《高等數(shù)學(xué)》課件第2章

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

2.1導(dǎo)數(shù)2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則2.3隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則

2.4高階導(dǎo)數(shù)2.5微分本章小結(jié)2.1導(dǎo)數(shù)

2.1.1兩個經(jīng)典問題導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中最基本的概念之一，來源于實際問題.為了說明導(dǎo)數(shù)的基本概念，我們首先討論兩個問題：變速直線運(yùn)動的速度和平面曲線的切線斜率問題.引例2-1變速直線運(yùn)動的瞬時速度.分析：在勻速直線運(yùn)動中，物體在各個時刻的速度不變，公式為但對于變速直線運(yùn)動而言，物體在不同時刻的速度不全相同.上述公式只能反映物體在某個時間間隔上的平均速度，而不能反映某一時刻運(yùn)動的快或慢.要想精確地表示物體在運(yùn)動中各個時刻的快或慢，需要進(jìn)一步研究任一時刻的速度，即瞬時速度.設(shè)一物體在數(shù)軸上作直線運(yùn)動，s表示時刻t物體所在位置的坐標(biāo)，顯然，s是t的函數(shù)，即s=s(t)，習(xí)慣上將該函數(shù)叫做位置函數(shù).那么，對物體在非勻速直線運(yùn)動過程中某一時刻t0的速度如何理解并求得呢？首先選取時刻t0到t0+Δt這樣一個時間間隔，在該時間段上，物體運(yùn)動的路程為Δs=s(t0+Δt)－s(t0)運(yùn)動的平均速度為由于變速直線運(yùn)動的速度是連續(xù)變化的，因此時間間隔Δt越小，平均速度就越接近時刻t0時的瞬時速度v(t0).當(dāng)Δt無限趨近于零時，平均速度將無限地趨近于時刻t0

的瞬時速度.故當(dāng)Δt→0時，如果平均速度的極限存在，那么就把該極限定義為物體在時刻t0處的瞬時速度.即引例2-2平面曲線的切線斜率.分析：在中學(xué)數(shù)學(xué)中，圓的切線被定義為“與圓只有一個交點的直線”.但是，對于一般曲線而言，就不能把與曲線只有一個交點的直線定義為曲線的切線.例如，對于立方拋物線y=x3，在坐標(biāo)原點O處，x軸、y軸都與曲線相交且只有交點O.顯然，x軸是曲線的切線，而y軸不是它的切線.下面利用極限給出一般曲線切線的定義.如圖2-1所示，設(shè)曲線y=f(x)上有定點M0(x0，y0)和動點M(x+Δx，y+Δy)，作割線M0M.當(dāng)動點M沿著曲線趨向于定點M0時，割線M0M的極限位置M0T就定義為曲線在點M0處的切線，過M0且與切線垂直的直線叫做曲線在點M0處的法線.圖2-1割線M0M的斜率為其中φ為割線M0M的傾斜角.當(dāng)Δx→0時，點M將沿著曲線無限趨于點M0，上式的極限存在，即由切線的定義可知，該極限就是曲線在點M0處的切線M0T的斜率，其中α是切線M0T的傾斜角.2.1.2導(dǎo)數(shù)的概念雖然上面兩個實際問題的背景各不相同，但從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上看，卻具有完全相同的形式.在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，還有許多的量，如電流強(qiáng)度、化學(xué)反應(yīng)速度、角速度等都具有這種形式，即為函數(shù)的增量與自變量增量之比在自變量的增量趨于零時的極限.數(shù)學(xué)上，把這種形式的極限定義為函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

1.導(dǎo)數(shù)的定義

定義2-1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點x0處取得增量Δx(≠0)時，函數(shù)f(x)有相應(yīng)的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0).如果當(dāng)Δx→0時存在，則稱f(x)在點x0處可導(dǎo)，并將該極限稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)，也可記為y′(x0)或、.如果不存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處不可導(dǎo)注意:導(dǎo)數(shù)的定義也可用其他的不同形式表述，常見的有導(dǎo)數(shù)是概括了各種各樣的變化率而得出的一個更為抽象的概念，不考慮自變量和因變量所代表的特殊意義，純粹從數(shù)量上描述變化率本質(zhì)的.因變量的增量Δy與自變量的增量Δx之比是因變量y在以x0和x0+Δx為端點的區(qū)間上的平均變化率；而導(dǎo)數(shù)y′(x0)則是因變量在點x0處的變化率，反映了因變量相對于自變量變化的快慢程度.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點都可導(dǎo)，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，于是，對于任意x∈(a，b)，都有一個確定值f′(x)與之對應(yīng)，這樣就確定了一個新函數(shù).我們稱這個新函數(shù)為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記作y′、f′(x)、或.導(dǎo)函數(shù)計算公式為注意:求極限過程中x是不變的.顯然f′(x0)是函數(shù)y′=f′(x)在x0處的函數(shù)值，即有了導(dǎo)數(shù)的概念，引例2-1和引例2-2可以重述為:

(1)變速直線運(yùn)動在時刻t0處的瞬時速度，就是位置函數(shù)s=s(t)在t0處對時間t的導(dǎo)數(shù)，即

(2)平面曲線的切線斜率是曲線縱坐標(biāo)y在該點處對橫坐標(biāo)x的導(dǎo)數(shù)，即

2.左、右導(dǎo)數(shù)既然函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)是比值當(dāng)Δx→0時的極限，而極限有左、右之分，故把下面兩個極限分別叫做函數(shù)y=f(x)在點x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，分別記作f′－

(x0)和f′+(x0).根據(jù)極限與左、右極限的關(guān)系，有下列定理.

定理2-1函數(shù)y=f(x)在點x0處的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)的充分必要條件.

3.利用定義求導(dǎo)數(shù)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)可以分為三步：

(1)求增量Δy=f(x+Δx)－f(x)；

(2)算比值；

(3)取極限.一般地，對于求冪函數(shù)xu的導(dǎo)數(shù)，有如下公式:其中，u為任意常數(shù).例2-3求函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù).解

(1)求增量:(2)算比值：(3)取極限:即(sinx)′=cosx

類似地，可以得到(cosx)′=－sinx

例2-4求對數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1)的導(dǎo)數(shù).解

(1)求增量:

(2)算比值:

(3)取極限:即

例2-5(邊際利潤)在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中，邊際利潤定義為產(chǎn)量增加一個單位時所增加的總利潤.解設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為x單位時總利潤為A=A(x)，當(dāng)產(chǎn)量由x變?yōu)閤+Δx時，總利潤函數(shù)的改變量為ΔA=A(x+Δx)－A(x)總利潤函數(shù)的平均變化率為它表示產(chǎn)量由x變到x+Δx時，在平均意義下的邊際利潤.當(dāng)總利潤函數(shù)A=A(x)可導(dǎo)時，其變化率

表示該產(chǎn)品產(chǎn)量為x時的邊際利潤，即邊際利潤是總利潤函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù).

類似地，在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中，邊際成本定義為多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的成本投入，即C′(x).其中C(x)表示生產(chǎn)量為x時的總成本投入.2.1.3導(dǎo)數(shù)的意義

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由引例2-2可知，函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)就是它所表示的曲線在點M0(x0，y0)處的切線M0T的斜率.即K=tanα=f′(x0)故曲線y=f(x)在點M0(x0，y0)處的切線方程為y－y0=f′(x0)(x－x0)若f′(x0)≠0，則曲線y=f(x)在點M0(x0，y0)處的法線方程為若f′(x)=0，則y=f(x)在點(x0，y0)處的切線平行于x軸，切線方程為y=y0，法線方程為x=x0.

若f′(x)=∞，則y=f(x)在點(x0，y0)處的切線垂直于x軸，切線方程為x=x0，法線方程為y=y0.例2-6求立方拋物線y=x3在點(1，1)處的切線和法線方程.

解因為y′=3x2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線y=x3

在點(1，1)處的切線斜率為K=y′|x=1=3所以所求的切線方程為y－1=3(x－1)即y=3x－2法線方程為即2.1.4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo)，即存在，由極限的運(yùn)算法則得由函數(shù)連續(xù)性的定義可知函數(shù)在x處連續(xù)，故有如下結(jié)論：定理2-2如果函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo)，那么函數(shù)f(x)在點x處一定連續(xù).但其逆命題不一定成立，即函數(shù)y=f(x)在x處連續(xù)未必在x處可導(dǎo).例2-7討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解如圖2-2所示，因為Δy=f(0+Δx)－f(0)=|Δx|所以故在x=0處連續(xù).在點x=0處左導(dǎo)數(shù)又因為函數(shù)在點x=0處右導(dǎo)數(shù)左、右導(dǎo)數(shù)不相等，所以函數(shù)在該點不可導(dǎo).因此，函數(shù)連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件而非充分條件.一般地，若曲線y=f(x)的圖像在點xO處出現(xiàn)“尖點”，如圖2-2所示，則它在該點不可導(dǎo).因此，若函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)時，則其圖像不出現(xiàn)“尖點”，稱之為光滑曲線.2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則

2.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

引例2-3(物體的運(yùn)動速度)已知某物體作直線運(yùn)動，路程s(單位m)與時間t(單位s)的函數(shù)關(guān)系為s=t2－tlnt+5，t∈[1，5].求物體在t=2s時的速度.

分析:問題即為求導(dǎo)數(shù).因為s的表達(dá)式較復(fù)雜，所以直接用定義求解很繁瑣，是否有便捷的方法呢？可以看到，s是由t2、t、lnt、5這四個基本初等函數(shù)通過加、減、乘法運(yùn)算組成的，而這四個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都有現(xiàn)成的公式可用，因此若能找到導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，則問題迎刃而解.定理2-3如果函數(shù)u=u(x)、v=v(x)都在點x處可導(dǎo)，則函數(shù)u(x)±v(x)、u(x)v(x)、也在點x處可導(dǎo)，且有(1)

[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)；[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)；

(3)(v(x)≠0).注意:上述導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則中，法則(1)、(2)可以推廣到有限個函數(shù)的情形，即(u±v±w)′=u′±v′±w′(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′其中，u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)都在點x處可導(dǎo).在法則(2)中，如果u(x)=c(c為常數(shù))時，則(cv)′=cv′.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，引例2-3的解為s′=(t2－tlnt+5)′=2t－[t′lnt+t(lnt)′]+0=2t－lnt－1則即物體在t=2s時的速度約為2.3069m/s.例2-8求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解

例2-9求函數(shù)y=tanx的導(dǎo)數(shù).解即(tanx)′=sec2x

類似地，可得(cotx)′=－csc2x

(secx)′=secxtanx

(cscx)′=－cscxcotx

例2-10設(shè)，求f′(x).解例2-11

某電器廠在對冰箱制冷后斷電測試其制冷效果，時間t后冰箱的溫度，問冰箱溫度關(guān)于時間的變化率是多少？解

即冰箱溫度T關(guān)于時間t的變化率是.2.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2-4如果單調(diào)函數(shù)x=g(y)在點y處可導(dǎo)，且g′(y)≠0，那么其反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)點x處可導(dǎo)，且有或者例2-12求y=ax(a>0，a≠1)的導(dǎo)數(shù).

解因為y=ax是x=logay的反函數(shù)，且x=logay在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，又所以即(ax)′=axlna

特別地，當(dāng)a=e時，有(ex)′=ex

例2-13求反正弦函數(shù)y=arcsinx的導(dǎo)數(shù).解因為y=arcsinx(-1≤x≤1)是的反函數(shù)，又x=siny在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且所以即(-1<x<1)類似地，可得(-1<x<1)例2-14

y=arctanx的導(dǎo)數(shù).解因為y=arctanx(-∞<x<+∞)是x=tany的反函數(shù)，又x=tany在內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且有所以即類似地，可得2.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

引例2-4設(shè)函數(shù)y=(2x+3)2，求y′.分析:因為y′=[(2x+3)2]′=(4x2+12x+9)′=8x+12，函數(shù)y=(2x+3)2可看成由函數(shù)y=u2和u=2x+3復(fù)合而成的，其中u是中間變量.由于，因而也就是說，對于復(fù)合函數(shù)y=(2x+3)2，有定理2-5(復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則)設(shè)函數(shù)u=φ(x)在點x處可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在相應(yīng)的u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點x處也可導(dǎo)，且有或復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)關(guān)于自變量的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對于中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對于自變量的導(dǎo)數(shù).

注意:該法則可以推廣到多個中間變量的情形.例如：y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，則由它們復(fù)合的函數(shù)y=f{φ[ψ(x)]}的導(dǎo)數(shù)

例2-15求函數(shù)y=cos2x的導(dǎo)數(shù).解

y=cos2x可看做是由y=cosu和u=2x復(fù)合而成，故y′=(cos2x)′=(cosu)′u(2x)′=－2sinu=－2sin2x

例2-16求函數(shù)y=ln(tan3x)的導(dǎo)數(shù).解

y=ln(tan3x)可看做是由y=lnu、u=tanv、v=3x復(fù)合而成的，故由以上幾個例子可以看出，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵，是把函數(shù)正確地分解成基本初等函數(shù)或常數(shù)與基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算，然后由外向里逐層求導(dǎo).如果對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則熟練后，那么在求導(dǎo)過程中就可以不設(shè)置中間變量，直接求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例2-17求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解

例2-18求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解

例2-19河水以8m3/s的流量流入水庫中，水庫形狀是長為4000m、頂角為120°的水槽，如圖2-3所示.問水庫水深20m時，水庫的水面每小時上升多少？圖2-3解如圖2-3所示，設(shè)水庫水深為h時，其中水的總體積為v，則

其中，v和h都是時間t的函數(shù).上式兩邊對t求導(dǎo)，得

由題設(shè)條件可知:所以，當(dāng)h=20m/s時，

即水庫水深20m時，其水面每小時上升約0.104m.例2-20一長為5m的梯子斜靠在墻上，如果梯子下端以0.5m/s的速度滑離墻壁，試求梯子下端離墻3m時，梯子上端向下滑落的速度.

解設(shè)x表示梯子下端離墻的距離，y表示梯子上端到地面的距離，如圖2-4所示.x和y是時間t的函數(shù)，顯然，x，y滿足方程x2+y2=25方程式兩邊對t求導(dǎo)，得解得當(dāng)x=3時，y=4，以及題設(shè)，代入上式得.即梯子上端向下滑落的速率為.圖2-42.2.4初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)至此，已經(jīng)介紹了所有基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，建立了函數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)法則、反函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.運(yùn)用上述法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就可以求出初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).現(xiàn)歸納如下：

1.導(dǎo)數(shù)的基本公式

(1)

(C)′=0(C為常數(shù))；

(2)

(xu)′=uxu－1(u為常數(shù));

(3)

(ax)′=axlna;

(4)

(ex)′=ex;(5)；(6)；(7)

(sinx)′=cosx；(8)

(cosx)′=－sinx

；(9)

(tanx)′=sec2x；(10)

(cotx)′=－csc2x

；(11)

(secx)′=secxtanx；(12)

(cscx)′=－cscxcotx;(13)；；；

(16)

.2.函數(shù)求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則(1)［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).(2)［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);

［Cu(x)］′=Cu′(x).(3)

(v(x)≠０)；(v(x)≠０)

3.反函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y=f(x)是x=g(y)的反函數(shù)，則(g′(y)≠０)

4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y=f(u)，u=φ(x)，則復(fù)合函數(shù)y＝f[φ(x)]的導(dǎo)數(shù)為{f[φ(x)]}′=f′(u)φ′(x)2.3隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的

求導(dǎo)法則

2.3.1隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

以前遇到的函數(shù)都是一個變量明顯地用另一個變量的解析式直接表示的，即可表示為y=f(x)的形式，如y=2x+3，y=x+ln(4x)，y=cos5x.這種形式的函數(shù)稱之為顯函數(shù).但有些函數(shù)的表示方式卻不同，例如方程x+y5+2=0與ey－x+y=0分別表示一個函數(shù)，因為當(dāng)自變量x在(－∞，+∞)內(nèi)每取一值時，變量y有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以y是x的函數(shù)，這種函數(shù)關(guān)系隱含在方程x+y5+2=0和ey－x+y=0中，通常稱之為隱函數(shù).一般地，把由方程式F(x，y)=0所確定的函數(shù)y=f(x)叫做隱函數(shù).有些隱函數(shù)可以轉(zhuǎn)化成顯函數(shù).例如，由方程x+y5+2=0確定的隱函數(shù)可轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，該過程稱為隱函數(shù)的顯化.有些隱函數(shù)不能顯化，如由方程式ey－x+y=0所確定的隱函數(shù).實際中有時需要計算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，可以找到一種不需要顯化而直接能由方程求出它所確定的隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法：把方程F(x，y)=0中的y看做x的函數(shù)y=f(x)，把它代入方程得新方程F[x，y(x)]=0，方程式兩邊同時對x求導(dǎo)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得到一個關(guān)于x、y、y′的方程式，解出y′，即得所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例2-21求由方程ey－x+y=0確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′.

解方程式兩邊同時對x求導(dǎo)，得eyy′－1+y′=0所以注意:隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的表示式中一般含有y，這點與顯函數(shù)不同.例2-22求由方程y5+2y－x－3x7=0確定的隱函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)y′(0).

解方程式兩邊同時對x求導(dǎo)，得5y4y′+2y′－1－21x6=0所以當(dāng)x=0時，由方程得y=0.故例2-23求曲線3y2=x3+x2在點(2，2)處的切線方程.解方程式兩邊同時對x求導(dǎo)，得6yy′=3x2+2x

所以(y≠0)故于是，切線方程為即4x－3y－2=02.3.2對數(shù)求導(dǎo)法

形如y=u(x)v(x)[u(x)>0]的函數(shù)，稱之為冪指函數(shù).對于冪指函數(shù)以及由若干個因子通過乘、除、乘方所構(gòu)成的較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)時，直接用前面介紹的求導(dǎo)法則很麻煩，可以先在函數(shù)兩邊取對數(shù)，再利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求其導(dǎo)數(shù)，把這種方法稱為對數(shù)求導(dǎo)法.

例2-24求y=xsinx(x>0)的導(dǎo)數(shù).解等式兩邊同時取對數(shù)，得lny=sinxlnx等式兩邊對x求導(dǎo)，得所以例2-25設(shè)(cosy)x=(sinx)y，求y′.解等式兩邊同時取對數(shù)，得xlncosy=ylnsinx

等式兩邊對x求導(dǎo)，得所以例2-26設(shè)，求y′.解等式兩邊同時取對數(shù)，得上式兩邊同時對x求導(dǎo)，得所以2.3.3由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法平面曲線的方程，除了可用顯函數(shù)y=f(x)和隱函數(shù)F(x，y)=0表示外，還可以用參數(shù)方程表示.例如，研究斜上拋物體運(yùn)動(不計空氣阻力)時，如圖2-5所示，物體的運(yùn)動規(guī)律為其中，v1、v2分別是物體初速度的水平和垂直分量；g是重力加速度；t是時間；x、y分別是物體在水平、垂直方向上運(yùn)動的位移.圖2-5在上述運(yùn)動方程中，

x、y均為t的函數(shù)，因此，x與y之間通過t聯(lián)系，這樣y與x之間存在著確定的函數(shù)關(guān)系，消去該運(yùn)動方程中的t，得這就是由參數(shù)方程確定的函數(shù)式.一般地，如果參數(shù)方程確定y是x的函數(shù)，則稱該函數(shù)是由參數(shù)方程所確定的函數(shù).對于參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)，一般不需要消去參數(shù)t化為y與x之間的直接函數(shù)關(guān)系后再求導(dǎo)，直接由參數(shù)方程便可求其導(dǎo)數(shù).如果x=φ(t)，y=ψ(t)都可導(dǎo)，且φ′(t)≠0，又x=φ(t)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)t=φ－1(x)，則參數(shù)方程確定的函數(shù)就可看成是y=ψ(t)與t=φ－1(x)復(fù)合而成的.由復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，得例2-27求擺線(0≤t≤2π)(1)在任何點處的切線斜率；(2)在點處的切線方程.解

(1)擺線在任何點處切線斜率為

(2)當(dāng)時，擺線上相應(yīng)點M0的坐標(biāo)為擺線在點M0處切線斜率于是，切線方程為即2.4高階導(dǎo)數(shù)

2.4.1高階導(dǎo)數(shù)的概念引例2-5(變速直線運(yùn)動的加速度)火箭在發(fā)射后的某一段時間內(nèi)運(yùn)行的軌跡是直線，設(shè)火箭在該段時間內(nèi)的運(yùn)動方程為s=f(t)，試求火箭在時刻t的加速度a.分析:我們已推導(dǎo)火箭在時刻t的速度為，可以看到，速度仍然是時間變量t的函數(shù).給定時間變量t一個增量Δt，對應(yīng)的速度函數(shù)的增量為Δv=v(t+Δt)－v(t)，則比值稱為在時間區(qū)間[t，t+Δt]內(nèi)的平均速度.于是，火箭在時刻t的加速度可定義為這就是說，加速度是速度對時間的導(dǎo)數(shù).因為v(t)=f′(t)，所以加速度又可表示為上式表明，加速度是路程對時間的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們稱之為二階導(dǎo)數(shù).a=v′(t)=[f′(t)]′例如，自由落體的運(yùn)動方程為速度為加速度為a=v′(t)=(gt)′=g

這與物理學(xué)中的結(jié)論是一致的.一般地，如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)仍然可導(dǎo)，就把y′=f′(x)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或相應(yīng)地，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)叫做函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù).類似地，函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的三階導(dǎo)數(shù)；三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)；……一般地，函數(shù)y=f(x)的(n－1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，分別記作或且有或二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).函數(shù)y=f(x)在點x0處的各階導(dǎo)數(shù)值，是其各階導(dǎo)數(shù)在點x0處的函數(shù)值，即2.4.2求導(dǎo)舉例由函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義可知，求高階導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法，只要把求一階導(dǎo)數(shù)的方法逐階去用，直到所求的階數(shù)即可.

例2-28求函數(shù)y=2x+1的二階導(dǎo)數(shù).

解

y′=2，y″=0.

例2-29(剎車測試)某一汽車廠在測試一汽車的剎車性能時發(fā)現(xiàn)，剎車后汽車行駛的路程s(單位：m)與時間t(單位：s)滿足s=19.2t－0.4t3.假設(shè)汽車作直線運(yùn)動，求汽車在t=3s時的速度和加速度.解汽車剎車后的速度為車剎車后的加速度為t=3s時汽車的速度為t=3s時汽車的加速度為

例2-30求函數(shù)y=xn(n∈N)的n階導(dǎo)數(shù).解由于y′=nxn－1

y″=n(n－1)xn－2

y=n(n-1)(n-2)xn-3

以此類推，得y(n)=n!因而有y(n+1)=0也就是說，函數(shù)y=xn(n∈N)的一切階數(shù)高于n階的導(dǎo)數(shù)都為零.例2-31求正弦函數(shù)y=sinx的n階導(dǎo)數(shù).解一般地，可得類似地，可得例2-32求y=ln(1+x)(x>－1)的n階導(dǎo)數(shù).解

一般地，可得例2-33設(shè)ey+xy=e，求f″(0).解方程式兩邊同時對x求導(dǎo)，得y′ey+y+xy′=0所以上式再對x求導(dǎo)，得把代入上式，得把x=0代入原等式，得y=1，故例2-34求方程(0≤t≤2π)所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).分析:因為參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)所以由于公式不易記憶，因此在解題時通常不套用公式.解2.5微分

2.5.1微分的概念

引例2-6一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由x0變到x0+Δx，如圖2-6所示.求此薄片的面積改變了多少？

圖2-6分析:如圖2-6所示，設(shè)正方形薄片的邊長為x0、面積為A，那么.薄片受溫度變化的影響，面積變?yōu)?x0+Δx)2，面積A的改變量為ΔA=(x0+Δx)2－x02=2x0Δx+(Δx)2

上式包含兩個部分，第一部分2x0Δx是Δx的線性函數(shù)，即圖2-6中帶有斜線的兩個矩形面積之和；第二部分(Δx)2

在圖2-6中是空白的小正方形的面積，因為，所以第二部分(Δx)2是比Δx高階的無窮小.由此可見，如果邊長x的改變量Δx的絕對值很小時，可以將第二部分(Δx)2這個高階無窮小忽略，面積增量ΔA可近似地用第一部分代替.即ΔA≈2x0Δx

又因為所以，有ΔA≈A′(x0)Δx

拋開該問題的實際背景，從數(shù)量關(guān)系上看，當(dāng)一個函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo)時，在x0處對自變量x任取增量Δx，相應(yīng)的函數(shù)增量可以表示成兩部分，一部分是自變量增量的線性部分，系數(shù)是該點的導(dǎo)數(shù)；另一部分是比自變量增量高階的無窮小.當(dāng)自變量增量的絕對值很小時，函數(shù)的增量可用該點的導(dǎo)數(shù)與自變量增量之積近似代替.上述結(jié)論對一般函數(shù)y=f(x)而言，只要其在x0點可導(dǎo)都成立，說明如下：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo)，在x處任取增量Δx，相應(yīng)地y有增量Δy，于是有

根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系，可得其中α為無窮小，即因此Δy=f′(x)Δx+αΔx

上式的第一部分f′(x)Δx是Δx的線性函數(shù)，當(dāng)f′(x)≠0時，是和Δx同階的無窮?。辉诘诙糠种?，因為，所以第二部分是比Δx高階的無窮小.因此，當(dāng)|Δx|很小時，第二部分可以忽略.于是第一部分就成了Δy的主要部分，因而有近似公式Δy≈f′(x)Δx通常，當(dāng)f′(x)≠0時，稱f′(x)Δx為Δy的線性主部.定義2-2設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x及x+Δx在這區(qū)間內(nèi).如果函數(shù)的增量Δy=f(x+Δx)－f(x)可表示為Δy=AΔx+o(Δx)其中A是不依于Δx的常數(shù)，那么稱函數(shù)y=f(x)在x處可微；把AΔx叫做函數(shù)y=f(x)在點x處的微分，記作dy，即dy=AΔx.由引例2-6的討論可知，當(dāng)y=f(x)在點x處可導(dǎo)時，一定有Δy=f′(x)Δx+o(Δx)由微分的定義可知，函數(shù)一定在x處可微，且dy=f′(x)Δx

當(dāng)函數(shù)y=f(x)在點x處可微時，由定義可知，存在常數(shù)A且有下式成立：Δy=AΔx+o(Δx)上式兩邊同除以Δx，得于是，當(dāng)Δx→0時，由上式可得因此，如果函數(shù)y=f(x)在點x處可微，那么函數(shù)y=f(x)在點x處一定可導(dǎo)，且

f′(x)=A由此可見，函數(shù)y=f(x)在點x處可微的充要條件是:函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo).即一元函數(shù)的可導(dǎo)與可微是等價的，其關(guān)系為dy=f′(x)Δx

當(dāng)函數(shù)y=x時，函數(shù)的微分dy=dx=Δx，即dx=Δx

因此，規(guī)定自變量的微分等于自變量的增量，即dx=Δx.這樣，函數(shù)y=f(x)的微分可以寫成dy=f′(x)Δx=f′(x)dx

上式兩邊同除以dx，有注意:微分與導(dǎo)數(shù)雖有密切聯(lián)系，但它們是有區(qū)別的，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點處的變化率，而微分是函數(shù)在某一點處當(dāng)自變量有增量時，函數(shù)增量的主要部分；導(dǎo)數(shù)的值只與x有關(guān)，而微分的值與x和Δx都有關(guān).例2-35求函數(shù)y=x3當(dāng)x=2和Δx=0.02時的微分.解先求函數(shù)在任意點x的微分dy=(x3)′Δx=3x2Δx

再求函數(shù)當(dāng)x=2和Δx=0.02時的微分例2-36求函數(shù)y=x2在x=1處的微分.解函數(shù)y=x2在x=1處的微分為dy=(x2)′|x=1Δx=2Δx

2.5.2微分的幾何意義

為了較直觀地了解微分，需要討論微分的幾何意義.在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(x)的圖形是一條曲線，如圖2-7所示.對于某一固定的x0的值，曲線上有一個確定的點M0(x0，y0)，當(dāng)自變量x有微小增量Δx時，得到曲線上另一點M(x0+Δx，y0+Δy)，過點M0作曲線的切線M0T，其傾斜角為α，則即由此可知，微分dy=f′(x0)Δx就是當(dāng)x有改變量Δx時，曲線y=f(x)在點(x0，y0)處的切線上縱坐標(biāo)的改變量.用dy近似代替Δy，就是用點M(x0，y0)處切線縱坐標(biāo)的改變量來近似代替曲線y=f(x)的縱坐標(biāo)的改變量.當(dāng)|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δx|小得多，因此，在點M0附近可用切線段近似地代替曲線段.圖2-72.5.3微分的運(yùn)算法則

函數(shù)y=f(x)的微分等于導(dǎo)數(shù)f′(x)乘以dx，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，可得到相應(yīng)的微分公式和運(yùn)算法則.

1.微分的基本公式

(1)d(C)=0(C為常數(shù))；

(2)d(xu)=uxu－1dx(u為常數(shù));

(3)d(ax)=axlnadx；

(4)

d(ex)=exdx；(5)；(6)；(7)

d(sinx)=cosxdx；(8)d(cosx)=－sinxdx;(9)d(tanx)=sec2xdx；(10)d(cotx)=－csc2xdx；(11)d(secx)=secxtanxdx；(12)d(cscx)=－cscxcotxdx；(13)；(14)；(15)；(16).2.函數(shù)和、差、積、商的微分運(yùn)算法則(1)d(u±v)=du±dv；(2)d(uv)=vdu+udv；(3)d(cu)=cdu，(c為常數(shù))；(4)，(v≠0).

3.復(fù)合函數(shù)的微分運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)y=f(u)，根據(jù)微分的定義，當(dāng)u是自變量時，函數(shù)y=f(u)的微分是dy=f′(u)du

如果u不是自變量，而是x的可導(dǎo)函數(shù)，即u=φ(x)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]的導(dǎo)數(shù)為y′=f′(u)φ′(x)于是，函數(shù)的微分為dy=f′(u)φ′(x)dx

因為φ′(x)dx=du

所以dy=f′(u)du

由此可知，無論u是自變量還是中間變量，函數(shù)y=f(u)的微分總是保持同一形式，即dy=f′(u)du，這一性質(zhì)稱為一階微分的形式不變性.利用它求復(fù)合函數(shù)，特別是隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分比較方便.例2-37設(shè)y=cos(2x+1)，求dy.解解法一:由公式dy=f′(x)dx得dy=[cos(2x+1)]′dx=－2sin(2x+1)dx

解法二：由一階微分形式不變性得dy=d[cos(2x+1)]=－sin(2x+1)d(2x+1)

=－sin(2x+1)·2dx=－2sin(2x+1)dx

例2-38設(shè)，求dy.

解解法一:由公式dy=f′(x)dx得解法二:由一階微分形式不變性得例2-39求方程x2+2xy－y2=a2確定的隱函數(shù)y=f(x)的微分及導(dǎo)數(shù).解方程式兩邊求微分，得2xdx+2ydx+2xdy－2ydy=0(x+y)dx=(y－x)dy

即故例2-40利用微分求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù).解因為dy=costdt，dx=－sintdt，所以利用導(dǎo)數(shù)為微分之商得2.5.4微分在近似計算中的應(yīng)用

1.計算函數(shù)增量Δy的近似值如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可微，由微分的定義以及微分與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系得Δy=f′(x0)Δx+ο(Δx)當(dāng)f′(x0)≠0、|Δx|相對很小時，有Δy≈f′(x0)Δx=dy這是計算函數(shù)增量Δy的近似公式，即微分在近似計算中應(yīng)用的理論基礎(chǔ).例2-41一種金屬圓片，半徑為20cm，加熱后其半徑增大0.05cm，求該金屬圓片的面積增大了多少？解圓面積公式A=πr2(r為半徑)，令r=20，Δr=0.05，因為Δr相對于r較小，所以可用微分dA近似代替ΔA.由ΔA≈dA=2πrdr

且dr=Δr=0.05，得ΔA≈2π×20×0.05=2πcm2

例2-42某企業(yè)有一批半徑為1cm的球100只，為了提高球表面的光潔度，需要鍍上一層厚度為0.01cm的銅.已知銅的密度為8.9g/cm3，試估計鍍這批球共需要用多少銅？解球的體積，當(dāng)半徑由1cm增加到(1+0.01)cm時，體積V增加了ΔV，且ΔV≈dV，將r=1cm和dr=Δr=0.01cm代入該式得于是，鍍這批球大約需用銅100×0.1257×8.9=111.87g

2.計算函數(shù)y=f(x)在定點x0附近某一點函數(shù)值的近似值

因為Δy=f′(x0+Δx)－f(x0)，而Δy≈f′(x0)Δx，所以f(x0+Δx)－f(x0)≈f′(x0)Δx

即f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx

令x=x0+Δx，Δx=x－x0，上式變形為f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x－x0)該式為求函數(shù)y=f(x)在一定點x0處附近某一點函數(shù)值的近似值的公式.

注意：應(yīng)用該公式求f(x0)、f′(x0)較為容易，|x－x0|相對很小.在上式中令x0=0，得f(x)≈f(0)+f′(0)x

上式是求函數(shù)y=f(x)在零點附近某一點函數(shù)近似值的公式.例2-43當(dāng)|x|很小時，證明ex≈1+x.

證明令f(x)=ex，則f′(x)