等差數(shù)列基本量的計算

例3（1）（2018北京）設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，且4=3,%+。5=36，則｛〃“｝的通項公式為_.

（2）（2018上海）記等差數(shù)列｛q｝的前幾項和為S”，若。3=0，4+%=14,則S產(chǎn).

例4（2018?全國I）記￡為等差數(shù)列｛為｝的前〃項和，若3s3=S2+S4,ai=2,則的等于（）

A.-12B.-10

C.10D.12

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.（重慶,2）在等差數(shù)列｛〃〃｝中，41=2,。3+。5=10,則〃7=（）

A.5B.8C.10D.14

2.(安繳，13)已知數(shù)列｛如｝中，內(nèi)=1,斯=斯—i+/〃R2),則數(shù)列｛詼｝的前9項和等于.

3.(新課標全國I,7)已知｛以｝是公差為1的等差數(shù)列,S“為｛?。那啊椇?若S8=4S4，則mo

=()

1719

A.歹B.7C.10D.12

題型四等差數(shù)列的性質(zhì)

例5(1)(上海，1)在等差數(shù)列｛〃“｝中，若01+02+03+44=3(),則。2+。3=.

(2)設(shè)等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S”，若￡=9,56=36,則的+。8+。9等于()

A.63B.45C.36D.27

(3)已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”，且滿足/一券=1,則數(shù)列｛%｝的公差是()

A.1B.1C.2D.3

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1..Q015?新課標全國1【,5)設(shè)S〃是等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和，若內(nèi)+的+。5=3,則S5=()

A.5B.7C.9D.1I

2.已知S”是等差數(shù)列｛m｝的前〃項和，若田=一2014,貂%—舞|=6,則S2oi6=.

題型五等差數(shù)列的證明和*的最值

例6(大綱全國，17)數(shù)列｛a〃｝滿足ai=1,及=2,4”+2=2a”+i—a”+2.

(1)設(shè)兒=斯+1一%，證明｛兒｝是等差數(shù)列；

(2)求｛“〃｝的通項公式.

例7（2020屆山東省泰安市肥城市一模）記S“為公差不為零的等差數(shù)列｛《｝的前〃項和，已知4：=4,

§6=18.

（1）求｛《,｝的通項公式；

（2）求S“的最大值及對應(yīng)〃的大小.

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.（2018全國卷H）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知％=-7,53=-15.

⑴求｛七｝的通項公式;

⑵求s.，并求S”的最小值.

2.（2020屆山東省淄博市高三二模）已知數(shù)列｛〃