控制系統(tǒng)的數(shù)學模型1控制系統(tǒng)的運動方程式

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。根據(jù)系統(tǒng)所遵循的基本定律，依次列寫出各元件的運動方程。消中間變量，得到只含輸入、輸出量的標準形式。一、列寫系統(tǒng)運動方程的步驟

§1控制系統(tǒng)的時域模型LiU2U1RC例1設有由電感L，電容C和電阻R組成的電路，如圖所示，試求出以輸出電壓U2為輸出變量和以輸入電壓U1為輸入變量的運動方程。U2U1RLCiymm0解二、非線性運動方程的線性化將非線性微分方程在一定的條件下轉化為線性微分方程的方法，稱非線性微分方程的線性化。非線性微分方程能進行線性化的一個基本假設上是變量偏離其預期工作點的偏差甚小，這種線性化通常稱為小偏差線性化。幾何意義：以過平衡點（工作點）的切線代替工作點附近的曲線。說明：A.線性化時各自變量在工作點處必須有各階導數(shù)或偏導數(shù)存在,如圖所示的繼電器特性，的各界導數(shù)處處不存在，本質(zhì)非線性；B.必須明確工作點的參數(shù)；C.如果非線性運動方程較接近線性時，則線性化運動方程對于變量的增量在較大范圍適用，反之，只能適用于變量的微小變化?！?線性系統(tǒng)的復域模型(一)傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù):初始條件為零時，線性定常系統(tǒng)或元件輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換的比，稱為該系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。(二)傳遞函數(shù)的性質(zhì).線性定常系統(tǒng)或元件的運動方程與傳遞函數(shù)一一對應，它們是在不同域?qū)ν幌到y(tǒng)或元件的描述。.傳遞函數(shù)是表征線性定常系統(tǒng)或元件自身的固有特性，它與其輸入信號的形式無關，但和輸入信號的作用位置及輸出信號的取出位置有關。3.傳遞函數(shù)是復變量S的有理分式，且分子、分母多項式的各項系數(shù)均為實數(shù)，分母多項式的次數(shù)N大于等于分子多項式的次數(shù)M，即

。4.傳遞函數(shù)寫成

的形式，和為G(S)的零點和極點。5.物理結構不同的系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。

G(S)X1(S)X2(S)X(S)X(S)X(S)三方塊圖1.定義:每個環(huán)節(jié)的功能和信號流向的圖；(3).分支點:信號分出的一點,稱為分支點,通過分支點的信號都是相同的；(4).方框:對信號進行的數(shù)學變換；2.常用符號及術語E(S)X1(S)X2(S)

(2).相加點(比較點）

(1).信號線:帶箭頭的直線,箭頭表示信號方向；解表示G1(S)G2(S)X1(S)X3(S)X2(S)G1(S)G2(S)++X3(S)X1(S)X2(S)X4(S)G2(S)G1(S)+Y(S)X1(S)E(S)X2(S)（5）.方框圖的串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接。G1(S)G2(S)X1(S)X3(S)X2(S)3．方框圖的運算(1)串聯(lián)連接的傳遞函數(shù)

結論：二環(huán)節(jié)串聯(lián)傳遞函數(shù)等于二傳函之積。推廣：N環(huán)節(jié)串聯(lián)，傳遞函數(shù)等于N個環(huán)節(jié)傳函之積。G1(S)G2(S)++X3(S)X1(S)X2(S)X4(S)(2)并聯(lián)連接的傳遞函數(shù)結論：二環(huán)節(jié)并聯(lián)，其等效傳函等于二環(huán)節(jié)傳函之和。推廣:N環(huán)節(jié)并聯(lián),其等效傳函等于各環(huán)節(jié)傳函之和。G2(S)G1(S)Y(S)X1(S)E(S)X2(S)(3)反饋回路傳遞函數(shù)的求取前向通道：由偏差信號至輸出信號的通道；反饋通道：由輸出信號至反饋信號的通道。當為正反饋時：結論：

G1(S)G2(S)G3(S)G4(S)G1(S)G2(S)G3(S)G4(S)（1）四控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(S)G1(S)G2(S)H(S)R(S)X1(S)X2(S)Y(S)-(S)F(S)

(1)若

則

定義：C(S)/R(S)為被控信號對于控制信號的閉環(huán)傳函,記為，即

開環(huán)傳函：前向通道與反饋通道傳遞函數(shù)之積稱為開環(huán)傳函，記為G(S)。單位反饋：若H(S)=1，則系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)。(2)若定義：C(S)/F(S)為被控信號對于擾動信號的閉環(huán)傳函，記為（3）稱為誤差傳函

§3控制系統(tǒng)方框圖與信號流圖

控制系統(tǒng)方框圖：應用函數(shù)方框把控制系統(tǒng)的全部變量聯(lián)系起來以描述信號在系統(tǒng)中流通過程的圖示。一、方框圖的繪制

步驟:1.寫出組成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)的運動方程(傳遞函數(shù))；

2.根據(jù)傳遞函數(shù)畫出相應的函數(shù)方框；

3.按信號流向?qū)⒑瘮?shù)方框一一連接起來。式有由(1)(4)

)(CS1(S)IR

c1

(3)

I(S)R(S)U

(2)

(S)U(S)RI(S)U

(1)

(S)I(S)II(S)

2111122020011i0112121SIiRdtiiRuuRiuiiii====+=+=+=+=òCii1i2R1R2UiU0I2(S)I1(S)I(S)++解：R1CSI1(S)I2(S)R2I(S)U0(S)U0(S)UI(S)I1(S)1/R+-Ui(S)U0(S)I1(S)I2(S)I(S)+-U0(S)1/RR2CSR1+二.方框圖的簡化G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)G(S)X2X1X1

(1)分支點前移1、分支點等效移動規(guī)則分支點前移,在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框。

(2)分支點后移分支點后移,在移動支路中串入所越過傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方框。G(S)1/G(S)X1X2X1G(S)1/G(S)X1X2X3-G(S)X1X2X3-x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x3

(1)相加點前移2．相加點等效移動規(guī)則相加點前移，在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框。(2)相加點后移相加點后移,在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框。

G1G2G3G4G5G7G6---BA(1)前向通道中各串聯(lián)函數(shù)方框的傳函乘積保持不變；(2)各反饋回路所含函數(shù)方框的傳函之積保持不變。3.方框圖的簡化原則G1G2G3G4G4G5G7G6---三、信號流圖x1x4x3x2abc1節(jié)點：用以表示變量或信號的點稱為節(jié)點，用“o”

表示。傳輸：兩節(jié)點間的增益或傳遞函數(shù)稱為傳輸。支路：連接兩節(jié)點并標有信號流向的定向線段稱為支路，支路的增益便是傳輸。源點：只有輸出支路而無輸入支路的節(jié)點（與系統(tǒng)的輸入信號相對應）。（一）信號流圖的常用術語:

阱點：只有輸入支路而無輸出支路的節(jié)點稱為阱點或輸出節(jié)點，與輸出信號相對應?；旌瞎?jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。通路：沿支路箭頭所指方向穿過各相連支路的通徑。開通路：如通路與任意節(jié)點相交不多于一次，稱為開通路。閉通路：如果通路的終點就是通路的起點，而與任何它節(jié)點相交次數(shù)不多于一次，則稱為閉通路或回路?；芈吩鲆妫夯芈分懈髦穫鬏?shù)某朔e。不接觸回路：回路間沒有任何共有節(jié)點，則稱其為不接觸回路。前向通路：從源點到阱點的通路上，通過任何節(jié)點不多于一次稱為前向通路。前向通路增益：前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e。（二）信號流圖的基本性質(zhì)x1x4x3x2abc1

1.以節(jié)點代表變量,源點代表輸入量,阱點代表輸出量，用混合節(jié)點代表變量或信號的匯合。在混合節(jié)點處，出支路的信號等于各支路信號的疊加。

2．以支路表示變量或信號的傳輸和變換過程，信號只能沿著支路的箭頭方向傳輸。在信號流圖中每經(jīng)過一條支路，相當于在方框圖中經(jīng)過一個用方框表示的環(huán)節(jié)。3．增加一個具有單位傳輸?shù)闹?，可以把混合?jié)點化為阱點。4．對于同一系統(tǒng)，信號流圖的形式不是唯一的。信號流圖和方框圖是一一對應的，且可以互相轉化。（三）信號流圖的簡化X1X2X3X4a1a2a3X1X2X4a1a3a2a3abX1X2X1X2

(1)串聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨e;(2)并聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨?(3)混合節(jié)